TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

TOPOLOGÍA GENERAL II
(1) Introducción
(2) Topología Producto
(3) Topología Cociente
(4) Separación
(5) Compacidad
(6) Conexión
(7) Espacios Homogéneos
(8) Grupos Lineales
1 INTRODUCCIÓN
José Luis Navarro
Departamento de Matemáticas
Universidad de Zaragoza
La Topología General tiene sus propios objetivos, pero también nutre los fundamentos
de muchas áreas matemáticas como el Análisis, la Geometría y
otros campos de la topología (Topología Algebraica, Topología Geométrica
ó Topología Diferencial).
Tomando como modelos los espacios métricos, se ha definido sobre un conjunto
X una topología τ ⊂ P(X) y el par (X, τ) se dice espacio topológico (e.t.)
Las aplicaciones relevantes entre dos e.t. son las aplicaciones continuas y el
concepto de equivalencia en topología se llama homeomorfismo.
Uno de los objetivos de cualquier área matemática es clasificar y contar. En
particular, para clasificar es necesario saber discernir cuándo dos objetos son
ó no equivalentes (en nuestro caso, cuándo dos e.t. son ó no homeomorfos).
En general, éste es un problema muy difícil y está muy lejos de ser resuelto.
La (corta) duración del curso hace necesario optar entre los diferentes caminos
a seguir tras un primer cuatrimestre de generalidades. La opción elegida aquí
es un curso básico sobre las diferentes propiedades de un espacio topológico,
tanto en su versión local como global, con aplicaciones a espacios usuales
(euclídeos, proyectivos, grupos lineales,...) y estudiar si estas propiedades se
conservan ó no bajo operaciones usuales (productos, cocientes,...). Definiremos
Preprint submitted to Elsevier Science 12 December 2006

pues una serie de propiedades (separación, compacidad, conexión,...) que
serán invariantes topológicos de los espacios (es decir, si un e.t. tiene una
de estas propiedades, también la tienen todos los que son homeomorfos a él).
Es más ”fácil” dar una respuesta negativa al problema del homeomorfismo que
una respuesta positiva: por ejemplo R n y R m tienen los mismos invariantes
topológicos mencionados pero no son homeomorfos si n = m (Teorema de la
Dimensión). En este curso probaremos parcialmente este resultado, dejando
para cursos posteriores una respuesta general.
En ellos se definirán otro tipo de invariantes, los invariantes algebraicos,
que consiste en asociar a todo e.t. X ciertas estructuras algebraicas (como por
ejemplo el grupo fundamental π1(X) ó los grupos de homología Hn(X), n ≥ 0)
que nos dará más criterios para una respuesta negativa al problema: si los
invariantes algebraicos son no isomorfos, los espacios no son homeomorfos.
La respuesta afirmativa sigue siendo difícil: Uno de los grandes problemas de la
Topología es saber si una 3-variedad M 3 con los mismos invariantes topológicos
y algebraicos que S 3 es homeomorfa a S 3 (Conjetura de Poincaré, 1904).
Esta conjetura no pudo ser resuelta durante todo el siglo XX y pasó a ser
uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics
Institute. En 2002 el matemático ruso Gregori Perelman anunció una solución
a través de dos publicaciones en internet. En el XXV Congreso Internacional
de Matemáticas celebrado en Madrid en agosto de 2006 se reconoció como
correcto el trabajo de Perelman y dicha conjetura pasó a ser un teorema.
Volviendo al contenido de este curso, lo primero que cabe destacar es que
en un e.t. (X, τ) es más relevante la topología τ que el conjunto X: entre la
topología indiscreta τI = {∅, X} y la topología discreta τD = P(X) pueden
definirse muchas topologías sobre un mismo conjunto X t.q. los (X, τ) tienen
propiedades distintas y por tanto no son homeomorfos mientras que conjuntos
distintos pueden ser topológicamente equivalentes.
En el curso previo se dieron una serie de topologías no usuales sobre espacios
usuales (recta de Sorgenfrey, plano de Moore, plano del semidisco,...) que
conviene recordar por ser útiles ejemplos (más bien contraejemplos) de que
ciertas propiedades no se conservan en subespacios, productos ó cocientes.
2 TOPOLOGÍA PRODUCTO
Dado un conjunto X y una aplicación f : X −→ (Y, τY ), la familia
f −1 (τY ) = {f −1 (V )|V ∈ τY }
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es la menor topología sobre X t.q. f es continua: si τX es otra topología sobre
X t.q. f es continua entonces es claro que f −1 (τY ) ⊂ τX. Tal topología f −1 (τY )
se denomina topología débil inducida por f.
Dados dos e.t. X e Y , consideramos el producto cartesiano X × Y y queremos
definir una topología sobre él t.q. las proyecciones canónicas p1 y p2 sean
continuas, es decir p −1
1 (U) = U × Y y p −1
2 (V ) = X × V deben ser abiertos en
X × Y para todo U ∈ τX y V ∈ τY . Es claro que la menor topología sobre
X × Y que hace continuas las proyecciones es la que tiene a dichos conjuntos
como subbase, es decir
Sp = {U × Y |U ∈ τX} ∪ {X × V |V ∈ τY }
es subbase de una topología τp sobre X × Y que se denominará topología
producto.
Dadas f : Z −→ X y g : Z −→ Y , existe una aplicación h : Z −→ X × Y
única t.q. t.q. p1h = f y p2h = g (propiedad universal del producto directo).
Notar que h(z) = (f(z), g(z)) y es usual denotar h = (f, g).
2.1 Proposición h es continua si y sólo si lo son f y g. En particular, la
diagonal ∆ : X −→ X × X es continua.
Dem. Si h es continua, entonces f = p1h y g = p2h también lo son, por serlo las
proyecciones. Recíprocamente, si f y g son continuas y U × V es un abierto en
X ×Y , entonces h−1 (U ×V ) = h−1 (U ×Y ∩X ×V ) = h−1 (p −1
1 (U)∩p −1
2 (V )) =
h−1p −1
1 (U)∩h −1p −1
2 (V ) = (p1h) −1 (U)∩(p2h) −1 (V ) = f −1 (U)∩g −1 (V ) abierto
en Z, luego h continua.
Ejercicio 01 Probar los siguientes homeomorfismos
(1) X × Y ≈ Y × X.
(2) (X × Y ) × Z ≈ X × (Y × Z).
(3) X × {pt} ≈ X ≈ {pt} × X.
Ejercicio 02 Dados A ⊂ X y B ⊂ Y , probar las siguientes afirmaciones:
(1) A × B = A × B.
(2) (A × B) ′ = A ′ × B ∪ A × B ′
(3) Int(A × B) = Int(A) × Int(B).
(4) F r(A × B) = [A × F r(B)] ∪ [F r(A) × B].
(5) A × B es denso en X × Y si y sólo si A denso en X y B denso en Y .
Ejercicio 03 Sean B x y B y bases de entornos de x ∈ X e y ∈ Y , probar que
{U x × V y |U x ∈ B x , V y ∈ B y } es una base de entornos de (x, y) en X × Y .
Ejercicio 04 Probar que X × Y es I-AN, II-AN y separable, respectivamente,
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si y sólo si lo son ambos factores.
Ejercicio 05 Sea RS la recta de Sorgenfrey. ¿Cual es la topología producto
en RS × RS? ¿Cual es la topología inducida en A = {(x, y) ∈ R 2 |x + y = 1}?
Ejercicio 06 En R 2 , con la topología usual, se consideran los subespacios
A = {(x, y) ∈ R 2 |xy = 0} y B = {(x, y) ∈ R 2 |xy = 1}. Estudiar si A es
abierto en R 2 y en M = A ∪ B. Estudiar si U = {(x, 0) ∈ R 2 |x ∈ R} es
entorno del origen en R 2 y en M.
Ejercicio 07 En R 2 , con la topología usual, se consideran los subespacios
C = {(x, y) ∈ R 2 |x 2 + y 2 = 1} y D = {(x, y) ∈ R 2 |x = y} y sea N = C ∪ D.
Estudiar si C es entorno de ( √ 2, √ 2) y de (0, 1) en N.
Sea X un conjunto, {(Xi, τi)}i∈J una familia de e.t. y {fi : X −→ Xi}i∈J una
familia de aplicaciones. Definimos la topología débil sobre X inducida por
la familia {fi}i∈J como la menor topología que hace continuas las fi.
El conjunto S =
i∈J Si con Si = {f −1
i (Ui)|Ui ∈ τi} es una subbase para dicha
topología.
2.2 Teorema Sea X con la topología débil inducida por {fi}i∈J, entonces una
aplicación h : Y −→ X es continua si y sólo si fih es continua para todo i ∈ J.
Dem. Si h es continua, entonces fih es continua para todo i ∈ J, ya que las
fi son continuas. Recíprocamente, sea U abierto en X, entonces U es unión
arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma f −1
i (Ui), por tanto
h −1 (U) será unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma
h −1 f −1
i (Ui) = (fih) −1 (Ui), abiertos en Y si las fih son continuas para todo
i ∈ J, luego h −1 (U) abierto y por tanto h continua.
Sea ahora X = Xi, un punto del producto es una |J|-tupla (xi) y denotamos
por pk : Xi −→ Xk t.q. pk((xi)) = xk la proyección canónica sobre el k-simo
factor, entonces definimos la topología producto τp sobre Xi como la
topología débil inducida por las proyecciones {pi}i∈J.
Si U ∈ τk notar que p −1
k (U) = Ui, donde Uk = U y Ui = Xi para todo i = k.
Una subbase de τp viene dada por
Sp = {p −1
i (U)|U ∈ τi, i ∈ J} =
i∈J
{p −1
i (U)|U ∈ τi}
y, si F recorre los subconjuntos finitos de J, una base para τp viene dada por
Bp = { Uj|Uj ∈ τj, Uj = Xj, ∀j ∈ J − F }
Dada una familia de aplicaciones {fi : X −→ Xi}i∈J, existe una aplicación
f : X −→ Xi definida por f(x) = (fi(x)), única t.q. pif = fi. Entonces
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2.3 Corolario f es continua si y sólo si cada fi = pif lo es.
La topología caja sobre Xi está definida por τi = {
i∈J Ui|Ui ∈ τi}.
Es claro que τp ⊆ τi y notar que τp = τi si J = {1, 2, ...n} (es decir, si
|J| < ∞). Pero estas topologías no coinciden en el caso de una familia infinita.
Ejemplo Dada una familia infinita {(Xi, τi)}i∈J t.q. cada Xi es un espacio
discreto con más de un punto, entonces la topología caja τi es la topología
discreta mientras que la topología producto τp no es discreta.
2.4 Proposición Dada una familia arbitraria {(Xi, τi)}i∈J de e.t. entonces:
(1) Las proyecciones pj : Xi −→ Xj son continuas, abiertas y sobre.
(2) Si Ai ⊂ Xi, entonces Ai = Ai.
(3) Int( Ai) ⊂ Int(Ai) y en general el contenido es estricto.
(4) Di denso en Xi si y sólo si Di denso en Xi para todo i ∈ J
Ejercicio 08 Sea {fi : Xi −→ Yi}i∈J una familia de aplicaciones y definimos
f : Xi −→ Yi por f((xi)) = (fi(xi)), es decir f = fi. Probar que f es
continua si y sólo si fi es continua para todo i ∈ J.
3 TOPOLOGÍA COCIENTE
Sea (X, τ) un e.t. y f : X −→ Y una aplicación suprayectiva ó sobre, entonces
la colección de partes de Y
τ(f) = {U ⊂ Y |f −1 (U) ∈ τ}
es una topología sobre Y llamada topología identificación ó topología
cociente inducida sobre Y por f.
Ejercicio 09 Sea R con la topología usual τU, Y = {a, b, c} un conjunto y
f : R −→ Y una aplicación dada por f(x) = a si x > 0, f(x) = b si x < 0 y
f(0) = c. Hallar la topología identificación τ(f) sobre Y inducida por f.
Si τY es una topología sobre Y t.q. f es continua notar que τY ⊆ τ(f), entonces
3.1 Lema τ(f) es la mayor topología sobre Y que hace continua a f.
Dada una aplicación continua y sobre f : (X, τX) −→ (Y, τY ), diremos que
f es una identificación si τY = τ(f). Es claro que todo homeomorfismo
es una identificación y, como (gf) −1 (U) = f −1 g −1 (U), es claro también que
composición de identificaciones es identificación.
Ejercicio 10 Sea I = [0, 1] con la topología usual, S 0 = {0, 1} con la topología
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de Sierpinski y sea χ : I −→ S 0 la función característica de A = [1/2, 1].
Probar que χ es una identificación pero que no es abierta ni cerrada.
3.2 Proposición Sea f : X −→ Y una aplicación sobre, continua y abierta
(ó cerrada), entonces f es una identificación. En particular, una biyección
continua es una identificación si y sólo si es un homeomorfismo.
Dem. Sabemos que τY ⊆ τ(f). Recíprocamente, sea U ∈ τ(f), entonces
f −1 (U) ∈ τX y por ser f abierta ff −1 (U) ∈ τY . Pero f sobre implica que
ff −1 (U) = U, luego U ∈ τY y por tanto τ(f) ⊆ τY . Concluimos que τY =
τ(f). Por otra parte, si f es una identificación biyectiva y U ∈ τX, como
f −1 f(U) = U se sigue que f(U) ∈ τ(f) = τY , luego f abierta y sabemos que
toda biyección continua y abierta es un homeomorfismo.
Dada una aplicación continua f : X −→ Y llamaremos sección de f a una
aplicación continua s : Y −→ X t.q. fs = 1Y .
3.3 Proposición Sea f : X −→ Y una aplicación continua. Si f admite una
sección entonces f es una identificación.
Dem. Notar que fs = 1Y implica que f es sobre. Sea U ∈ τ(f), entonces
f −1 (U) ∈ τX y s continua implican que s−1f −1 (U) ∈ τY , pero s−1f −1 (U) =
(fs) −1 (U) = 1 −1
Y (U) = U, luego U ∈ τY y por tanto τ(f) ⊆ τY . Concluimos
que τ(f) = τY y en consecuencia f es una identificación.
3.4 Proposición Sea f : X −→ Y una identificación y g : Y −→ Z una
aplicación. Entonces g es continua (identificación) si y sólo si la composición
gf es continua (identificación).
Dem. Sea U ∈ τZ, si gf continua entonces f −1 g −1 (U) = (gf) −1 (U) ∈ τX,
pero f identificación implica que g −1 (U) ∈ τ(f) = τY , por tanto g continua.
Notar que U ∈ τ(gf) sí y sólo si f −1 g −1 (U) = (gf) −1 (U) ∈ τX, lo cual ocurre
sí y sólo si g −1 (U) ∈ τ(f) = τY , ó equivalentemente si U ∈ τ(g). Por tanto
τ(gf) = τ(g) y es claro que gf es identificación sí y sólo si g es identificación.
Dada una aplicación continua f : X −→ Y y A ⊂ X, en general se tiene que
A ⊆ f −1 f(A). Diremos que A es un conjunto f-saturado si A = f −1 f(A).
Notar que una identificación f es abierta (cerrada) si y sólo si f −1 f(U) es
abierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) en X.
3.5 Teorema Sea f : X −→ Y una identificación y h : X −→ Z una
aplicación continua. Si h es constante sobre f −1 (y), para cada y ∈ Y , entonces
g : Y −→ Z, dada por g(y) = hf −1 (y), es continua (notar que gf = h).
Además g es abierta (cerrada) si y sólo si h(U) es abierto (cerrado) para todo
U abierto (cerrado) y f-saturado.
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Dem. Sea U ∈ τZ, entonces f −1 g −1 (U) = (gf) −1 (U) = h −1 (U) ∈ τX luego
g −1 (U) ∈ τ(f) = τY , ya que f es identificación, por tanto g continua. Por
otra parte, sea U = f −1 f(U) abierto en X, como f es identificación se sigue
que f(U) ∈ τ(f) = τY , entonces si g es abierta, también h(U) = gf(U) es
abierto. Recíprocamente, si V es abierto en Y se sigue que g(V ) = hf −1 (V )
será abierto en Z, ya que f −1 (V ) es un abierto f-saturado (en efecto, f sobre
implica que f −1 (A) es f-saturado para todo A ⊂ Y ), por tanto g es abierta.
Sea (X, τ) un e.t. y R una relación de equivalencia sobre X, denotaremos X/R
el conjunto cociente y q : X −→ X/R, dada por q(x) = [x], la proyección.
Entonces X/R con la topología identificación τ(q) inducida por q se dirá
espacio cociente de X por R.
Ejemplo Definimos una relación de equivalencia R sobre R 3 −{0} como sigue:
x ∼ y si y sólo si existe t ∈ R−{0} t.q. y = tx. El espacio cociente R 3 −{0}/R
se llama plano proyectivo real y lo denotaremos RP 2 .
Ejercicio 11 Sea D 2 = {x ∈ R 2 |x ≤ 1} el disco unidad, definimos una
relación de equivalencia R sobre D 2 como sigue: x ∼ y si y sólo si x = y ó son
antipodales (es decir, x, y ∈ S 1 y y = −x). Probar que D 2 /R ≈ RP 2 .
Sean X1, X2 e.t. con relaciones de equivalencia R1 y R2, respectivamente.
Diremos que una aplicación f : X1 −→ X2 conserva la relación si para todo
x ∼ y se sigue que f(x) ∼ f(y). En tal caso, se sigue que f induce una
aplicación en los cocientes f∗ : X1/R1 −→ X2/R2 dada por f∗[x] = [f(x)].
3.6 Proposición Si f es continua entonces también f∗ es continua. Si f es
identificación, también f∗ es identificación.
Dem. Notar que f∗q1 = q2f, entonces dado U ∈ τ(q2) se tiene que q −1
1 f −1
∗ (U) =
f −1q −1
2 (U) ∈ τX1 ya que f continua. Entonces f −1
∗ (U) ∈ τ(q1) y por tanto f∗ es
continua. Por otra parte, f identificación implica que también lo es q2f = f∗q1,
es decir τ(f∗q1) = τ(q2), pero τ(f∗) = τ(f∗q1) por (3.4), ya que q1 es una
identificación. Entonces τ(f∗) = τ(q2) y por tanto f∗ es identificación.
Una aplicación f : X −→ Y define una relación R(f) en X como sigue:
x1 ∼ x2 si y sólo si f(x1) = f(x2). Claramente R(f) es de equivalencia. El
espacio cociente X/R(f) se llama espacio descomposición de f. Denotamos
por q : X −→ X/R(f) la identificación, como f es constante sobre cada fibra
q −1 ([x]) = f −1 f(x), se sigue por (3.5) que la aplicación ˆ f : X/R(f) −→ Y ,
dada por ˆ f([x]) = f(x), es continua. Notar que f = ˆ fq y que ˆ f es inyectiva.
3.7 Teorema Sea f : X −→ Y continua y sobre, entonces ˆ f : X/R(f) −→ Y
es un homeomorfismo si y sólo si f es una identificación.
Dem. Si ˆ f es un homeomorfismo entonces f = ˆ fq es una identificación, ya
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que q lo es. Recíprocamente, notar que si f = ˆ fq es sobre, también lo es ˆ f,
por tanto ˆ f es una biyección continua. Como τ(f) = τ( ˆ fq) = τ( ˆ f), si f es
identificación también lo es ˆ f y el teorema se sigue por (3.2).
Coproductos
Dados dos espacios X1, X2 definimos la el coproducto ó suma topológica
X1 X2 como la unión disjunta de X1 y X2. Definimos una topología sobre
X1 X2 como sigue: U ⊂ X1 X2 es abierto si y sólo si U ∩ X1 y U ∩ X2 son
abiertos en X1 y X2 respectivamente. Es claro que esta topología es la mayor
t.q. las inclusiones i1 : X1 −→ X1 X2 y i2 : X2 −→ X1 X2 son continuas
(U), para k = 1, 2).
(en efecto, notar que U ∩ Xk = i −1
k
Dadas fk : Xk −→ Z (k = 1, 2) existe una aplicación f : X1 X2 −→ Z única
t.q. fi1 = f1 y fi2 = f2 (propiedad universal del coproducto)
3.7 Teorema f es continua si y sólo si f1 y f2 son continuas.
Dem. Sean f1 y f2 continuas y U abierto en Z, notar que f −1 (U) es abierto
en X1 X2 sí y sólo sí f −1 (U) ∩ Xk es abierto en Xk para k = 1, 2, pero
f −1 (U) ∩ Xk = i −1
k (f −1 (U)) = (fik) −1 (U) = f −1
k (U)
el cual es abierto en Xk por ser fk continua. El recíproco es obvio.
Sean A, B ⊂ X con la topología inducida, las inclusiones jA y jB de A y B
en A ∪ B respectivamente, son continuas e inducen por tanto una aplicación
continua y sobre j : A B −→ A ∪ B. Si f : A −→ Y y g : B −→ Y son
dos aplicaciones t.q. f(x) = g(x) para todo x ∈ A ∩ B, definimos la aplicación
”pegamiento” de f y g como la aplicación f ∪ g : A ∪ B −→ Y dada por
(f ∪ g)(x) = f(x) si x ∈ A y (f ∪ g)(x) = g(x) si x ∈ B.
3.8 Lema Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas, si A y B son cerrados
(ó abiertos) en A ∪ B entonces f ∪ g : A ∪ B −→ Y es también continua.
Dem. Por (3.7) la composición (f ∪ g)j : A B −→ Y es continua si lo
son f y g. Si A y B son cerrados en A ∪ B se sigue que j aplica cerrados
en cerrados luego es cerrada. Por (3.2) se sigue que j es una identificación,
entonces (f ∪ g)j continua y (3.4) implican que f ∪ g es continua.
Sea A un subespacio cerrado de X y f : A −→ Y una aplicación continua,
definimos una relación de equivalencia R sobre X Y como sigue: a ∼ f(a)
para todo a ∈ A. El espacio cociente X Y/R se llama adjunción ó pegado
de X e Y a través de f y lo denotaremos X ∪f Y . Si A cerrado en X y
f : A −→ Y continua t.q. Y = {∗} entonces X ∪f {∗} se denota usualmente
por X/A. Este último espacio denota también el espacio cociente X/R, donde
R es la siguiente relación de equivalencia: xRy sí y sólo si x = y ó x, y ∈ A.
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4 SEPARACIÓN
Un e.t. X se dice T0-espacio si para todo par de puntos x = y en X, existe un
abierto que contiene a uno de ellos y no al otro (es decir, ∃ U ∈ τ t.q. x ∈ U,
y ∈ (X − U) ó bien ∃ V ∈ τ t.q. y ∈ V , x ∈ (X − V )).
Ejemplo Espacios indiscretos no son T0-espacios. El espacio de Sierpinski
(X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X}) es un T0-espacio.
Un e.t. X se dice T1-espacio si para todo par de puntos x = y en X, existen
entornos de cada uno de ellos que no contienen al otro (es decir, ∃ U, V ∈ τ
t.q. x ∈ U ∩ (X − V ), y ∈ V ∩ (X − U)).
Ejemplo Todo T1-espacio es T0-espacio pero no recíprocamente: Notar que el
espacio de Sierpinski es un T0-espacio pero no T1-espacio.
4.1 Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es un T1-espacio.
(2) Todo punto en X es cerrado.
(3) Todo subespacio de X es intersección de abiertos que lo contienen.
Dem. Sea X un T1-espacio, x ∈ X y sea y ∈ X − {x}, como existe U entorno
abierto de y que no contiene a x se sigue que y ∈ U ⊂ X − {x}, luego X − {x}
es abierto y por tanto {x} es cerrado. Si todo punto es cerrado y A ⊂ X es
claro que A = ∩{X − {x}|x ∈ X − A}. Finalmente, sea x = y y supongamos
que se satisface (3), entonces para A = {x} es claro que existe un entorno
abierto de x que no contiene a y y análogamente, tomando A = {y}, existirá
un entorno abierto de y que no contiene a x, por tanto X es un T1-espacio.
Notar que la menor topología que hace de un conjunto X un T1-espacio es la
que tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X}, es decir la topología cofinita
τCF = {U ⊂ X|card(X − U) < ∞}. En particular, si X es un conjunto finito,
la única topología que hace de X un T1-espacio es la discreta.
Ejercicio 12 Sea X un T1-espacio y A ⊆ X. Si A es finito probar que A ′ es
cerrado. Si A infinito y x ∈ A ′ , probar que todo entorno de x contiene infinitos
puntos de A.
Ejercicio 13 Una relación de equivalencia R se dice cerrada si las clases
Rx = {y|y ∼ x} son subconjuntos cerrados de X. Sea R una relación de
equivalencia sobre un e.t. X, probar que X/R es T1 si y sólo si R es cerrada.
Ejercicio 14 Sea X un T1-espacio y A ⊂ X, entonces probar: (1) A ′ cerrado.
(2) (A ′ ) ′ ⊂ A ′ . (3) (A) ′ = A ′ .
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Espacios Hausdorff ó T2-espacios.
Un e.t. X se dice T2-espacio ó que es Hausdorff si para todo par de puntos
distintos existen abiertos disjuntos que los contienen (es decir, para todo x = y
en X, existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U, y ∈ V , U ∩ V = ∅).
Es claro que todo T2-espacio es un T1-espacio. Un conjunto de cardinal infinito
X con la topología cofinita es T1 pero no T2. La propiedad de ser un Tk-espacio
(k = 0, 1, 2) es hereditaria: subespacios de un Tk-espacio son Tk-espacios.
4.2 Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es Hausdorff.
(2) Sea x ∈ X, para todo y = x existe U ∈ τ t.q. x ∈ U, y /∈ U.
(3) Para todo x ∈ X, {U|U ∈ τ, x ∈ U} = {x}.
(4) La diagonal ∆ = {(x, x)|x ∈ X} es cerrado en X × X.
Dem. Sea x = y y suponer que X es Hausdorff, entonces existen U, V ∈ τ t.q.
x ∈ U, y ∈ V , U ∩ V = ∅, en particular y ∈ Int(X − U) = X − U. Que (2)
implica (3) es inmediato. Notar que U ∩ V = ∅ sí y sólo si U × V ∩ ∆ = ∅.
Sea (x, y) ∈ X × X − ∆ y supongamos que existe U entorno abierto de
x t.q. y ∈ X − U, entonces (x, y) ∈ U × (X − U) ⊂ X × X − ∆, luego
X ×X −∆ es abierto y por tanto ∆ es cerrado. Finalmente, si ∆ es cerrado su
complementario es abierto, entonces dados x = y existirán abiertos U, V t.q.
(x, y) ∈ U × V ⊂ X × X − ∆, por tanto U × V ∩ ∆ = ∅ ó equivalentemente
U ∩ V = ∅ y se sigue que X es Hausdorff.
Ejercicio 15 Sea X un espacio Hausdorff y F = {x1, ....xn} un conjunto
finito. Probar que existen entornos Ui de xi, 1 ≤ i ≤ n, disjuntos dos a dos.
4.3 Proposición Sea Y Hausdorff y f, g : X −→ Y continuas, entonces
C = {x ∈ X|f(x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso en
X y f|D = g|D entonces se sigue que f = g.
Dem. Veamos que X −C es abierto. Si x ∈ X −C entonces f(x) = g(x) y como
Y es Hausdorff existirán U, V abiertos t.q. f(x) ∈ U, g(x) ∈ V y U ∩ V = ∅.
Como f y g continuas se sigue que f −1 (U) ∩ g −1 (V ) abierto y es claro que
x ∈ f −1 (U) ∩ g −1 (V ) ⊂ X − C (en efecto, si z ∈ f −1 (U) ∩ g −1 (V ) entonces
f(z) = g(z), ya que f(z) ∈ U, g(z) ∈ V y U ∩ V = ∅, luego z ∈ X − C). Sea
D denso en X y f|D = g|D entonces D ⊂ C y X = D, como C es cerrado se
sigue que X = C, es decir f(x) = g(x) para todo x ∈ X y por tanto f = g.
Ejercicio 16 Diremos que un A ⊂ X es un retracto de X si existe r : X −→ A
continua t.q. ri = 1A, siendo i : A −→ X la inclusión. Probar que A es
un retracto de X si y sólo si para todo espacio Y , toda aplicación continua
f : A −→ Y se extiende a X, es decir existe g : X −→ Y continua t.q. gi = f.
10

