TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

(2) =⇒ (3). Sean A, B cerrados disjuntos, por (3) existe U abierto t.q. A ⊂ U
y U ∩ B = ∅, aplicando de nuevo (3) a los cerrados disjuntos B y U, existirá
un abierto V t.q. B ⊂ V y V ∩ U = ∅, luego (3) =⇒ (4). Finalmente, que
(4) =⇒ (1) es obvio.
El siguiente resultado debido a F.B. Jones es útil para construir espacios que
no sean normales.
4.15 Lema Si un e.t. X contiene subespacios D, S t.q. D denso, S cerrado y
discreto (con la topología inducida) y |S| ≥ 2 |D| , entonces X no es normal.
Dem. Sea T ⊂ S, como τS es la topología discreta es claro que T es cerrado
en S y por lo tanto en X. Entonces T y S − T son cerrados disjuntos y si
suponemos que X es normal existirán abiertos UT , VT t.q. T ⊂ UT , S −T ⊂ VT
y UT ∩ VT = ∅. Sean T1, T2 ∈ P(S) y notar que si T1 = T2 entonces también
UT1 ∩ D = UT2 ∩ D (en efecto, T1 = T2 implica T1 ∩ (S − T2) = ∅ ó bien
T2 ∩ (S − T1) = ∅. Supongamos T1 ∩ (S − T2) = ∅, entonces UT1 ∩ VT2 = ∅ y
como D es denso UT1 ∩ VT2 ∩ D = ∅, pero como UT1 ∩ VT2 ∩ D ⊂ UT1 ∩ D y
UT1 ∩ VT2 ∩ D ∩ UT2 = ∅, ya que UT2 ∩ VT2 = ∅, se sigue UT1 ∩ D = UT2 ∩ D).
Entonces la aplicación Φ : P(S) −→ P(D), dada por Φ(T ) = UT ∩ D, es
inyectiva y por tanto |S| < |P(S)| ≤ |P(D)| = 2 |D| , lo cual contradice la
hipótesis, luego X no puede ser normal.
Ejercicio 21 Probar que el plano de Moore es T3-espacio pero no T4-espacio.
La normalidad no es hereditaria en general paro sí para cerrados.
4.16 Proposición Sea X un espacio normal (T4-espacio) y F cerrado en X,
entonces F con la topología inducida también es normal (T4-espacio).
Dem. Sean A, B cerrados disjuntos en F , entonces A y B son cerrados en X
y como X es normal, existirán U, V abiertos en X t.q. A ⊂ U, B ⊂ V y
U ∩ V = ∅. Entonces F ∩ U y F ∩ V son abiertos en F t.q. F ∩ U ∩ V = ∅,
por tanto F es normal.
El producto de espacios normales no es necesariamente normal
Ejercicio 22 Sea RS = (R, τS) la recta de Sorgenfrey, probar que RS × RS no
es normal.
En general, la normalidad no se conserva en cocientes.
4.17 Proposición Sea X un espacio normal (T4-espacio) y f : X −→ Y una
aplicación continua, cerrada y sobre, entonces Y es normal (T4-espacio).
Dem. Sea f : X −→ Y una aplicación continua, sobre y cerrada, dados A, B
cerrados disjuntos en Y se sigue que f −1 (A) y f −1 (B) son cerrados disjuntos
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