TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

4.11 Lema Sea f : X −→ Y una aplicación continua y cerrada, B ⊂ Y y
U ∈ τX t.q. f −1 (B) ⊂ U, entonces existe V ∈ τY t.q. B ⊂ V y f −1 (V ) ⊂ U.
Dem. Definimos V = Y −f(X −U) que es abierto si f cerrada. Si f −1 (B) ⊂ U,
entonces B ⊂ V (en efecto, si y ∈ B entonces f −1 (y) ⊂ U ó equivalentemente
f −1 (y) ∩ (X − U) = ∅, luego y = ff −1 (y) ∈ Y − f(X − U) = V ). Además,
f −1 (V ) = f −1 (Y − f(X − U)) = X − f −1 f(X − U) ⊂ X − (X − U) = U.
4.12 Teorema Sea X un T3-espacio y f : X −→ Y una aplicación continua,
sobre, abierta y cerrada. Entonces Y es Hausdorff.
Dem. Notar en primer lugar que si f es continua, sobre y abierta se sigue en
particular que f es una identificación. Para que Y sea Hausdorff, por (4.4)
bastará probar que R(f) = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X × X ó
bien que su complementario es abierto: sea (x1, x2) ∈ X × X − R(f), entonces
f(x1) = f(x2) y por tanto x1 /∈ f −1 f(x2). Notar que este último conjunto
es cerrado ya que X es T1-espacio (en particular {x2} será cerrado) y f es
cerrada, entonces como X es regular existirán abiertos U, V en X t.q. x1 ∈ U,
f −1 f(x2) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Aplicando (4.11) para B = f(x2), existirá un
abierto W t.q. f(x2) ∈ W y f −1 f(x2) ⊂ f −1 (W ) ⊂ V y como U ∩f −1 (W ) = ∅
se sigue que (x1, x2) ∈ U × f −1 (W ) ⊂ X × X − R(f), luego R(f) cerrado.
Sea A un subespacio cerrado de X, notar que la identificación q : X −→ X/A
es una aplicación cerrada. En efecto, sea F cerrado en X, como X/A tiene la
topología cociente, notar que q(F ) será cerrado en X/A sí y sólo si q −1 q(F )
es cerrado en X. Pero q −1 q(F ) = F , si F ∩ A = ∅ y q −1 q(F ) = F ∪ A, si
F ∩ A = ∅. Por tanto q −1 q(F ) es cerrado en ambos casos, supuesto A cerrado.
4.13 Teorema Si X es un T3-espacio y A es cerrado en X, entonces X/A con
la topología cociente es un espacio Hausdorff.
Dem. Si [x1] = [x2] caben dos casos: x1, x2 /∈ A ó x1 /∈ A y x2 ∈ A. En el
primer caso, como X − A es Hausdorff, existirán U, V abiertos en X − A y por
tanto en X, ya que X − A abierto en X, t.q. x1 ∈ U, x2 ∈ V y U ∩ V = ∅.
Notar que U = q −1 q(U) y V = q −1 q(V ), por tanto q(U) y q(V ) son abiertos
en X/A t.q. [x1] ∈ q(U), [x2] ∈ q(V ) y q(U) ∩ q(V ) = ∅. En el segundo caso, si
x1 /∈ A existirán U, V abiertos en X t.q. x1 ∈ U, A ⊂ V y U ∩ V = ∅, ya que
A cerrado y X es un T3-espacio. Como U ⊂ X − A se sigue que U = q −1 q(U),
luego [x1] ∈ q(U) abierto en X/A. Es claro también que V = q −1 q(V ) y por
tanto [x2] = {A} ∈ q(V ) abierto en X/A. Como q(U) ∩ q(V ) = ∅ concluimos
que X/A es Hausdorff.
Espacios normales y T4-espacios
Un e.t. (X, τ) se dice normal si para todo par de subespacios cerrados y
disjuntos A y B, existen abiertos U y V t.q. A ⊂ U, B ⊂ V y U ∩ V = ∅.
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