Probar que si X es un espacio Hausdorff y A es un retracto de X, entonces A
es cerrado en X
Ejercicio 17 Diremos que un espacio X tiene la propiedad del punto fijo si
para toda aplicación continua f : X −→ X existe x ∈ X t.q. f(x) = x. Probar
que si X tiene la propiedad del punto fijo, también la tiene todo retracto de X.
Sea X un espacio Hausdorff y f : X −→ X continua. Probar que el conjunto
de puntos fijos de f es cerrado en X.
Ejercicio 18 Sea f : X −→ Y una aplicación continua, definimos el grafo de
f como el conjunto Γf = {(x, f(x))|x ∈ X} ⊂ X × Y . Probar que Γf, con la
topología inducida por la topología producto, es homeomorfo a X.
Ejercicio 19 Sea Y un e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicación continua.
Probar que Γf es cerrado en X × Y .
4.4 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicación continua. Si Y es Hausdorff
entonces C = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X × X.
Dem. Veamos que el complementario de C es abierto. Si (x1, x2) ∈ X × X − C
entonces f(x1) = f(x2) y como Y es Hausdorff, existirán abiertos disjuntos
U1, U2 t.q. f(x1) ∈ U1 y f(x2) ∈ U2. Entonces f −1 (U1) × f −1 (U2) es abierto y
(x1, x2) ∈ f −1 (U1) × f −1 (U2) ⊂ X × X − C (probaremos el último contenido:
si (z1, z2) ∈ f −1 (U1) × f −1 (U2) se sigue que f(z1) ∈ U1 y f(z2) ∈ U2, luego
f(z1) = f(z2), ya que U1 ∩ U2 = ∅, y por tanto (z1, z2) ∈ X × X − C).
Si f es abierta y sobre, entonces se satisface el recíproco:
4.5 Teorema Sea f : X −→ Y una aplicación continua, abierta y sobre, si
C = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X × X, entonces Y es Hausdorff.
Dem. Sean f(x1) = f(x2), entonces (x1, x2) ∈ X × X − C, abierto por ser C
cerrado, luego existen abiertos U1, U2 t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂ X × X − C y
por tanto U1 × U2 ∩ C = ∅ y esto implica U1 ∩ U2 = ∅, ya que ∆ ⊂ C. Si f
es abierta, se sigue que f(U1) y f(U2) son dos abiertos disjuntos que separan
a f(x1) y f(x2) y concluimos que Y es Hausdorff (probaremos que f(U1) y
f(U2) son disjuntos: si y ∈ f(U1) ∩ f(U2) existirán x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q.
f(x1) = y = f(x2), luego U1 × U2 ∩ C = ∅ y llegamos a una contradicción).
4.6 Proposición Dada una familia no vacía {Xi}i∈J, entonces el producto
Xi es un Tk-espacio (k = 0, 1, 2) si y sólo si cada factor Xi lo es.
Dem. Lo probaremos para el caso k = 2. Supongamos que Xi es un T2-espacio
para todo i ∈ J, si (xi) = (zi) en Xi, tales puntos diferirán al menos una
coordenada, es decir existe k ∈ J t.q. xk = zk. Como Xk es Hausdorff existirán
Uk, Vk ∈ τk t.q. xk ∈ Uk, zk ∈ Vk y Uk ∩ Vk = ∅. Entonces (xi) ∈ p −1
k (Uk),
11

(zi) ∈ p −1
k (Vk) abiertos en Xi t.q. p −1
k (Uk) ∩ p −1
k (Vk) = p −1
k (Uk ∩ Vk) = ∅.
Recíprocamente, si Xi es Hausdorff y k ∈ J, elegimos un punto x 0 i ∈ Xi
para cada i = k y sea ik : Xk −→ Xi, dada por ik(xk) = (xi) con xi = x 0 i
para todo i = k. Como la propiedad ”Hausdorff” es hereditaria se sigue que
ik(Xk) es Hausdorff, pero ik(Xk) es homeomorfo a Xk, y esto para todo k ∈ J.
Cocientes de espacios Hausdorff no son necesariamente Hausdorff.
Ejemplo Sea X = R 2 con la topología usual y definimos la siguiente relación
de equivalencia (x1, y1)R(x2, y2) sí y sólo si y1, y2 < 0 ó y1, y2 ≥ 0. Sean
A = {(x, y)|y ≥ 0} y B = {(x, y)|y < 0} y consideremos la identificación
q : X −→ X/R, denotamos q(A) = a y q(B) = b. Entonces X/R = {a, b}.
Como q −1 (b) = B abierto en la topología usual, se sigue que {b} es abierto en
X/R, luego la topología cociente es τ(q) = {∅, {b}, X/R}, es decir (X/R, τ(q))
es el espacio de Sierpinski, que no es Hausdorff.
Dada una relación de equivalencia R sobre un e.t. X, podemos mirarla como
un subespacio del producto: R = {(x1, x2)|x1 ∼ x2} ⊂ X × X. La aplicación
q × q : X × X −→ X/R × X/R es continua y es claro que R = (q × q) −1 (∆).
Notar que si X/R es Hausdorff entonces R debe ser un cerrado en X × X.
4.7 Proposición Sea X un e.t., R una relación de equivalencia sobre X. Si R
es cerrado en X × X y q : X −→ X/R es abierta, entonces X/R es Hausdorff.
Dem. Sean [x1] = [x2] en X/R, es decir (x1, x2) ∈ X ×X −R, el cual es abierto
por ser R cerrado, entonces existen U1, U2 abiertos t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂
X × X − R. Como q abierta, q(U1) y q(U2) son dos abiertos t.q. [x1] ∈ q(U1),
[x2] ∈ q(U2) y q(U1) ∩ q(U1) = ∅ (en efecto, si [x] ∈ q(U1) ∩ q(U1) entonces
existen x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q. [x] = q(x1) = q(x2) ó bien [x1] = [x2], y por
tanto (x1, x2) ∈ R, lo cual es una contradicción ya que U1 ×U2 ⊂ X ×X −R).
4.8 Proposición Si Y es un espacio Hausdorff y f : X −→ Y es una aplicación
continua e inyectiva entonces también X es Hausdorff. En particular, si Y
Hausdorff y f : X −→ Y continua entonces X/R(f) es Hausdorff.
Dem. Sean x1 = x2 en X, si f es inyectiva entonces f(x1) = f(x2) y como
Y es Hausdorff, existirán abiertos U1 y U2 t.q. f(x1) ∈ U1, f(x2) ∈ U2 y
U1 ∩ U2 = ∅. Entonces, si f es continua, f −1 (U1) y f −1 (U2) son abiertos t.q.
x1 ∈ f −1 (U1), x2 ∈ f −1 (U2) y f −1 (U1)∩f −1 (U2) = f −1 (U1 ∩U2) = f −1 (∅) = ∅,
luego X ∈ T2. La segunda parte se sigue inmediatamente ya que f continua
implica que ˆ f : X/R(f) −→ Y es continua e inyectiva.
Espacios regulares y T3-espacios.
Un e.t. (X, τ) se dice regular si para todo F cerrado en X y x /∈ F existen
U, V ∈ τ t.q. x ∈ U, F ⊂ V y U ∩ V = ∅. En general, un espacio regular no es
12

necesariamente un T1-espacios (en efecto, un espacio indiscreto es regular pero
no es T0, por tanto tampoco T1). Un T1-espacio regular se dirá T3-espacio.
Ejemplo Todo T3-espacio es Hausdorff pero no recíprocamente. Sea X = R
con la topología τ definida como sigue: los entornos básicos para cada punto
x = 0 son los usuales y los entornos básicos del 0 son de la forma (−ε, ε) − A,
donde A = {1/n}n∈N. Entonces (R, τ) es Hausdorff, ya que τ es mas fina que
la topología usual (es decir, τU ⊂ τ), pero (R, τ) no es un T3-espacio: A es un
cerrado en X que no se puede separar de 0 por abiertos disjuntos.
4.9 Teorema Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X es regular.
(2) Sean U ∈ τ y x ∈ U, entonces existe V ∈ τ t.q. x ∈ V y V ⊂ U.
(3) Todo x ∈ X admite una base de entornos Bx = {Bx} t.q. Bx cerrado.
Dem. Sea U entorno abierto de x, entonces x /∈ X −U cerrado, si X es regular
existirán V, W abiertos t.q. x ∈ V , X − U ⊂ W y V ∩ W = ∅. En particular
V ⊂ X − W ⊂ U y X − W cerrado implica V ⊂ X − W ⊂ U. Que (2)
implica (3) es obvio. Finalmente, si se satisface (3) y F es un cerrado en X
t.q. x /∈ F , notar que X − F es un abierto que contiene a x, luego existe V
entorno cerrado de x t.q. x ∈ V ⊂ X −F . Es claro que x ∈ Int(V ), F ⊂ X −V
y Int(V ) ∩ (X − V ) = ∅, por tanto X es regular.
Ejercicio 20 Si X es un T3-espacio probar que para todo par de puntos x = y
existen entornos U de x y V de y t.q. U ∩ V = ∅.
La regularidad es hereditaria y se conserva en productos:
4.10 Proposición Dada una familia {Xi}i∈J, entonces el producto Xi es
regular (T3-espacio) si y sólo si cada factor Xi es regular (T3-espacio).
Dem. Si Xi es regular también lo será Xk ≈ ik(Xk) ⊂ Xi. Recíprocamente,
suponer que Xk es regular para todo k ∈ J y sean (xi) ∈ Xi y U = Ui ∈ τp
t.q. (xi) ∈ U (recordar que Ui = Xi para todo i ∈ J−F ). Para cada xi elegimos
Vi ∈ τi t.q. xi ∈ Vi ⊂ Vi ⊂ Ui de forma que Vi = Xi cuando Ui = Xi, entonces
(xi) ∈ Vi ⊂ Vi = Vi ⊂ Ui = U. Por (4.9) se sigue que Xi es regular.
Por (4.5) la proposición se satisface también para T3-espacios.
Cocientes de T3-espacios no son necesariamente regulares:
Ejemplo Sea X = {(x, 0)|x ∈ R} ∪ {(x, 1)|x ∈ R} y sea Y el espacio cociente
de X obtenido al identificar los puntos p 0 ≡ (x, 0) con p 1 ≡ (x, 1) para todo
0 = x ∈ R. Claramente X es T3 y la proyección q : X −→ Y es continua sobre
y abierta pero los puntos p 0 y p 1 no se pueden separar por abiertos. Por tanto
Y es T1 pero no T2 y como los puntos son cerrados, tampoco es regular.
13

4.11 Lema Sea f : X −→ Y una aplicación continua y cerrada, B ⊂ Y y
U ∈ τX t.q. f −1 (B) ⊂ U, entonces existe V ∈ τY t.q. B ⊂ V y f −1 (V ) ⊂ U.
Dem. Definimos V = Y −f(X −U) que es abierto si f cerrada. Si f −1 (B) ⊂ U,
entonces B ⊂ V (en efecto, si y ∈ B entonces f −1 (y) ⊂ U ó equivalentemente
f −1 (y) ∩ (X − U) = ∅, luego y = ff −1 (y) ∈ Y − f(X − U) = V ). Además,
f −1 (V ) = f −1 (Y − f(X − U)) = X − f −1 f(X − U) ⊂ X − (X − U) = U.
4.12 Teorema Sea X un T3-espacio y f : X −→ Y una aplicación continua,
sobre, abierta y cerrada. Entonces Y es Hausdorff.
Dem. Notar en primer lugar que si f es continua, sobre y abierta se sigue en
particular que f es una identificación. Para que Y sea Hausdorff, por (4.4)
bastará probar que R(f) = {(x1, x2)|f(x1) = f(x2)} es cerrado en X × X ó
bien que su complementario es abierto: sea (x1, x2) ∈ X × X − R(f), entonces
f(x1) = f(x2) y por tanto x1 /∈ f −1 f(x2). Notar que este último conjunto
es cerrado ya que X es T1-espacio (en particular {x2} será cerrado) y f es
cerrada, entonces como X es regular existirán abiertos U, V en X t.q. x1 ∈ U,
f −1 f(x2) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Aplicando (4.11) para B = f(x2), existirá un
abierto W t.q. f(x2) ∈ W y f −1 f(x2) ⊂ f −1 (W ) ⊂ V y como U ∩f −1 (W ) = ∅
se sigue que (x1, x2) ∈ U × f −1 (W ) ⊂ X × X − R(f), luego R(f) cerrado.
Sea A un subespacio cerrado de X, notar que la identificación q : X −→ X/A
es una aplicación cerrada. En efecto, sea F cerrado en X, como X/A tiene la
topología cociente, notar que q(F ) será cerrado en X/A sí y sólo si q −1 q(F )
es cerrado en X. Pero q −1 q(F ) = F , si F ∩ A = ∅ y q −1 q(F ) = F ∪ A, si
F ∩ A = ∅. Por tanto q −1 q(F ) es cerrado en ambos casos, supuesto A cerrado.
4.13 Teorema Si X es un T3-espacio y A es cerrado en X, entonces X/A con
la topología cociente es un espacio Hausdorff.
Dem. Si [x1] = [x2] caben dos casos: x1, x2 /∈ A ó x1 /∈ A y x2 ∈ A. En el
primer caso, como X − A es Hausdorff, existirán U, V abiertos en X − A y por
tanto en X, ya que X − A abierto en X, t.q. x1 ∈ U, x2 ∈ V y U ∩ V = ∅.
Notar que U = q −1 q(U) y V = q −1 q(V ), por tanto q(U) y q(V ) son abiertos
en X/A t.q. [x1] ∈ q(U), [x2] ∈ q(V ) y q(U) ∩ q(V ) = ∅. En el segundo caso, si
x1 /∈ A existirán U, V abiertos en X t.q. x1 ∈ U, A ⊂ V y U ∩ V = ∅, ya que
A cerrado y X es un T3-espacio. Como U ⊂ X − A se sigue que U = q −1 q(U),
luego [x1] ∈ q(U) abierto en X/A. Es claro también que V = q −1 q(V ) y por
tanto [x2] = {A} ∈ q(V ) abierto en X/A. Como q(U) ∩ q(V ) = ∅ concluimos
que X/A es Hausdorff.
Espacios normales y T4-espacios
Un e.t. (X, τ) se dice normal si para todo par de subespacios cerrados y
disjuntos A y B, existen abiertos U y V t.q. A ⊂ U, B ⊂ V y U ∩ V = ∅.
14

Ejemplo Un espacio normal no es necesariamente regular. En efecto, sea R
con la siguiente topología τ = {∅, R} ∪ {(a, +∞)|a ∈ R}, entonces (R, τ)
es trivialmente normal, ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es
regular ya que 1 ∈ R y el cerrado (−∞, 0] no se pueden separar por abiertos
disjuntos (el único abierto que contiene a (−∞, 0] es R).
Notar que (R, τ) es T0-espacio pero no T1-espacio. Análogamente, el espacio
de Sierpinski es normal ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es
un T1-espacio. Un T1-espacio normal se dirá T4-espacio. En un T1-espacio,
normalidad implica regularidad, luego todo T4-espacio es T3-espacio.
Ejemplo La recta de Sorgenfrey (R, τS) es un T4-espacio: dados dos cerrados
disjuntos A, B ⊂ R, para todo a ∈ A existe ra > a t.q. [a, ra) ∩ B = ∅ y
para todo b ∈ B existe sb > b t.q. [b, sb) ∩ A = ∅. Sean UA =
a∈A[a, ra) y
UB =
b∈B[b, sb). Entonces UA y UB son abiertos t.q. A ⊂ UA, B ⊂ UB y
UA ∩ UB = ∅. En efecto, si x ∈ UA ∩ UB existen a, b ∈ R t.q. x ∈ [a, ra) ∩ [b, sb)
luego a ≤ x < ra y b ≤ x < sb. Pero si suponemos a < b entonces b ∈ [a, ra) lo
cual contradice que [a, ra) ∩ B = ∅. Concluimos que (R, τS) es normal. Como
τS ⊃ τU, es claro que (R, τS) es un T1-espacio y por tanto es un T4-espacio.
Ejemplo Todo espacio métrico (X, d) es un T4-espacio: sean A, B cerrados
disjuntos, para cada x ∈ A existe δx > 0 t.q. B(x, δx) ∩ B = ∅ y para cada
y ∈ B existe εy > 0 t.q. B(y, εy) ∩ A = ∅. Definimos U =
x∈A B(x, δx/3)
y V =
y∈B B(y, εy/3), entonces U, V son abiertos en (X, d) t.q. A ⊂ U,
B ⊂ V . Supongamos que z ∈ U ∩ V , entonces d(x, z) < δx/3, d(z, y) < εy/3
y por la desigualdad triangular d(x, y) < δx/3 + εy/3 < δx, suponiendo δx =
max{δx, εy}, se sigue que y ∈ B(x, δx) y esto contradice que B(x, δx) ∩ B = ∅.
Por tanto U ∩ V = ∅ y en consecuencia (X, d) es normal. Claramente todo
espacio métrico es un T2-espacio y por tanto un T1-espacio.
4.14 Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es normal.
(2) Para todo cerrado A y abierto U t.q. A ⊂ U, existe un abierto V t.q.
A ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
(3) Para todo par de cerrados disjuntos A, B existe un abierto U t.q. A ⊂ U
y U ∩ B = ∅.
(4) Todo par de cerrados disjuntos admiten entornos cuyas clausuras son
disjuntas.
Dem. Sea A cerrado y U abierto t.q. A ⊂ U, entonces X − U es cerrado y
A∩(X −U) = ∅. Si X es normal existen abiertos V, W t.q. A ⊂ V , X −U ⊂ W
y V ∩ W = ∅. En particular V ⊂ X − W y como X − W es cerrado se sigue
A ⊂ V ⊂ V ⊂ X − W ⊂ U, luego (1) =⇒ (2). Supongamos cierto (2) y sean
A, B cerrados disjuntos, entonces A ⊂ X − B abierto implica que existe un
abierto U t.q. A ⊂ U ⊂ U ⊂ X − B, en particular U ∩ B = ∅ y por tanto
15

(2) =⇒ (3). Sean A, B cerrados disjuntos, por (3) existe U abierto t.q. A ⊂ U
y U ∩ B = ∅, aplicando de nuevo (3) a los cerrados disjuntos B y U, existirá
un abierto V t.q. B ⊂ V y V ∩ U = ∅, luego (3) =⇒ (4). Finalmente, que
(4) =⇒ (1) es obvio.
El siguiente resultado debido a F.B. Jones es útil para construir espacios que
no sean normales.
4.15 Lema Si un e.t. X contiene subespacios D, S t.q. D denso, S cerrado y
discreto (con la topología inducida) y |S| ≥ 2 |D| , entonces X no es normal.
Dem. Sea T ⊂ S, como τS es la topología discreta es claro que T es cerrado
en S y por lo tanto en X. Entonces T y S − T son cerrados disjuntos y si
suponemos que X es normal existirán abiertos UT , VT t.q. T ⊂ UT , S −T ⊂ VT
y UT ∩ VT = ∅. Sean T1, T2 ∈ P(S) y notar que si T1 = T2 entonces también
UT1 ∩ D = UT2 ∩ D (en efecto, T1 = T2 implica T1 ∩ (S − T2) = ∅ ó bien
T2 ∩ (S − T1) = ∅. Supongamos T1 ∩ (S − T2) = ∅, entonces UT1 ∩ VT2 = ∅ y
como D es denso UT1 ∩ VT2 ∩ D = ∅, pero como UT1 ∩ VT2 ∩ D ⊂ UT1 ∩ D y
UT1 ∩ VT2 ∩ D ∩ UT2 = ∅, ya que UT2 ∩ VT2 = ∅, se sigue UT1 ∩ D = UT2 ∩ D).
Entonces la aplicación Φ : P(S) −→ P(D), dada por Φ(T ) = UT ∩ D, es
inyectiva y por tanto |S| < |P(S)| ≤ |P(D)| = 2 |D| , lo cual contradice la
hipótesis, luego X no puede ser normal.
Ejercicio 21 Probar que el plano de Moore es T3-espacio pero no T4-espacio.
La normalidad no es hereditaria en general paro sí para cerrados.
4.16 Proposición Sea X un espacio normal (T4-espacio) y F cerrado en X,
entonces F con la topología inducida también es normal (T4-espacio).
Dem. Sean A, B cerrados disjuntos en F , entonces A y B son cerrados en X
y como X es normal, existirán U, V abiertos en X t.q. A ⊂ U, B ⊂ V y
U ∩ V = ∅. Entonces F ∩ U y F ∩ V son abiertos en F t.q. F ∩ U ∩ V = ∅,
por tanto F es normal.
El producto de espacios normales no es necesariamente normal
Ejercicio 22 Sea RS = (R, τS) la recta de Sorgenfrey, probar que RS × RS no
es normal.
En general, la normalidad no se conserva en cocientes.
4.17 Proposición Sea X un espacio normal (T4-espacio) y f : X −→ Y una
aplicación continua, cerrada y sobre, entonces Y es normal (T4-espacio).
Dem. Sea f : X −→ Y una aplicación continua, sobre y cerrada, dados A, B
cerrados disjuntos en Y se sigue que f −1 (A) y f −1 (B) son cerrados disjuntos
16

en X, como X es normal existirán U, V abiertos en X t.q. f −1 (A) ⊂ U,
f −1 (B) ⊂ V y U ∩ V = ∅. Por (4.11) existirán UA, VB abiertos en Y t.q.
A ⊂ UA y f −1 (UA) ⊂ U, B ⊂ VB y f −1 (VB) ⊂ V . Notar que f −1 (UA ∩ VB) =
f −1 (UA) ∩ f −1 (VB) ⊂ U ∩ V = ∅, por tanto UA ∩ VB = ∅ y concluimos que Y
es normal. Como la imagen de un T1-espacio bajo una aplicación continua y
cerrada es un T1-espacio, la proposición se sigue para T4-espacios.
4.18 Corolario Si X es normal y A cerrado en X entonces X/A es normal.
Dem. Notar que si A cerrado entonces q : X −→ X/A es una aplicación
continua, sobre y cerrada.
Finalizamos el capítulo con dos útiles caracterizaciones de la normalidad
Lema de Urysohn Un espacio X es normal si y sólo si para todo par A, B
de cerrados disjuntos, existe una aplicación continua f : X −→ [0, 1] t.q.
f(A) = 0 y f(B) = 1.
Teorema de extensión de Tietze Un espacio X es normal si y sólo si para
todo A cerrado en X y toda aplicación continua f : A −→ R existe una
aplicación continua F : X −→ R extendiendo a f (es decir, tal que F |A = f).
5 COMPACIDAD
Un recubrimiento abierto de X es una colección de abiertos U = {Ui}i∈J t.q.
X =
i∈J Ui. Diremos que un espacio X es compacto si todo recubrimiento
abierto U = {Ui}i∈J de X admite un subrecubrimiento finito, es decir si existe
un conjunto finito de índices F ⊂ J t.q. X =
i∈F Ui.
Ejemplos Con la topología usual, R no es compacto: en efecto, si Un = (−n, n)
entonces U = {Un}n∈N es un recubrimiento abierto de R que no admite un
subrecubrimiento finito. Todo espacio finito es obviamente compacto. En un
espacio discreto, vale el recíproco: compacto ⇐⇒ finito. Un espacio X con la
topología cofinita es compacto.
Diremos que un e.t. X tiene la propiedad de intersección finita (p.i.f.)
si para toda familia de cerrados {Ci}i∈J t.q. cualquier número finito de ellos
tiene intersección no vacía entonces también
i∈J Ci = ∅.
5.1 Teorema Un espacio topológico es compacto si y sólo si tiene la p.i.f..
Dem. Sea X compacto y {Ci}i∈J una familia de cerrados t.q.
i∈F Ci = ∅ para
todo conjunto finito de índices F ⊂ J y suponer
i∈J Ci = ∅, entonces X =
X −∅ = X −
i∈J Ci =
i∈J(X −Ci), es decir {X −Ci}i∈J es un recubrimiento
17

abierto de X y como X compacto, existe un conjunto finito de índices F ⊂ J
t.q. {X − Ci}i∈F recubre X. Entonces X =
i∈F (X − Ci) = X −
i∈F Ci y
por tanto
i∈F Ci = ∅, llegando a contradicción. Recíprocamente, sea X con la
p.i.f. y supongamos que X no es compacto, entonces existirá un recubrimiento
abierto U = {Ui}i∈J de X que no admite un subrecubrimiento finito, es decir
∅ = X −
i∈F Ui =
i∈F (X − Ui) para todo subconjunto finito de índices
F ⊂ J, entonces ∅ =
i∈J(X − Ui) = X −
i∈J Ui y llegamos a contradicción.
Ejercicio 23 Probar que en un espacio compacto todo subconjunto infinito
tiene punto de acumulación (Teorema de Bolzano-Weierstrass).
Un subespacio K ⊂ X se dice compacto si (K, τ|K) es compacto ó bien si
para todo recubrimiento abierto U = {Ui}i∈J de K, es decir t.q. K ⊂
i∈J Ui,
existe algún conjunto finito de índices F ⊂ J t.q. K ⊂
i∈F Ui.
5.2 Teorema Todo subespacio cerrado en un espacio compacto es compacto.
Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de K, como K es cerrado
es claro que U ′ = U ∪ {X − K} es un recubrimiento abierto de X. Como
X compacto, existirá un subrecubrimiento finito {X − K, U1, ..., Un} de X,
entonces es claro que K ⊂ U1 ∪ · · · Un y por tanto que K es compacto.
El recíproco no es cierto en general: sea X = {a, b} con τ = {∅, {a}, X} el
espacio de Sierpinski, entonces X y K = {a} son compactos por ser finitos
pero K no es cerrado en X.
5.3 Lema Sea X un e.t. Hausdorff, K compacto en X y x ∈ X −K. Entonces
existen abiertos U, V t.q. x ∈ U, K ⊂ V y U ∩ V = ∅.
Dem. Sea x ∈ X − K, si X es Hausdorff para todo y ∈ K existirán abiertos
disjuntos U y x, Vy t.q. x ∈ U y x y y ∈ Vy. Es claro que {Vy}y∈K es un recubrimiento
abierto de K y por ser K compacto existirá un subrecubrimiento finito, es decir
K ⊂ Vy1 ∪· · ·∪Vyn. Definimos U = U y1
x ∩· · ·∩U yn
x y V = Vy1 ∪· · · Vyn, entonces
yk
U, V abiertos, x ∈ U, K ⊂ V y U ∩ V = ∅ (en efecto, U ∩ Vyk ⊂ Ux ∩ Vyk = ∅
para 1 ≤ k ≤ n, por tanto U ∩ V = (U ∩ Vy1) ∪ · · · ∪ (U ∩ Vyn) = ∅).
5.4 Corolario En un espacio Hausdorff todo subespacio compacto es cerrado.
Dem. Sea X Hausdorff y K un subespacio compacto de X, si x ∈ X − K
por 5.3 existirán U, V abiertos disjuntos t.q. x ∈ U y K ⊂ V . En particular
x ∈ U ⊂ X − V ⊂ X − K, es decir X − K es abierto y por tanto K es cerrado.
5.5 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff y K1, K2 dos subespacios compactos y
disjuntos. Entonces existen abiertos U, V t.q. K1 ∈ U, K2 ⊂ V y U ∩ V = ∅.
Dem. Por 5.3, para todo y ∈ K2 existirán abiertos Uy, Vy t.q. y ∈ Uy, K1 ⊂ Vy
18

y Uy ∩Vy = ∅. Notar que {Uy}y∈K2 es un recubrimiento abierto de K2 y por ser
K2 compacto existirá un subrecubrimiento finito, es decir K2 ⊂ Uy1 ∪· · ·∪Uym.
Sean U = Uy1 ∪· · ·∪Uym y V = Vy1 ∩· · ·∩Vym, es claro que U y V son abiertos
t.q. K1 ⊂ U, K2 ⊂ V y, como en 5.3, es fácil probar que U ∩ V = ∅.
Una consecuencia inmediata de 5.5 es el siguiente resultado
5.6 Corolario Todo espacio compacto y Hausdorff es un T4-espacio.
Ejercicio 24 Sea A = {an}n∈N una sucesión de puntos en un e.t. X que
converge a un punto a ∈ X. Probar que K = A ∪ {a} es compacto.
Ejercicio 25 Sea X un e.t. Hausdorff y A ⊂ X un subespacio compacto.
Probar que el derivado A ′ también es compacto.
Ejercicio 26 Sea {Ki} n i=1 una familia finita de subespacios compactos de un
e.t. X. Probar que la unión K = K1 ∪ · · · ∪ Kn es un compacto.
5.7 Proposición Sea X compacto y f : X −→ Y una aplicación continua,
entonces f(X) es compacto. Si además Y es Hausdorff entonces f es cerrada.
Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de f(X), como f continua se
sigue que {f −1 (Ui)}i∈J es un recubrimiento abierto de X y siendo X compacto
existirá un conjunto finito F ⊂ J t.q. X =
i∈F f −1 (Ui), entonces f(X) =
f(
i∈F f −1 (Ui)) =
i∈F ff −1 (Ui) ⊆
i∈F (Ui), por tanto f(X) compacto. Sea
C cerrado en X, entonces C es compacto y también f(C) compacto, por tanto
cerrado cuando Y es Hausdorff. Concluimos que f es una aplicación cerrada.
Se sigue inmediatamente un importante resultado
5.8 Corolario Toda biyección continua de un espacio compacto en un espacio
Hausdorff es un homeomorfismo.
Es también inmediato probar (ver 3.5)
5.9 Corolario Si f : X −→ Y es una identificación, h : X −→ Z continua
y constante sobre las fibras f −1 (y), X compacto, Z Hausdorff y g : Y −→ Z,
dada por g(y) = hf −1 (y), es biyectiva entonces g es un homeomorfismo.
5.10 Teorema Si Y es compacto, entonces la proyección pX : X × Y −→ X
es una aplicación cerrada.
Dem. Sea C cerrado en X × Y y vamos a probar que X − pX(C) es abierto.
Si x ∈ X − pX(C) es claro que {x} × Y ∩ C = ∅, luego (x, y) ∈ X × Y − C
para todo y ∈ Y . Como X × Y − C es abierto, existirán abiertos U y x y Vy t.q.
x ∈ U y x, y ∈ Vy y (x, y) ∈ U y x × Vy ⊂ X × Y − C. Es claro que {U y x × Vy}y∈Y es
un recubrimiento abierto de {x} × Y y siendo este último compacto, por ser
19

homeomorfo a Y , admitirá un subrecubrimiento finito {U y1
x ×Vy1, ..., U yn
x ×Vyn}.
Entonces U = U y1
x ∩ ... ∩ U yn
x es un abierto t.q. x ∈ U ⊂ X − pX(C), ya que
U ∩pX(C) = ∅. Concluimos que X −pX(C) es abierto, luego pX(C) es cerrado.
5.11 Corolario Sea Y compacto, A ⊂ X y U un abierto en X × Y t.q.
A × Y ⊂ U , entonces existe un abierto V en X t.q. A × Y ⊂ V × Y ⊂ U.
Dem. Como p −1
X (A) = A × Y y pX es cerrada, se sigue de (4.11) que existe
V abierto en X t.q. A ⊂ V y V × Y = p −1
X (V ) ⊂ U.
5.12 Corolario Sea Y un e.t. compacto y Hausdorff, entonces f : X −→ Y
es continua si y sólo si su grafo Γf es cerrado en X × Y .
Dem. Sea C cerrado en Y , si Γf es cerrado entonces p −1
Y (C)∩Γf = X ×C ∩Γf
será cerrado en X × Y . Notar que pX(X × C ∩ Γf) = {x|f(x) ∈ C} = f −1 (C),
como pX cerrada se sigue que f −1 (C) es cerrado y por tanto que f es continua.
Para el recíproco ver Ej.19
5.13 Teorema Un producto finito de espacios es compacto si y sólo si lo son
cada uno de sus factores.
Dem. Sea X ×Y es compacto, entonces por (5.7) también X, Y son compactos
ya que pX y pY son continuas. Recíprocamente, sean X, Y compactos y sea
U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de X × Y . Dado x ∈ X es claro que
{x} × Y es compacto, ya que es homeomorfo a Y , entonces {x} × Y admite
un subrecubrimiento finito {U1, ..., Un}. Sea Ux = U1 ∪ · · · ∪ Un, por (5.11)
existirá un abierto Vx t.q. {x} × Y ⊂ Vx × Y ⊂ Ux. Como X es compacto y
X =
x∈X Vx, admitirá un subrecubrimiento finito {Vx1, ..., Vxk }, entonces es
claro que {Vx1 × Y, ..., Vxk × Y } es un recubrimiento abierto de X × Y , pero
Vxi × Y ⊂ Uxi y cada Uxi es unión finita de miembros de U, luego X × Y
compacto. Por inducción lo podemos extender a cualquier producto finito.
Este último resultado se extiende también al caso infinito (Dugundji, 224)
Teorema de Tychonoff Dada una familia arbitraria {Xi}i∈J entonces el
producto
i∈J Xi es compacto si y sólo si Xi es compacto para todo i ∈ J.
Espacios métricos compactos
5.14 Lema Sea R con la topología usual, todo intervalo cerrado [a, b] ⊂ R es
compacto y K ⊂ R es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Dem. Sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de [a, b] y sea c el supremo
de los x ∈ [a, b] t.q. [a, x] ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Un, para algún número finito de Ui ∈ U.
Supongamos que c < b y sea U0 ∈ U t.q. c ∈ U0, claramente existirá ε con
0 < ε < b − c t.q. [c − ε, c + ε] ⊂ U0. Como [a, c − ε] se puede recubrir
20

con un número finito de abiertos {U1, ..., Un} ⊂ U es claro que [a, c + ε] se
podrá recubrir con {U0, U1, ..., Un}, lo cual contradice que c sea el supremo.
Entonces necesariamente c = b y por tanto [a, b] es compacto. Sea K un
subespacio compacto, como (R, τU) es Hausdorff, se sigue que K es cerrado.
Es claro que U = {(−n, n)}n∈N es un recubrimiento abierto de K, por tanto
existirá n0 ∈ N t.q. K ⊂ (−n0, n0), luego K está acotado. Recíprocamente,
supongamos que K es cerrado y acotado, por ser K acotado existirán a, b ∈ R
t.q. K ⊂ [a, b], si K es cerrado en R también será cerrado en [a, b] y siendo
este último compacto se sigue por (5.2) que K es compacto.
Claramente K ⊂ R n es acotado si y sólo si existen ai, bi ∈ R, para 1 ≤ i ≤ n,
t.q. K ⊂ [a1, b1] × · · · × [an, bn].
5.15 Teorema de Heine-Borel Un subespacio K ⊂ R n es compacto si y
sólo si es cerrado y acotado.
Dem. Notar que R n no es compacto (en otro caso, por (5.13) también lo
tendría que ser R). Sea K ⊂ R n compacto, como R n es Hausdorff se sigue que
K es cerrado. Por otra parte, pi(K) será compacto en R, para todo 1 ≤ i ≤ n,
luego pi(K) ⊂ [ai, bi], para algún ai, bi ∈ R, entonces K ⊂ [a1, b1]×· · ·×[an, bn]
y por tanto K está acotado. Recíprocamente, sea K cerrado y acotado, por ser
acotado es claro que K ⊂ [a1, b1]×· · ·×[an, bn], y siendo este último compacto
y K cerrado, se sigue por (5.2) que K también es compacto.
Sea (E, d) un espacio métrico y A ⊂ E, definimos el diámetro de A como
d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} y diremos que A está acotado si d(A) < ∞. Una
función continua f : X −→ E se dirá acotada si existe un número real M ≥ 0
t.q. d(f(X)) ≤ M, es decir si f(X) es un subespacio acotado de E.
5.16 Corolario Sea X un e.t. compacto y f : X −→ R una aplicación
continua, entonces f está acotada y alcanza sus cotas.
Dem. Sean m = inf{f(x)|x ∈ X} y M = sup{f(x)|x ∈ X}, claramente m
y M son puntos de acumulación de f(X), es decir m, M ∈ f(X). Entonces
X compacto implica f(X) compacto en R, por tanto cerrado y acotado. En
particular m, M ∈ f(X), es decir ∃ x0, y0 ∈ X t.q. f(x0) = m y f(y0) = M.
5.17 Lema de Lebesgue Sea (E, d) un espacio métrico compacto y U =
{Ui}i∈J un recubrimiento abierto de E, entonces existe ρ > 0 t.q. toda bola
B(x, ρ) = {y ∈ E|d(x, y) < ρ} está contenida en algún Ui ∈ U (llamaremos a
ρ el número de Lebesgue del recubrimiento U).
Dem. Dado xi ∈ E existe Ui ∈ U t.q. xi ∈ Ui y como las bolas forman
base de la topología inducida por la métrica, existe ri > 0 t.q. B(xi, ri) ⊂
Ui. Notar que {B(xi, ri/2)}xi∈E es un recubrimiento abierto de E y como
E compacto existirá un subrecubrimiento finito {B(x1, r1/2), ..., B(xn, rn/2)},
21

entonces dado x ∈ E se sigue que x ∈ B(xi, ri/2) para algún i ∈ {1, 2, .., n}.
Denotamos ρ = min{r1/2, ..., rn/2}, entonces si z ∈ B(x, ρ) se tiene
d(z, xi) ≤ d(z, x) + d(x, xi) < ρ + ri
2
luego z ∈ B(xi, ri) y por tanto B(x, ρ) ⊂ B(xi, ri) ⊂ Ui.
≤ ri
Ejercicio 27 Probar que S n−1 = {x ∈ R n |x = 1} es compacto en R n .
Ejercicio 28 Sea H 2 = S 2 ∩{(x, y, z)|z ≥ 0} ⊂ R 3 el hemisferio norte. Probar
que H 2 es compacto y si D 2 = {(x, y) ∈ R 2 |x 2 + y 2 ≤ 1} es el disco unidad en
R 2 , entonces h : H 2 −→ D 2 dada por h(x, y, z) = (x, y) es homeomorfismo.
Ejercicio 29 Sea A = [0, 1) ⊂ R, B = {(x, y) ∈ R 2 |y = x 2 , x ≥ 0} ⊂ R 2
y C = {(x, y) ∈ R 2 |x 2 + y 2 = 1, x ≥ 0} ⊂ R 2 . Probar que A y B son
homeomorfos pero ninguno de ellos es homeomorfo a C.
Espacios localmente compactos
Un subespacio A de un e.t. X se dice relativamente compacto si su clausura
A es compacta. Un e.t. X se dice localmente compacto si todo punto de X
tiene un entorno abierto relativamente compacto.
Ejemplos (1) Todo espacio compacto es localmente compacto. (2) El espacio
euclídeo R n es localmente compacto para todo n ≥ 1. (3) Todo espacio infinito
y discreto es localmente compacto. La recta racional Q y la recta irracional
R − Q no son localmente compactos.
5.18 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff, entonces son equivalentes:
(1) X es localmente compacto.
(2) Para todo x ∈ X y todo abierto U t.q. x ∈ U, existe un abierto V
relativamente compacto t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U.
(3) Para todo subespacio compacto K y todo abierto U ⊃ K, existe un
abierto V relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
(4) X tiene una base que consiste en abiertos relativamente compactos.
Dem. Sea x ∈ X y U abierto en X t.q. x ∈ U. Si X localmente compacto, x
admitirá un entorno W relativamente compacto. Por (5.6), notar que W es
un T4-espacio y en particular será regular, como U ∩W es un abierto en W t.q.
x ∈ U ∩ W , por (4.9) existirá A abierto en W t.q. x ∈ A ⊂ Cl W (A) ⊂ U ∩ W .
Notar que A = B ∩W con B abierto en X, definimos entonces V = B ∩W y es
claro que x ∈ V ⊂ V ⊂ U, luego hemos probado que (1) =⇒ (2). Supongamos
cierto (2) y sean K compacto y U abierto t.q. K ⊂ U, para cada x ∈ K existirá
un abierto Vx relativamente compacto t.q. x ∈ Vx ⊂ Vx ⊂ U. Es claro que
{Vx}x∈K es un recubrimiento abierto de K y siendo K compacto existirá un
22

subrecubrimiento finito {Vx1, ..., Vxn}. Definimos V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn, entonces
es claro que V es un abierto relativamente compacto t.q. K ⊂ V ⊂ V ⊂ U (en
efecto, V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn, compacto por ser unión finita
de compactos) por tanto (2) =⇒ (3). Sea B = {V ∈ τ|V compacto}, como
K = {x} es compacto se sigue de (3) que B es una base, luego (3) =⇒ (4).
Finalmente, es evidente que (4) =⇒ (1)
5.19 Corolario Todo e.t. Hausdorff y localmente compacto es un T3-espacio.
Dem. Basta probar que X es regular, pero eso se sigue por (2) en (5.18).
Un subespacio A ⊂ X se dirá localmente compacto si para todo x ∈ A existe
V abierto en X t.q. x ∈ V y V ∩ A es compacto.
5.20 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff. Si A ⊂ X es localmente compacto
entonces A = U ∩ F , con U abierto y F cerrado. Si X es localmente compacto
y A = U ∩ F , con U abierto y F cerrado, entonces A es localmente compacto.
Dem. Sea A localmente compacto, para todo x ∈ A existirá Ux abierto en
X t.q. Ux ∩ A es compacto y por tanto cerrado, por ser X Hausdorff. Como
Ux ∩ A = Ux ∩ (Ux ∩ A), se sigue que Ux ∩ A es cerrado en Ux, para todo
x ∈ A, por tanto A es cerrado en U =
x∈A Ux, es decir A = U ∩ F para
algún F cerrado en X. Supongamos ahora que X es localmente compacto y
sea A = U ∩ F con U abierto y F cerrado, para todo punto x ∈ A, como
x ∈ U existe un abierto relativamente compacto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U.
Entonces V ∩ A es un abierto en A t.q. V ∩ A = V ∩ (U ∩ F ) = V ∩ F será
cerrado en V y por tanto compacto, luego V ∩ A es relativamente compacto
y en consecuencia A es localmente compacto.
En particular, la propiedad de ser localmente compacto es hereditaria para los
abiertos y para los cerrados de un espacio localmente compacto.
Ejercicio 30 Sea X un e.t. Hausdorff y localmente compacto y sea D denso
en X, probar que entonces D es localmente compacto si y sólo si es abierto.
5.21 Teorema Sean X, Y dos e.t. Hausdorff y f : X −→ Y una aplicación
continua, sobre y abierta. Si X es localmente compacto también lo es Y .
Dem. Notar que, en particular, f es una identificación. Sea y ∈ Y y sea U un
abierto t.q. y ∈ U. Elegimos x ∈ f −1 (y) ⊂ f −1 (U), como f −1 (U) es abierto y
X es localmente compacto existirá un abierto V relativamente compacto t.q.
x ∈ V ⊂ V ⊂ f −1 (U). Pero V compacto implica f(V ) compacto y por tanto
cerrado, ya que Y es Hausdorff, entonces f(V ) ⊂ f(V ) = f(V ), por otra parte
f continua implica f(V ) ⊂ f(V ), entonces f(V ) = f(V ) es compacto. Como
f es abierta se sigue que f(V ) es abierto, luego es un abierto relativamente
compacto t.q. y ∈ f(V ) ⊂ f(V ) ⊂ U. Por tanto Y es localmente compacto.
23

5.22 Teorema Dada una familia {Xi}i∈J de espacios Hausdorff, entonces
i∈J Xi es localmente compacto si y sólo si cada Xi es localmente compacto
y todos los factores Xi, salvo un número finito, son compactos.
Dem. Sea Xi localmente compacto, como las proyecciones pk : Xi −→ Xk
son continuas, sobre y abiertas se sigue que Xk es localmente compacto para
todo k ∈ J. Además, si V es un abierto relativamente compacto notar que
V = Vi t.q. Vi = Xi para todo i ∈ J − F , donde F ⊂ J es un conjunto
finito de índices, entonces Xi = pi(V ) ⊂ pi(V ) y por tanto Xi = pi(V ),
para todo i ∈ J − F , el cual es compacto por serlo V . Recíprocamente, sea
Xi localmente compacto para todo i ∈ J, compacto para todo i ∈ J − F y
suponer F = {1, 2, ..., n}. Dado (xi) ∈ Xi, para cada k ∈ F existe un abierto
Vk relativamente compacto t.q. xk ∈ Vk. Como Vi = Vi, por el teorema
de Tychonoff se sigue que V = Vi, con Vi = Xi para i > n, es un abierto
relativamente compacto t.q. (xi) ∈ V . Por tanto Xi localmente compacto.
Compactación de Alexandroff
Una compactación ó compactificación de un e.t. X es un par (Y, h) donde
Y es un T2-espacio compacto y h : X −→ Y aplica X de manera homeomorfa
sobre un subespacio denso de Y (es decir, X ≈ h(X) denso en Y ).
Ejercicio 31 Probar que X es localmente compacto si y sólo si h : X −→ Y
es abierta para toda compactificación (Y, h) de X.
5.23 Teorema Un espacio X Hausdorff y localmente compacto se puede
incrustar en un espacio Hausdorff y compacto X t.q. X − X es un punto {p}.
Dem. Definimos X = X {p}, donde p es un punto ideal disjunto de X y sea
τ = τ ∪{ X−K|K ⊂ Xcompacto}. Es fácil probar que τ es una topología sobre
X y es claro que dos puntos distintos de X se pueden separar por abiertos
disjuntos si ambos están en X. Sea ahora x ∈ X y p = X − X, como X
es localmente compacto existirá U ∈ τ relativamente compacto t.q. x ∈ U,
entonces X − U ∈ τ, p ∈ X − U y es claro que U ∩ ( X − U) = ∅, por tanto
( X, τ) es Hausdorff. Finalmente, sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de
X y sea U0 ∈ U un abierto conteniendo a p, entonces U0 = X − K para algún
K compacto en X y si {U1, ..., Un} ⊂ U es un subrecubrimiento finito de K es
claro que {U0, U1, ..., Un} es un subrecubrimiento finito de X, por tanto ( X, τ)
es compacto.
Sea i : X −→ X la inclusión, notar que el par ( X, i) es una compactación
de X: en efecto, X ≈ i(X) y si U = X − K es un abierto que contiene a p,
entonces U ∩ X = ∅, luego p ∈ X y por tanto X = X, es decir X es denso
en X. Tal compactación ( X, i) se dirá compactación a un punto ó de
Alexandroff de X.
24

5.24 Teorema Sea Y un espacio Hausdorff y compacto, q ∈ Y un punto no
aislado y X = Y − {q}, entonces Y es homeomorfo a X. En particular, la
compactificación de Alexandroff es única salvo homeomorfismo.
Dem. Sea X = Y −{q} y f : X −→ Y t.q. f|X = idX y f(p) = q, claramente f
es una biyección. Veamos que f es una aplicación abierta ó equivalentemente
que f −1 es continua: sea U ∈ τ, si U ⊂ X entonces f(U) = U es abierto en
Y ya que X abierto en Y , si U = X − K con K compacto es un abierto que
contiene a {p}, entonces f(U) = f( X − K) = Y − f(K) = Y − K, ya que
K ⊂ X y f|X = idX, como todo compacto en un Hausdorff es cerrado se sigue
que f(U) es abierto. Entonces f −1 : Y −→ X es una biyección continua de un
espacio compacto en un espacio Hausdorff, por tanto un homeomorfismo.
Ejercicio 32 Probar que R n ≈ S n
6 CONEXIÓN
Sea X un e.t., llamaremos separación de X a un par de abiertos {U, V } t.q.
U = ∅, V = ∅, U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V . Diremos que X es conexo si no
admite una separación.
Ejemplo El espacio de Sierpinski es conexo. Espacios discretos con mas de un
punto, en particular S 0 = Z2 = {0, 1}, no son conexos. Espacios indiscretos
son conexos. La recta racional Q no es conexa: U = (−∞, √ 2) ∩ Q y V =
( √ 2, +∞) ∩ Q es una separación de Q. La recta de Sorgenfrey no es conexa:
en efecto, {(−∞, a), [a, +∞)} es una separación de (R, τS).
6.1 Lema Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X es conexo.
(2) ∅ y X son los únicos que son simultáneamente abiertos y cerrados en X.
(3) No existe aplicación continua y sobre f : X −→ S 0 .
(4) Fr(B) = ∅ para todo B = ∅, X.
Dem. Si A = ∅, X es abierto y cerrado entonces {A, X − A} es una separación
de X, luego (1) =⇒ (2). Supongamos que existe f : X −→ S 0 continua y sobre,
entonces f −1 (0) = ∅, X es abierto y cerrado en X, ya que {0} es abierto y
cerrado en S 0 , lo cual contradice (2), luego (2) =⇒ (3). Supongamos que X
no es conexo y sea {U, V } una separación, entonces la función característica
cV : X −→ S 0 , dada por cV (x) = 0 si x ∈ U, cV (x) = 1 si x ∈ V , es continua y
sobre, contradiciendo (3), luego X debe ser conexo y por tanto (3) =⇒ (1). Sea
B = ∅, X y supongamos que Fr(B) = ∅, como X = Int(B) ∪ Ext(B) ∪ Fr(B)
se sigue que {Int(B), Ext(B)} es una separación de X, luego (1) =⇒ (4).
25

Recíprocamente, supongamos X no conexo y sea {U, V } una separación de
X, entonces Fr(U) = U ∩ X − U = U ∩ V = U ∩ V = ∅, por tanto (4) =⇒ (1).
Ejercicio 34 Sean {U, V } una separación de X y sea A un subespacio conexo
de X. Probar que entonces A ⊂ U ó A ⊂ V .
6.2 Proposición Sea f : X −→ Y una aplicación continua, si X es conexo
entonces f(X) también es conexo.
Dem. Sea g : X −→ f(X) t.q. g(x) = f(x) la restricción de f a su imagen,
entonces g es continua y sobre. Sea X conexo y supongamos que f(X) no lo
es, es decir supongamos que existe una aplicación h : f(X) −→ S 0 continua
y sobre, entonces la composición hg : X −→ S 0 también es continua y sobre,
contradiciendo que X sea conexo. Por tanto, necesariamente f(X) conexo.
En particular, la conexión es un invariante topológico.
6.3 Proposición Sea A un subespacio conexo de un e.t. X y sea B t.q.
A ⊆ B ⊆ A, entonces B y en particular A también son conexos.
Dem. Supongamos que existe una aplicación continua f : B −→ S 0 y vamos a
probar que f no puede ser sobre. Como A conexo, la restricción f|A : A −→ S 0
es continua, por tanto no puede ser sobre, supongamos f(A) = 0. Por otra
parte B ⊆ A y f continua implican f(B) ⊆ f(A) ⊆ f(A) = {0} = {0}, luego
f : B −→ S 0 no es sobre. Por tanto B y A son también conexos.
Ejercicio 35 Sea C ⊂ X un subespacio conexo y A ⊂ X t.q. C ∩ A = ∅ y
C ∩ (X − A) = ∅. Probar que entonces C ∩ Fr(A) = ∅.
Ejercicio 36 Sea f : X −→ Y una identificación t.q. las fibras f −1 (y) son
conexas para todo y ∈ Y . Probar que un abierto (cerrado) B ⊂ Y es conexo
si y sólo si f −1 (B) es conexo. En particular para B = Y , se sigue que X es
conexo si y sólo si lo es Y .
Ejercicio 37 Sea C un subespacio conexo de un e.t. conexo X. Si {U, V }
forman una separación de X − C probar que C ∪ U y C ∪ V son conexos.
6.4 Teorema Sea C = {Ci}i∈J una familia de subespacios conexos de X y
supongamos que existe C0 ∈ C t.q. C0 ∩ Ci = ∅ para todo i ∈ J. Probar que
entonces C = Ci es conexo.
Dem. Supongamos que C = Ci no es conexo y sean U, V dos abiertos en C
no vacíos t.q. C = U ∪ V y U ∩ V = ∅, entonces para todo i ∈ J se tiene
que Ci ⊂ U ó bien Ci ⊂ V , ya que en otro caso {Ci ∩ U, Ci ∩ V } sería una
separación del conexo Ci. Notar que si C0 ⊂ U, entonces también Ci ⊂ U para
todo i ∈ J (ya que si existe k ∈ J t.q. Ck ⊂ V entonces C0 ∩ Ck ⊂ U ∩ V = ∅),
26

y por tanto se tendría que V = ∅, lo cual es una contradicción.
Ejercicio 38 Sea C = {Ci}i∈J una familia de subespacios conexos de X t.q.
Ci = ∅. Probar que C = Ci es conexo.
Ejercicio 39 Sea {Cn}n∈N una familia de subespacios conexos de X tales que
Cn ∩ Cn+1 = ∅ para todo n ∈ N. Probar que C = Cn es conexo.
6.5 Proposición Un producto de e.t. es conexo si y sólo si lo es cada factor.
Dem. Si X × Y es conexo entonces por (6.2) lo son X, Y ya que las proyecciones
son continuas. Recíprocamente, supongamos que X, Y son conexos y
elegimos x0 ∈ X, entonces C0 = {x0} × Y es conexo por ser homeomorfo a
Y . Análogamente, Cy = X × {y} ≈ X son conexos para todo y ∈ Y . Entonces
X × Y =
y∈Y Cy ∪ C0 y (6.4) implican que X × Y es conexo, ya que
C0 ∩ Cy = {(x0, y)} = ∅ para todo y ∈ Y . Por inducción, la proposición se
sigue para un número finito de factores.
También se satisface (6.5) para un número infinito de factores pero omitiremos
la demostración por ser mucho más compleja.
6.6 Teorema Sea R con la topología usual y A ⊂ R un subespacio conteniendo
mas de un punto, entonces A es conexo si y sólo si es un intervalo.
Dem. Sea A un subespacio conexo de R con más de un punto y supongamos
que A no es un intervalo, es decir existen a, b ∈ A y c ∈ (a, b) t.q. c /∈ A,
entonces {A∩(−∞, c), A∩(c, +∞)} es una separación de A lo cual contradice
que A es conexo, por tanto A debe ser un intervalo. Recíprocamente, sea A
un intervalo en R y supongamos que {U, V } es una separación de A, elegimos
a ∈ U, b ∈ V y si a < b definimos c = sup{x|[a, x) ⊂ U}, entonces c ≤ b y
por tanto c ∈ A, ya que A es un intervalo. Es claro que c ∈ ClAU y como U
es cerrado en A se sigue que c ∈ U, por otra parte U también es abierto en
A, luego existirá ε > 0 t.q. (c − ε, c + ε) ⊂ U, lo cual contradice que c sea un
supremo. Por tanto A no admite una separación y en consecuencia es conexo.
Una consecuencia de (6.6) es el siguiente resultado conocido como el Teorema
del valor intermedio
6.7 Corolario Sea X conexo y f : X −→ R una aplicación continua, si
a, b ∈ f(X) y c ∈ R es t.q. a < c < b, entonces existe x ∈ X t.q. f(x) = c.
Dem. Por (6.2) y (6.6) se sigue que f(X) es un intervalo, luego si a, b ∈ f(X)
es claro que (a, b) ⊂ f(X), entonces si c ∈ (a, b) existirá x ∈ X t.q. f(x) = c.
Ejercicio 40 Probar que I = [0, 1] es conexo.
Ejercicio 41 Probar que R n es conexo para todo n ≥ 1.
27

Ejercicio 42 Si X e Y son conexos y A ⊂ X, B ⊂ Y son subespacios propios,
probar que X × Y − A × B es conexo.
Ejercicio 43 Probar que R n − {0} es conexo para todo n ≥ 2.
Ejercicio 44 Probar que R y R n no son homeomorfos si n = 1.
Ejercicio 45 Probar que todo intervalo abierto, semiabierto ó cerrado en R
es homeomorfo, respectivamente, a (−1, 1), (−1, 1] ó [−1, 1]. Probar también
que estos intervalos no son homeomorfos entre si.
Ejercicio 46 Sea I = [0, 1] y f : I −→ I una aplicación continua, probar que
f tiene un punto fijo (es decir, que existe x ∈ I t.q. f(x) = x).
Ejercicio 47 Sea n ≥ 2 y S n−1 = {x ∈ R n |x = 1} la esfera unidad. Probar
que S n−1 es conexo y que R n − S n−1 no lo es.
Ejercicio 48 Probar que A = {(x, y) ∈ R 2 |y > x 2 + 1} es conexo.
Ejercicio 49 Sea p ∈ S 1 , probar que S 1 − {p} es conexo y deducir que S 1 no
es homeomorfo a R.
Ejercicio 50 Sea X un conjunto infinito con la topología cofinita, notar que
τCF tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X} y es por tanto la menor
topología que hace de X un T1-espacio. Probar que (X, τCF ) es conexo.
Ejercicio Sea (X, τCF ) un e.t. infinito con la topología co-finita, probar que
los conjuntos {x, y} no son conexos.
Solución Si B = {x, y} es claro que {x} = (X − {y}) ∩ B y análogamente
{y} = (X − {x}) ∩ B. Como X − {y}, X − {x} ∈ τCF se sigue que {x} e {y}
son abiertos en B, es decir la topología inducida en B = {x, y} es la discreta,
por tanto B no es conexo.
Ejercicio Sean A y B dos subespacios conexos de un e.t. X t.q. A ∩ B = ∅.
Probar que A ∪ B es conexo.
Solución Sea x ∈ A ∩ B, como A ⊂ A ∪ {x} ⊂ A, se sigue por (6.3) que
A ∪ {x} es también conexo. Como x ∈ (A ∪ {x}) ∩ B = ∅ se sigue de (6.4)
que A ∪ B = A ∪ {x} ∪ B es conexo.
Componentes conexas
Dado x ∈ X, llamaremos componente conexa C(x) de x a la unión de todos
los subespacios conexos de X que contienen a x. Claramente X es conexo si
y sólo si C(x) = X para todo x ∈ X
28

Ejemplo En espacios discretos las componentes de un punto se reducen a
dicho punto. La recta racional Q con la topología inducida por la de R no es
un espacio discreto, pero también en este caso C(x) = {x} para todo x ∈ Q.
Espacios con esta última propiedad se dicen totalmente inconexos.
Ejercicio 51 Probar las siguientes afirmaciones:
(1) Cada componente C(x) es un conexo maximal en X.
(2) El conjunto de las componentes forman una partición de X.
(3) Toda componente conexa es cerrada.
(4) Sea f : X −→ Y continua, entonces f[C(x)] ⊂ C(f(x)).
(5) El número de componentes conexas de un e.t. es un invariante topológico.
(6) Sea X = X1 × · · · × Xn y x = (x1, ..., xn) ∈ X, entonces C(x) = C(xi).
Ejercicio Sea R con la topología usual y Q con la topología inducida, probar
que una aplicación f : R −→ Q es continua sí y sólo sí es constante.
Solución Si f continua entonces f(R) es conexo por serlo R. Si x0 ∈ f(R) se
sigue que f(R) ⊂ C(x0), pero Q es totalmente inconexo, es decir C(x0) = {x0},
luego f(R) = {x0} y por tanto f es constante. El recíproco es obvio ya que
toda aplicación constante es continua.
Ejercicio Probar que un e.t. X es conexo si y sólo si para todo par de puntos
x, y ∈ X existe un subespacio conexo A(x, y) ⊂ X t.q. x, y ∈ A(x, y).
Solución 1 Si X es conexo basta tomar A(x, y) = X. Recíprocamente, fijamos
x ∈ X, entonces los subespacios {A(x, y)}y∈X son conexos y tienen intersección
no vacía x ∈ ∩y∈XA(x, y) = ∅. Por (6.4) se sigue que la unión ∪y∈XA(x, y) es
conexo, pero notar que ∪y∈XA(x, y) = X.
Solución 2 Fijamos x ∈ X, como la componente conexa C(x) es la unión
de todos los conexos que contienen a x, en particular A(x, y) ⊂ C(x), para
todo y ∈ X, luego ∪y∈XA(x, y) ⊂ C(x). Pero ∪y∈XA(x, y) = X y por tanto
X = C(x), concluimos que X es conexo.
Ejercicio Sea X = {x, y, z} con la topología τ = {∅, {x}, {z}, {x, y}, {x, z}, X}.
¿Es X conexo? ¿Son A = {x, y}, B = {y, z} y C = {x, z} subespacios conexos?
Hallar las componentes conexas de cada punto, C(x), C(y) y C(z)
Solución: X no es conexo ya que {z} = X − {x, y} es abierto y cerrado. Sean
τA, τB, τC las topologías inducidas por τ en A, B y C respectivamente. Entonces
τA = {∅, {x}, A} luego A conexo ya que los únicos subespacios abiertos
y cerrados en A son el vacío y el total, τB = {∅, {y}, {z}, B} luego B no conexo
ya que τB es la topología discreta, τC = {∅, {x}, {z}, C} por tanto C es no
conexo pues τC es la topología discreta. Como la componente de un punto es el
mayor conexo que lo contiene se sigue que C(x) = A, C(y) = A y C(z) = {z}.
29

Espacios localmente conexos
Un espacio topológico (X, τX) se dice localmente conexo si su topología τX
tiene una base formada por abiertos conexos.
Ejemplos (1) Como las bolas B(x, r) ⊂ R n son conexas, R n es localmente
conexo. (2) Espacios discretos con más de un punto son localmente conexos
pero no son conexos. (3) Un espacio puede ser conexo y no localmente conexo:
en efecto, si X ⊂ R 2 es el espacio que consta de los segmentos que unen el
origen 0 con los puntos del conjunto {(1, 1/n)|n ∈ N} junto con el segmento
(1/2, 1] en el eje −→ 0x, entonces X es conexo mientras que X − {0} no lo es y las
componentes de cada punto es el rayo que lo contiene. Si p ≡ (3/4, 0) ∈ X y
U es un abierto que contiene a p, entonces U = B(p, ε) ∩ X para algún ε > 0.
Es claro que U no es conexo, ya que la intersección de U con el segmento que
une el origen 0 con el punto q ≡ (1, 1/n) es a la vez abierto y cerrado en U.
Llamaremos componente de B ⊂ X a un conexo maximal contenido en B.
6.8 Teorema Un e.t. X es localmente conexo si y sólo si toda componente
de todo abierto en X es abierta.
Dem. Sea C una componente de un abierto U y x ∈ C, como X es localmente
conexo existirá un abierto conexo V t.q. x ∈ V ⊂ U, entonces x ∈ V ⊂ C y
por tanto C abierto. Recíprocamente, si toda componente de todo abierto U es
abierta es claro que la familia de todas las componentes de todos los abiertos
de X forman una base para su topología, luego X es localmente conexo.
En particular las componentes de un espacio localmente conexo son a la vez
abiertas y cerradas, entonces se sigue fácilmente
6.9 Corolario Un espacio compacto y localmente conexo tiene a lo más un
número finito de componentes.
Ejemplo En general, la imagen de un e.t. localmente conexo no es localmente
conexo: Sea X = {0} ∪ N y Y = {0} ∪ {1/n|n ∈ N} como subespacios de R.
Definimos f : X −→ Y t.q. f(0) = 0 y f(n) = 1/n. Como X es discreto f es
continua y sobre, además X es localmente conexo pero Y no lo es.
Pero la propiedad ”localmente conexo” sí se conserva en cocientes
6.10 Teorema Sea X localmente conexo y f : X −→ Y una identificación,
entonces también Y es localmente conexo.
Dem. Sea U abierto en Y y C una componente de U, por (6.8) bastará probar
que C es abierto. Como f es una identificación, es decir τY = τ(f), notar que
C es abierto en Y sí y sólo si f −1 (C) es abierto en X. Sea pues x ∈ f −1 (C) y Cx
30

la componente de x en el abierto f −1 (U), entonces f(Cx) conexo y f(Cx) ⊂ U
implican f(Cx) ⊂ C, ya que C maximal. Por tanto x ∈ Cx ⊂ f −1 (C) y como
Cx es abierto se sigue que f −1 (C) es abierto y concluimos que C es abierto.
La propiedad ”localmente conexo” también se conserva en productos finitos.
Más generalmente se tiene
6.11 Teorema Un producto Xi es localmente conexo si y sólo si todo factor
es localmente conexo y todo factor, salvo un número finito, es conexo.
Dem. Sea Xi localmente conexo, las proyecciones pk : Xi −→ Xk son
continuas, sobre y abiertas por tanto son identificaciones y se sigue de (6.10)
que Xk es localmente conexo para todo k ∈ J. Además, sea (xi) ∈ Xi y U
un abierto conexo t.q. (xi) ∈ U, entonces U = Ui con Ui = Xi para todo
i ∈ J − F , donde F es un conjunto finito de índices, por tanto Xi = pi(U)
es conexo para todo i ∈ J − F . Recíprocamente, sea Xi localmente conexo
para todo i ∈ J y conexo para todo i ∈ J − F1, dado (xi) ∈ Xi y U = Ui
un abierto t.q. (xi) ∈ U, notar que Ui = Xi para todo i ∈ J − F2, entonces
existen abiertos conexos Vk t.q. xk ∈ Vk ⊂ Uk para todo k ∈ F1∪F2. Definimos
V = Vi, con Vi = Xi para todo i ∈ J − {F1 ∪ F2}, entonces por (6.5) se
sigue que V es un abierto conexo y es claro que (xi) ∈ V ⊂ U.
Ejercicio 52 Sea X un espacio localmente conexo, y sea C la componente
conexa de un abierto U de X. Probar que U ∩ Fr(C) = ∅.
Ejercicio 53 Sea X localmente conexo, A ⊂ X y C una componente de A.
Probar: (1) Int(C) = C ∩ Int(A). (2) Si A es cerrado, Fr(C) = C ∩ Fr(A).
Ejercicio 54 Sean A y B subespacios localmente conexos de un e.t. X, probar
que entonces A∩B es localmente conexo. Si además A y B son cerrados, probar
que A ∪ B es también localmente conexo.
Ejercicio 55 Sean A y B cerrados en X t.q. X = A∪B y A∩B son localmente
conexos. Probar que entonces A y B son también localmente conexos.
Conexión por caminos
A lo largo de esta sección denotaremos por I al intervalo cerrado [0, 1] con la
topología usual. Dados x, y ∈ X llamaremos camino en X juntando a x con
y a una aplicación continua γ : I −→ X t.q. γ(0) = x, γ(1) = y. Diremos
que X es conexo por caminos ó arcoconexo si todo par de puntos en X
pueden juntarse por un camino.
Ejemplos (1) El espacio de Sierpinski es arcoconexo. (2) Espacios indiscretos
son arcoconexos mientras que espacios discretos con más de un punto no lo
son. (3) R n y S n son arcoconexos.
31

Ejercicio 56 Definimos una relación sobre X como sigue: x ∼ y si y sólo si
existe un camino en X juntando a x con y. Probar que dicha relación es de
equivalencia. Llamaremos arcocomponente de x a la clase de equivalencia
Cx = {y ∈ X|y ∼ x} y es el mayor subespacio arcoconexo que contiene a x. El
conjunto de las arcocomponentes X/ ∼ se denota usualmente por π0(X).
Ejercicio 57 Fijado x0 ∈ X, probar que si todo punto de X puede juntarse
con x0, entonces X es arcoconexo.
6.12 Lema Todo espacio arcoconexo es conexo.
Dem. Sea X arcoconexo y x0 ∈ X, entonces para todo x ∈ X existe un camino
γx : I −→ X t.q. γx(0) = x0 y γx(1) = x. Como I conexo y γx continua se
sigue que γx(I) conexo y es claro que x0 ∈ γx(I) para todo x ∈ X, luego
x∈X γx(I) = ∅. El lema se sigue por (6.4) ya que X =
x∈X γx(I).
El recíproco no es cierto
Ejemplo Si C = Γf siendo f : (0, 1] −→ R t.q. f(x) = sin 1/x, entonces
C = C ∪ {(0, y)| − 1 ≤ y ≤ 1} es conexo. Sin embargo C no es arcoconexo ya
que no existe ningún camino juntando el origen 0 con p ≡ (1/π, 0).
Un subespacio A ⊂ X es arcoconexo si todo par de puntos en A pueden
juntarse por un camino γ totalmente contenido en A (es decir, γ(I) ⊂ A).
Diremos que un e.t. X es localmente arcoconexo si cada punto tiene una
base de entornos arcoconexos.
6.13 Lema Un e.t. es localmente arcoconexo si y sólo si sus arcocomponentes
son abiertas (y por tanto también cerradas).
Dem. Suponer X localmente arcoconexo y sea Cx la arcocomponente de x,
si U es un abierto arcoconexo t.q. x ∈ U entonces es claro que x ∈ U ⊂ Cx
ya que Cx maximal, luego Cx abierto. Como el conjunto de arcocomponentes
{Cx} definen una partición de X, toda arcocomponente es el complementario
de una unión de arcocomponentes, por tanto el complementario de un abierto,
luego toda arcocomponente es también cerrada. El recíproco es obvio.
6.14 Teorema Un e.t. es arcoconexo ⇐⇒ es conexo y localmente arcoconexo.
Dem. Si X es arcoconexo entonces es conexo por (6.12) y el propio X sirve
como entorno arcoconexo de todo x ∈ X, luego X es también localmente
arcoconexo. Recíprocamente, sea X conexo y localmente arcoconexo entonces
la arcocomponente Cx de x es abierta, cerrada y no vacía, como X conexo se
sigue que Cx = X y por tanto X arcoconexo.
En particular todo abierto y conexo en R n ó en S n es arcoconexo.
32

Ejercicio 58 Sea X localmente arcoconexo, probar que la arcocomponente
Cx coincide con la componente C(x) de todo punto x ∈ X.
La relación de Homotopía
Dado un e.t. X llamaremos cilindro de X al producto X × I y cono de X al
cociente CX = X × I/X × {1}. Podemos identificar X con la base del cono
X × {0} y denotamos por i : X −→ CX, dada por i(x) = (x, 0), la inclusión.
Dadas dos aplicaciones continuas f, g : X −→ Y , llamaremos homotopía
de f a g a una aplicación continua H : X × I −→ Y t.q. H(x, 0) = f(x)
y H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Si tal aplicación existe diremos que f y
g son homótopas y lo denotaremos f g. La homotopía está estrechamente
relacionada a la conexión por caminos: si H es una homotopía de f a g,
entonces notar que γx = H(x, −) : I −→ Y es un camino en Y de f(x) a g(x).
6.15 Proposición La relación de homotopía es de equivalencia en el conjunto
C(X, Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y .
Dem. La relación es reflexiva: dada f : X −→ Y , es claro que H : X ×I −→ Y
dada por H(x, t) = f(x) para todo t ∈ I (homotopía estática) es continua
y por tanto f f. La relación es simétrica: dadas f, g : X −→ Y y H una
homotopía de f a g, es claro que G : X×I −→ Y dada por G(x, t) = H(x, 1−t)
es una homotopía de g a f. La relación es transitiva: dadas f, g, h : X −→ Y
y homotopías H de f a g y G de g a h, es claro que F : X × I −→ Y dada por
F (x, t) = H(x, 2t) para 0 ≤ t ≤ 1/2 y F (x, t) = G(x, 2t−1) para 1/2 ≤ t ≤ 1,
es continua y por tanto una homotopía de f a h.
6.16 Proposición La relación de homotopía es compatible con la composición
(es decir, si f f ′ y g g ′ entonces gf g ′ f ′ ).
Dem. Dadas aplicaciones f, f ′ : X −→ Y y g, g ′ : Y −→ Z, sean H : f f ′ y
G : g g ′ sendas homotopías, entonces gH : X × I −→ Z es una homotopía
de gf a gf ′ y G(f ′ × 1) : X × I −→ Z es una homotopía de gf ′ a g ′ f ′ . Como
la relación de homotopía es transitiva se sigue que gf g ′ f ′ .
Dado y0 ∈ Y , en abuso de lenguaje, denotaremos también por y0 : X −→ Y
la aplicación constante a y0 (es decir y0(x) = y0 para todo x ∈ X).
Diremos que f : X −→ Y es nulhomótopa si es homótopa a una aplicación
constante (es decir si existe y0 ∈ Y t.q. f y0). Un e.t. X se dirá contráctil
si existe x0 ∈ X t.q. 1X x0.
Ejemplo Definimos H : R n ×I −→ R n t.q. H(x, t) = tx, claramente H es una
nulhomotopía de la identidad y por tanto R n es contráctil. Análogamente, el
disco unidad D n es contráctil.
33

Ejercicio 59 Probar que el cono CX de todo e.t. X, es un espacio contráctil.
Ejercicio 60 Probar que f : X −→ Y es nulhomótopa si y sólo si se extiende
a CX (es decir, existe g : CX −→ Y t.q. f = gi, donde i : X −→ CX es la
inclusión en la base.
Diremos que f : X −→ Y es una equivalencia de homotopía si existe
g : Y −→ X t.q. gf 1X y fg 1Y . Si tal aplicación existe, diremos que X
tiene el mismo tipo de homotopía que Y , y lo denotaremos X Y . Es claro
que espacios homeomorfos tienen el mismo tipo de homotopía.
Ejercicio 61 Probar que un espacio es contráctil si y sólo si tiene el mismo
tipo de homotopía de un espacio con un sólo punto.
Ejercicio 62 Probar que todo espacio contráctil es arcoconexo.
Ejercicio 63 Probar que el número de arcocomponentes es un invariante del
tipo de homotopía (es decir, si X Y entonces |π0(X)| = |π0(Y )|).
Diremos que A ⊂ X es un retracto de X si existe una aplicación continua
(retracción) r : X −→ A t.q. ri = 1A, donde i denota la inclusión.
Ejemplo (1) Todo punto x0 ∈ X es un retracto de X. (2) El disco D n es un
retracto de R n (la aplicación r : R n −→ D n dada por r(x) = x si x ≤ 1,
r(x) = x/x si x ≥ 1, es una retracción).
Ejercicio 64 Sean f : X −→ Y y g : Y −→ X continuas t.q. gf = 1X. Si
Y es Hausdorff probar que X también lo es y que f(X) es cerrado en Y . En
particular todo retracto de un espacio Hausdorff es cerrado.
Diremos que A ⊂ X es un retracto por deformación de X si existe una
retracción r : X −→ A y una homotopía H : X × I −→ X de 1X a ir. En
particular, si A es un retracto por deformación de X, entonces A y X tienen
el mismo tipo de homotopía.
Ejercicio 65 Probar que S n−1 es un retracto por deformación de R n − {0}.
7 ESPACIOS HOMOGÉNEOS
Un espacio se dice homogéneo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe un
homeomorfismo h : X −→ X t.q. h(x) = y. Ello implica en particular que en
un espacio homogéneo las propiedades topológicas locales de uno cualquiera
de sus puntos determina las de los otros. Los grupos topológicos nos darán
los primeros ejemplos de estos espacios. Empezaremos este capítulo con un
34

epaso de las nociones más elementales en Teoría de Grupos.
Un grupo es un conjunto G junto con una operación binaria m : G×G −→ G
t.q. si denotamos m(x, y) = xy, se satisfacen las siguientes condiciones:
(1) Existe e ∈ G t.q. xe = x = ex para todo x ∈ G (el elemento distinguido
e se dice elemento neutro de G, claramente es único).
(2) Para todo x, y, z ∈ G, se tiene x(yz) = (xy)z (es decir m es asociativa).
(3) Para todo x ∈ G, existe x ′ ∈ G t.q. xx ′ = x ′ x = e (x ′ es único y se llama
inverso de x, lo denotaremos por x ′ = x −1 ).
Si además se satisface xy = yx para todo x, t ∈ G, entonces el grupo G se dirá
abeliano. Es usual manejar notación aditiva para grupos abelianos y notación
multiplicativa (como en la definición dada aquí) para el caso no abeliano.
Ejemplo (1) Sea F = R ó C, entonces F n con la suma y F ∗ = F − {0} con el
producto son ejemplos de grupos (abelianos). (2) Denotaremos por M(n, F)
el conjunto de matrices cuadradas n × n con coeficientes en F y por In la
matriz identidad. Sea det : M(n, F) −→ F la aplicación determinante, como
det(AB) = det(A)det(B) se sigue que el conjunto de las matrices regulares
GL(n, F) = {A ∈ M(n, F)|det(A) = 0}
con la multiplicación de matrices es un grupo (no abeliano) con In como
elemento neutro. El grupo GL(n, F) se llama Grupo General Lineal.
Un subconjunto H de un grupo G se dice subgrupo de G, y lo denotamos
H ≤ G, si x −1 y ∈ H para todo x, y ∈ H. En particular H es un grupo con la
operación binaria inducida m|H, es decir H −1 ⊆ H y H 2 = HH ⊆ H.
Dado un subgrupo H ≤ G, la relación x ∼ y ⇔ x −1 y ∈ H es de equivalencia.
El conjunto xH = {xh|h ∈ H} ⊂ G se llama clase lateral a izquierda.
Análogamente definiríamos las clases laterales a derecha Hx = {hx|h ∈ H}.
En particular todo subgrupo define una partición del grupo en clases laterales.
Denotaremos G/H el conjunto cociente y p : G −→ G/H t.q. p(x) = {xH} la
proyección. Un subgrupo H de G se dice normal, y lo denotaremos H ✂ G si
xH = Hx para todo x ∈ G. Si H ✂ G entonces el cociente G/H es un grupo.
Ejercicio 66 El número de clases laterales |G/H| = [G : H] se llama índice
de H en G. Probar que si [G : H] = 2 entonces H es subgrupo normal de G.
Ejercicio 67 El conjunto Z(G) = {x ∈ G|xy = yx, ∀y ∈ G} se llama centro
de G. Probar que Z(G) es un subgrupo normal de G.
Una aplicación f : G −→ H se dice homomorfismo si f(xy) = f(x)f(y) para
todo x, y ∈ G. Es claro que si f es un homomorfismo entonces f(eG) = eH.
35

Un homomorfismo biyectivo se dice isomorfismo. Si G = H, hablaremos de
endomorfismo y automorfismo respectivamente.
Ejercicio 68 Dado un homomorfismo f : G −→ H, llamaremos núcleo de f
al conjunto Ker(f) = {x ∈ G|f(x) = eH}. Probar que Ker(f) ✂ G.
Grupos topológicos
Un conjunto G se dice grupo topológico si existe una operación binaria m
t.q. (G, m) es un grupo, está dotado de una topología τ que hace de (G, τ)
un T1-espacio y ambas estructuras son compatibles, en el sentido de que la
multiplicación m : G × G −→ G dada por m(x, y) = xy, y la inversión
η : G −→ G dada por η(x) = x −1 son aplicaciones continuas.
Ejemplos (1) (F, +) y (F ∗ , ·). (2) S 1 = {z ∈ C|z¯z = 1} con la multiplicación
compleja. (3) Todo grupo con la topología discreta.
Si U, V ⊂ G, denotamos UV = m(U, V ) = {xy|x ∈ U, y ∈ V } y U −1 =
η(U) = {x −1 |x ∈ U}. En términos de entornos, la continuidad de m y η la
expresaremos como sigue: para todo x, y ∈ G y entorno W de xy en G, existen
entornos U de x y V de y t.q. UV ⊂ W y para todo U entorno de x −1 , U −1
es un entorno de x. Notar que η es una involución (η 2 = 1 ó bien η −1 = η) y
por tanto es un homeomorfismo.
Ejercicio 69 Sea G un grupo y un T1-espacio, probar que G es un g.t. si y
sólo si la aplicación φ : G × G −→ G dada por φ(x, y) = xy −1 es continua.
Sea G un g.t. y x ∈ G, la aplicación Lx : G −→ G, dada por Lx(y) = xy,
se dirá traslación a izquierda (análogamente Rx : G −→ G, dada por
Rx(y) = yx, se dirá traslación a derecha). Notar que las traslaciones Lx, Rx
son homeomorfismos de G en sí mismo: Lx = m(x, −) continua y las relaciones
LxLy = Lxy y Le = 1 implican (Lx) −1 = L x −1 (análogamente para Rx).
En particular, todo g.t. G es un espacio homogéneo: en efecto, dados x, y ∈ G
entonces y = Lz(x), donde z = yx −1 . Por lo tanto las propiedades locales del
elemento neutro determinan las de los demás: U es un entorno de x ∈ G si y
sólo si U = Lx(V ) = xV , para algún V entorno de e ∈ G.
Un subespacio V ⊂ G se dice simétrico si V = V −1 . Denotaremos por
E(e) = {Ui}i∈J el sistema completo de los entornos abiertos de e.
7.1 Lema Para todo U ∈ E(e), existe V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U.
Dem. Como m continua y m(e, e) = e, dado U ∈ E(e) existirán U1, U2 ∈ E(e)
t.q. U1U2 ⊂ U. Definimos W = U1 ∩ U2 y V = W ∩ W −1 , entonces es claro
que V ∈ E(e) es simétrico y que V 2 ⊂ U1U2 ⊂ U.
36

7.2 Proposición Sea G un grupo topológico, entonces A = AUi = UiA,
donde los Ui recorren E(e), para todo A ⊂ G.
Dem. Sea x ∈ A, entonces xU −1
i
∩ A = ∅ ó bien x ∈ AUi para todo Ui ∈ E(e),
por tanto x ∈ AUi. Recíprocamente, supongamos que x ∈ AUi para todo
Ui ∈ E(e) y sea V un abierto t.q. x ∈ V , entonces V −1 x ∈ E(e) y por tanto
x ∈ AV −1 x, esto implica que x = av −1 x para algún a ∈ A, v ∈ V ó bien que
a = v, luego A ∩ V = ∅ y por tanto x ∈ A
7.3 Corolario Todo grupo topológico es un T3-espacio.
Dem. Como G es un T1-espacio bastará probar que G es regular. Por (4.9),
debemos probar que para todo x ∈ G y abierto U t.q. x ∈ U existe un
abierto V t.q. x ∈ V ⊂ V ⊂ U y como todo grupo topológico es un espacio
homogéneo bastará probarlo para x = e. Por (7.1), dado U ∈ E(e) existe
V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U, pero por (7.2) es claro que V ⊂ V V = V 2 ,
luego hemos probado que e ∈ V ⊂ V ⊂ U.
Sea G un grupo topológico y H ≤ G, si G/H tiene la topología cociente
entonces p : G −→ G/H es continua. Además se tiene
7.4 Lema La identificación p : G −→ G/H es abierta.
Dem. Sea U abierto en G, como G/H tiene la topología cociente p(U) será
abierto en G/H sí y sólo si p−1p(U) es abierto en G, pero notar que p−1p(U) =
UH =
x∈H Ux =
x∈H Rx(U) es abierto ya que Rx homeomorfismo.
7.5 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G, entonces el espacio
cociente G/H es Hausdorff sí y sólo si H es cerrado.
Dem. Si G/H es Hausdorff el punto {H} es cerrado y siendo p continua se
sigue que H = p −1 ({H}) es cerrado en G. Recíprocamente, supongamos H
cerrado en G y sean {xH} = {yH} en G/H, entonces xH ∩ yH = ∅ en G y
en particular x /∈ yH. Como yH = Ly(H) es cerrado existirá U ∈ E(e) t.q.
Ux∩yH = ∅. Sea V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U, entonces p(V x) = V (xH) y
p(V y) = V (yH) son abiertos en G/H t.q. {xH} ∈ V (xH), {yH} ∈ V (yH) y
V xH∩V yH = ∅ (en efecto, si V xH∩V yH = ∅ existirán v1, v2 ∈ V , h1, h2 ∈ H
t.q. v1xh1 = v2yh2 ó bien v −1
2 v1x = yh2h −1
1 , pero v −1
2 v1x ∈ V 2 x ⊂ Ux y
yh2h −1
1 ∈ yH lo cual contradice Ux ∩ yH = ∅). Por tanto G/H es Hausdorff.
Ejercicio 70 Probar que todo subgrupo abierto de un grupo topológico es
también cerrado. En particular todo subgrupo discreto es cerrado.
Ejercicio 71 Si E(e) = {Ui}i∈J, probar que Ui = {e}.
Ejercicio 72 Sea G un grupo topológico, probar que si H ≤ G entonces
37

también H ≤ G. Además si H ✂ G, también H ✂ G.
Ejercicio 73 Sea G un grupo topológico, probar que Z(G) ✂ G es cerrado.
Ejercicio 74 Sea G un grupo topológico y V ∈ E(e) simétrico, probar que
n≥1 V n es un subgrupo abierto y cerrado de G (en particular, un grupo
topológico conexo está generado por cualquier entorno simétrico de e ∈ G).
7.6 Lema Sea G un grupo topológico, K ⊂ G compacto y U ⊂ G abierto t.q.
K ⊂ U, entonces existe V ∈ E(e) t.q. KV ⊆ U.
Dem. Como U abierto, para cada xi ∈ K existe Ui ∈ E(e) t.q. xi ∈ xiUi ⊂ U.
Sea Vi ∈ E(e) simétrico t.q. V 2
i ⊂ Ui, es claro que {xiVi}xi∈K es un recubrimiento
abierto de K y siendo K compacto existirá un subrecubrimiento
finito {x1V1, ..., xnVn}. Denotamos V = V1 ∩ · · · ∩ Vn, entonces es claro que
V ∈ E(e) y KV ⊂ x1V1V ∪ · · · ∪ xnVnV . Como ViV ⊂ ViVi ⊂ Ui se sigue que
xiViV ⊂ xiUi ⊂ U para 1 ≤ i ≤ n, por tanto KV ⊂ U.
7.7 Proposición Sea G un grupo topológico, F ⊂ G un cerrado y K ⊂ G un
compacto t.q. F ∩ K = ∅, entonces existe V ∈ E(e) t.q. F V ∩ KV = ∅.
Dem. Si F cerrado t.q. F ∩ K = ∅ entonces K ⊂ G − F abierto y por (7.6)
existirá U ∈ E(e) t.q. KU ⊂ G−F ó bien F ∩KU = ∅. Sea V ∈ E(e) simétrico
t.q. V 2 ⊂ U, entonces F V ∩ KV = ∅ (en efecto, si F V ∩ KV = ∅ existirán
x ∈ F , y ∈ K y v1, v2 ∈ V t.q. xv1 = yv2 ó bien x = yv2v −1
1 ∈ KV 2 ⊂ KU, lo
cual contradice F ∩ KU = ∅).
7.8 Proposición Sea G un grupo topológico, F ⊂ G cerrado y K ⊂ G
compacto, entonces F K es cerrado.
Dem. Veamos que G − F K es abierto. Si x /∈ F K entonces F −1 x ∩ K = ∅
y notar que F −1 x = Rxη(F ) es cerrado, ya que Rx y η son homeomorfismos.
Por (7.7) existirá V ∈ E(e) t.q. F −1 xV ∩ KV = ∅. Sea W = V V −1 ∈ E(e),
entonces xW ∩ F K = ∅. Por tanto xW es un abierto t.q. x ∈ xW ⊂ G − F K.
7.9 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G cerrado, entonces G es
compacto si y sólo si H y G/H son compactos.
Dem. Sean H y G/H compactos y sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de
G, como U es también un recubrimiento de xH para todo x ∈ G y xH = Lx(H)
es compacto, existirá un subrecubrimiento finito {U1, ..., Un} de xH, es decir
xH ⊂ U x = U1 ∪ · · · ∪ Un. Por (7.6) existirá V x ∈ E(e) t.q. V x xH ⊆ U x .
Pero (V x x)H = p(V x x) = pRx(V x ) es abierto en G/H, ya que p abierta y
Rx homeomorfismo, además x ∈ V x xH ya que x = exe, entonces es claro
que {(V x x)H}x∈G es un recubrimiento abierto de G/H, por tanto existirá
un subrecubrimiento finito {(V x1 x1)H, ..., (V xkxk)H} ya que G/H compacto.
38

Entonces G = p −1 (G/H) = V x1 x1H ∪ · · · ∪ V xkxkH ⊂ U x1 ∪ · · · ∪ U xk y cada
U xi es unión de un número finito de miembros de U, por tanto G compacto.
Ejercicio 75 Sea G un grupo topológico compacto y H ≤ G cerrado, probar
que entonces la proyección p : G −→ G/H es también cerrada.
Ejercicio 76 Sea G un grupo topológico y H ✂ G cerrado en G, probar que
entonces G/H es también un grupo topológico.
7.10 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G cerrado. Si H y G/H
son conexos, entonces también G es conexo.
Dem. Sea U, V abiertos no vacíos t.q. G = U ∪ V , vamos a probar que U y
V no pueden ser disjuntos. Como p : G −→ G/H es una aplicación abierta y
sobre G/H = p(U) ∪ p(V ) = UH ∪ V H y siendo G/H conexo se sigue que
UH ∩ V H = ∅. Sea xH ∈ UH ∩ V H, como xH ∈ UH existirán h ∈ H y
u ∈ U t.q. xh = u, por tanto xH ∩ U = ∅. Análogamente, xH ∈ V H implica
xH ∩ V = ∅. Claramente xH = xH ∩ (U ∪ V ) = (xH ∩ U) ∪ (xH ∩ V ) y como
xH = Lx(H) es conexo, por ser H conexo y Lx homeomorfismo, se sigue que
xH ∩ U ∩ V = ∅ y en particular que U ∩ V = ∅. Por tanto G es conexo.
Ejercicio 77 Sea C(e) la componente conexa del elemento neutro e ∈ G,
probar que G/C(e) es un grupo topológico.
Ejercicio 78 Sea f : G −→ H homomorfismo continuo de grupos topológicos,
probar que Ker(f) es cerrado. Si además f es sobre y abierta (ó cerrada) ó bien
f sobre y G compacto, el isomorfismo de grupos inducido ˆ f : G/Ker(f) −→ H
es también un homeomorfismo.
Grupos de transformaciones topológicas
Sea G un g.t. y X un e.t. Hausdorff, una acción a izquierda de G sobre X
es una aplicación continua φ : G × X −→ X t.q. si φ(g, x) = gx, se satisface:
(1) ex = x, ∀x ∈ X y (2) g(hx) = (gh)x, para todo g, h ∈ G y todo x ∈ X.
Notar que G actúa como un grupo de homeomorfismos ó de transformaciones
topológicas de X: dado g ∈ G, la aplicación φg = φ(g, −) : X −→ X dada por
φg(x) = gx es continua y también lo es (φg) −1 = φ g −1, por tanto g = φg es un
homeomorfismo de X en sí mismo. Si tal acción existe, diremos que (X, φ) es
un G-espacio a izquierda. (Análogamente definiríamos acciones a derecha).
Ejemplo Si G es un g.t. y H ≤ G cerrado entonces el par (G/H, φ) con
φ : G × G/H −→ G/H dada por φ(g, g ′ H) = (gg ′ )H, es un G-espacio.
Definimos una relación en un G-espacio X como sigue: x ∼ y si existe g ∈ G
t.q. gx = y. Esta relación es de equivalencia y define una partición de X. Las
39

clases de equivalencia G(x) = {gx|g ∈ G} se llaman órbitas de x bajo G y
el conjunto de las órbitas X/G, con la topología cociente, se dice espacio de
órbitas de X bajo G.
Ejemplos
(1) (Z, +) actúa sobre R como sigue: φ : Z × R −→ R t.q. φ(n, x) = n + x
¿Quién es el espacio de órbitas R/Z?
(2) La aplicación antipodal a : S n −→ S n dada por a(x) = −x genera el
grupo cíclico Z2 (en efecto, a 2 = 1). Definimos φ : Z2 × S n −→ S n t.q.
φ(a, x) = a(x). El espacio de órbitas S n /Z2 es el espacio proyectivo RP n .
(3) Un mismo grupo puede actuar de distintas maneras sobre un e.t. En
efecto, sea T el toro generado por la rotación del círculo en R 3 de ecuación
(x−3) 2 +z 2 = 1 alrededor del eje −→ 0z y sea Z2 = {g|g 2 = 1} el grupo cíclico
de orden 2, definimos φi : Z2 × T −→ T , i = 1, 2, 3 t.q. φ1(g, (x, y, z)) =
(x, −y, −z), φ2(g, (x, y, z)) = (−x, −y, z) y φ3(g, (x, y, z)) = (−x, −y, −z)
(es decir, φ1, φ2, φ3 son, respectivamente, la rotación de ángulo π alrededor
del eje −→ 0x, la rotación de ángulo π alrededor del eje −→ 0z y la simetría
respecto del origen. ¿Quienes son los correspondientes espacios de órbitas?
Ejercicio 79 Probar que la proyección π : X −→ X/G es abierta.
7.11 Teorema Sea (X, φ) un G espacio con G un grupo finito. Entonces la
proyección π : X −→ X/G es también cerrada y X/G es Hausdorff.
Dem. Sea G = {e, g1, ...gn} y F cerrado en X, notar que π(F ) será cerrado
en X/G sí y sólo si π −1 π(F ) es cerrado en X, pero este último es cerrado por
ser unión finita de cerrados π −1 π(F ) = GF = F ∪ g1F ∪ · · · ∪ gnF (en efecto,
gF = φg(F ) y φg homeomorfismo), por tanto π es cerrada. Veamos que X/G
es Hausdorff, sea G(x) = G(y) en X/G ó equivalentemente G(x)∩G(y) = ∅ en
X, como G es finito G(x) y G(y) serán finitos y por tanto compactos, entonces
por 5.5 existirán abiertos U, V t.q. G(x) ⊂ U, G(y) ⊂ V y U ∩ V = ∅. En
particular U ∩G(y) = ∅, entonces π(U) es un abierto en X/G t.q. G(x) ∈ π(U)
ya que π abierta. Por otra parte π(U) será cerrado en X/G, ya que π es también
cerrada, y por tanto X/G − π(U) es un abierto t.q. G(y) ∈ X/G − π(U). Es
claro que π(U) ∩ (X/G − π(U)) = ∅ y concluimos que X/G es Hausdorff.
Fijado x ∈ X, el conjunto Gx = {g ∈ G|gx = x} de los elementos de G
que fijan x es un subgrupo de G llamado subgrupo de isotropía ó de
estabilidad de G respecto de x.
7.12 Proposición Gx es un subgrupo cerrado de G para todo x ∈ X.
Dem. Dado x ∈ X la aplicación φx = φ(x, −) : G −→ X es continua y notar
que Gx = φ −1
x ({x}), pero {x} es cerrado ya que X es Hausdorff.
40

Sea (X, φ) un G-espacio, diremos que φ es libre ó que G actúa libremente
sobre X si no deja puntos fijos, es decir si gx = x para todo g = e y todo
x ∈ X ó equivalentemente si Gx = {e} para todo x ∈ X.
Sea (X, φ) un G-espacio, diremos que φ es una acción discontinua ó que G
actúa de manera discontinua sobre X, si para todo x ∈ X existe un abierto U
t.q. x ∈ U y g1U ∩ g2U = ∅ para todo g1 = g2.
7.13 Proposición Toda acción discontinua φ : G × X −→ X es libre. Si G
es un grupo finito y φ es una acción libre entonces φ es también discontinua.
Dem. Si φ es discontinua y g = e para todo x ∈ X existe U abierto t.q.
x ∈ U y gU ∩ U = ∅ para todo g = e, en particular gx = x y por tanto φ
es libre. Por otra parte, sea G = {e, g1, ..., gn} un grupo finito y φ una acción
libre, entonces gix = x para 1 ≤ i ≤ n y como X es Hausdorff, existirán
abiertos U0, U1, ..., Un t.q. x ∈ U0, gix ∈ Ui y U0 ∩ Ui = ∅, para 1 ≤ i ≤ n.
Sea U = U0 ∩ g −1
1 U1 ∩ · · · ∩ g −1
n Un, entonces U es un abierto t.q. x ∈ U y
como gi puede mirarse como un homeomorfismo de X en sí mismo, notar que
giU ⊂ Ui. Entonces giU ∩ gjU = gi(U ∩ g −1
i gjU) = gi(U ∩ gkU), pero U ⊂ U0,
gkU ⊂ Uk y U0 ∩ Uk = ∅. Por tanto giU ∩ gjU = ∅ y φ será discontinua.
Dado un G-espacio (X, φ) y x ∈ X sea ψx : G −→ G(x) t.q. ψx(g) = gx la
restricción de φx en la imagen y sea q : G −→ G/Gx la identificación, entonces
definimos ϑx : G/Gx −→ G(x) por ϑx(gGx) = gx, y notar que ϑxq = ψx.
7.14 Proposición ϑx : G/Gx −→ G(x) es una biyección continua.
Dem. Como ϑxq = ψx y ψx sobre se sigue que ϑx es sobre. Supongamos que
ϑx(g1Gx) = ϑx(g2Gx) ó bien que g1x = g2x, entonces g −1
2 g1 ∈ Gx y por tanto
g1Gx = g2Gx y se sigue que ϑx es inyectiva. Sólo queda probar que ϑx es
continua: dado U abierto en G(x) notar que ϑ −1
x (U) será abierto en G/Gx sí y
sólo si q −1 (ϑ −1
x (U)) es abierto en G, pero q −1 (ϑ −1
x (U)) = (ϑxq) −1 (U) = ψ −1
x (U)
que es abierto por ser ψx continua.
Dado un G-espacio (X, φ) diremos que la acción φ es transitiva si para todo
x, y ∈ X existe g ∈ G t.q. y = gx (equivalentemente, si G(x) = X para todo
x ∈ X ó bien el espacio de órbitas X/G consta de un único punto).
Como G es un grupo de homeomorfismos de X se sigue en particular que X
será un espacio homogéneo. Dado un grupo topológico G y un subgrupo H ≤ G
cerrado es claro que φ : G × G/H −→ G/H, dada por φ(g, g ′ H) = (gg ′ )H, es
una acción transitiva que hace de G/H un espacio homogéneo. Como ϑx es
una biyección continua, notar que si G es compacto y actúa transitivamente
sobre X, entonces ϑx : G/Gx −→ X es un homeomorfismo.
41

8 GRUPOS LINEALES
Dados A = (aij) ∈ M(n, C) y r > 0, consideramos los conjuntos
Ur(A) = {B = (bij) ∈ M(n, C)|aij − bij < r, ∀i, j}
entonces {Ur(A)|A ∈ M(n, C), r > 0} es una base para una topología sobre
M(n, C) t.q. la biyección h : M(n, C) −→ Cn2 dada por
h(A) = (a11, ..., a1n, a21, ..., a2n, ..., an1, ..., ann)
es un homeomorfismo. Consideramos GL(n, C) con la topología inducida y
sean πij : M(n, C) −→ C t.q. πij(A) = aij la composición de h con las
proyecciones canónicas pij : Cn2 −→ C, con 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces
m : GL(n, C) × GL(n, C) −→ GL(n, C)
dada por m(A, B) = AB = ( aikbkj), será continua si y sólo si πijm es
continua para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Pero πijm(A, B) = aikbkj es una función
polinomial y por tanto continua. Análogamente, sea
η : GL(n, C) −→ GL(n, C)
t.q. η(A) = A −1 la inversión, notar que πijη(A) = Aij/det(A) es también una
función polinomial, luego πijη y por tanto η es continua. En consecuencia,
GL(n, C) es un grupo topológico.
Ejercicio 80 Probar que GL(n, C) no es compacto.
Subgrupos relevantes de GL(n, C) son los Grupos Especiales Lineales
SL(n, C) = {A ∈ GL(n, C)|det(A) = 1} y SL(n, R) = SL(n, C) ∩ GL(n, R)
Como det : GL(n, F) −→ F es una aplicación continua y F = C, R es un
espacio Hausdorff se sigue que SL(n, F) = det −1 (1) es cerrado en GL(n, F).
Ejercicio 81 Probar que SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F) y que
GL(n, F)/SL(n, F) ≈ F ∗ , donde F ∗ = F − {0}.
Una matriz regular A ∈ GL(n, F) no es otra cosa que una transformación ó
isomorfismo lineal A : F n −→ F n t.q. A(x) = Ax, donde x ≡ (x1, ..., xn) ∈ F n
podemos mirarlo como una matriz columna. Por otra parte, F n es un espacio
con un producto escalar dado por < x, y >= ¯x t y, donde ¯x denota la matriz
conjugada de x ∈ F n , entonces F n es un espacio normado con x 2 = ¯x t x.
Una matriz A ∈ GL(n, R) se dirá ortogonal si Ax = x. Es claro que A
es ortogonal si y sólo si A t A = I ó bien A t = A −1 . Sea O(n) el conjunto de
42

las matrices ortogonales, es claro que I ∈ O(n) y que si A, B ∈ O(n) entonces
(AB)x = A(Bx) = Bx = x, luego AB ∈ O(n). Por tanto O(n) es
un subgrupo de GL(n, R) y se conoce como el Grupo Ortogonal.
Una matriz A ∈ GL(n, C) se dirá unitaria si Ax = x y notar que A
es unitaria si y sólo si Āt A = I ó bien Āt = A −1 . Análogamente al caso real
probaríamos que conjunto de las matrices unitarias U(n) es un subgrupo de
GL(n, C), el cual se conoce como Grupo Unitario.
Otros subgrupos relevantes de GL(n, C) son el Grupo Especial Ortogonal
SO(n) = O(n)∩SL(n, R) y el Especial Unitario SU(n) = U(n)∩SL(n, C).
Ejercicio 82 Probar que SO(n) ✂ O(n) ≤ U(n) y SO(n) ≤ SU(n) ✂ U(n).
Denotamos por Ā = (āij) la matriz conjugada de A.
8.1 Proposición La conjugación c : GL(n, C) −→ GL(n, C) y la trasposición
t : GL(n, C) −→ GL(n, C), dadas por c(A) = Ā y t(A) = At respectivamente,
son homeomorfismos de GL(n, C).
Dem. Ambas aplicaciones son biyectivas ya que son involuciones (c 2 = t 2 = 1),
entonces bastará probar que son continuas, pero eso es consecuencia de que
πijc(A) = āij y πijt(A) = aji son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n.
8.2 Corolario U(n) es un subgrupo cerrado de GL(n, C).
Dem. Notar que U(n) = {A ∈ GL(n, C)| Āt = A −1 }, es decir tc(A) = η(A).
Entonces GL(n, C) Hausdorff y (4.3) implican que U(n) cerrado en GL(n, C).
8.3 Corolario SU(n), O(n) y SO(n) son cerrados en U(n) y en GL(n, C).
Dem. Como U(n) es cerrado en GL(n, C), bastará probar que SU(n), O(n) y
SO(n) son cerrados en U(n).Pero SL(n, C) cerrado en GL(n, C) y SU(n) =
U(n)∩SL(n, C) implican SU(n) cerrado en U(n). Análogamente probaríamos
que SO(n) es cerrado en O(n). Finalmente, notar que por (4.3) se sigue que
GL(n, R) = {A ∈ GL(n, C)|A = Ā} es un subgrupo cerrado de GL(n, C),
como O(n) = U(n) ∩ GL(n, R) concluimos que O(n) es cerrado en U(n).
Dada A = (aij) ∈ M(n, R) podemos mirar la i-sima columna de A como
un vector ai = (a1i, ...ani) ∈ R n . Notar que si A ∈ GL(n, R), el conjunto
{a1, ..., an} es linealmente independiente y por tanto una base de R n y que si
B ∈ O(n), entonces B t B = I implica que < bi, bj >= δij, con bi = (b1i, ...bni),
es decir {b1, ..., bn} es una base ortonormal de R n . El proceso de Gram-Schmidt
nos da un método para ortonormalizar una base {a1, ..., an} dada: en primer
43

lugar construimos una base ortogonal {c1, ..., cn} como sigue
c1 = a1, c2 = a2 − < a2, c1 > c1
< c1, c1 > , ......., cn
n−1 < an, ci > ci
= an −
i=1 < ci, ci >
entonces si C = (cij) es la matriz que tiene a ci = (c1i, ...cni) como i-sima
columna es claro que C = AS, donde S = (sij) es una matriz triangular
superior, es decir sij = 0 para j < i, con sii = 1. La segunda etapa es
normalizar la base {c1, ..., cn}, definimos bi = ci/ci para 1 ≤ i ≤ n, entonces
si B = (bij) es la matriz que tiene a bi = (b1i, ...bni) como i-sima columna, se
sigue que B = CD con D = diag(1/c1, ..., 1/cn) una matriz diagonal. Por
lo tanto A = B(SD) −1 , donde B ∈ O(n).
8.4 Lema Sea T+(n) el conjunto de las matrices triangulares superiores cuyos
elementos de la diagonal son reales positivos, entonces T+(n) ≤ GL(n, R).
Dem. Si A ∈ T+(n) entonces det(A) = a11 · · · ann > 0 luego T+(n) ⊂ GL(n, R).
Sean A, B ∈ T+(n) y notar que (AB)ij = aikbkj. Si j < i, entonces k < i
ó j < i ≤ k, en el primer caso aik = 0 y en el segundo caso bkj = 0, luego
en cualquier caso (AB)ij = 0 para todo j < i. Además, para i = j, se tiene
(AB)ii = aiibii > 0, por tanto AB ∈ T+(n). Por otra parte, dada A ∈ T+(n)
denotamos B = A −1 , entonces AB = BA = I y notar que annbnn = 1 y que
annbnj = 0 para j < n, luego bnn > 0 y bnj = 0 para todo j < n ya que
ann > 0. Suponer que bkj = 0 para todo j < k y k > i, entonces aiibij = 0 y
aii > 0 implican bij = 0 para todo j < i. Además aiibii = 1, luego bii > 0 para
todo 1 ≥ i ≥ n, por tanto A −1 ∈ T+(n) y concluimos que T+(n) ≤ GL(n, R)
8.5 Lema O(n) ∩ T+(n) = {I}
Dem. Sea D ∈ O(n) ∩ T+(n), entonces D t = D −1 ∈ T+(n). Como D t es una
matriz triangular inferior se sigue que D = diag(d11, ..., dnn) es una matriz
diagonal y por tanto D = D t . Como I = D t D = D 2 se sigue que d 2 ii = 1,
luego dii = 1 ya que dii > 0 pues D ∈ T+(n). Entonces concluimos que D = I.
8.6 Teorema GL(n, R) ≈ O(n) × T+(n)
Dem. Sea Φ : O(n) × T+(n) −→ GL(n, R) la restricción de m, es decir
Φ(B, T ) = BT . Por otra parte, dada A ∈ GL(n, R) vimos que A = B(SD) −1
con B ∈ O(n) y S, D ∈ T+(n). Por (8.4) se sigue que T = (SD) −1 ∈ T+(n),
luego toda matriz regular A descompone como A = BT con B ∈ O(n) y
T ∈ T+(n), en particular Φ es sobre. Además esta descomposición es única: si
B1T1 = B2T2 entonces B −1
2 B1 = T2T −1
1 ∈ O(n) ∩ T+(n) = {I}, luego B1 = B2
y T1 = T2, por tanto Φ es inyectiva. Entonces Φ es biyección continua y
un homeomorfismo, ya que su inversa Ψ = Φ−1 dada por Ψ(A) = (B, T ) si
A = BT , también es continua (su composición con las proyecciones πij es
polinomial en cada coordenada).
44

Vamos a presentar las esferas como espacios homogéneos en la luz de (7.14).
8.7 Proposición Para n ≥ 2, se tienen homeomorfismos
(1) S n−1 ≈ O(n)/O(n − 1) ≈ SO(n)/SO(n − 1).
(2) S 2n−1 ≈ U(n)/U(n − 1) ≈ SU(n)/SU(n − 1).
Dem. Definimos φ : O(n) × S n−1 −→ S n−1 por φ(A, x) = Ax y notar que φ
está bien definida ya que Ax = x = 1, luego Ax ∈ S n−1 . Como Ix = x
y A(Bx) = (AB)x se sigue que φ es una acción continua de O(n) sobre
S n−1 . Sea {e1, ..., en} la base ortonormal estándar de R n y x ∈ S n−1 , entonces
podemos construir una segunda base ortonormal con x como primer vector
y si A es la matriz asociada al cambio de base es claro que A ∈ O(n) y
que Ae1 = x. Entonces la órbita de e1 bajo O(n) es S n−1 , es decir φ es una
acción transitiva. Si identificamos B ∈ O(n − 1) con la matriz de bloques
(1|B), podemos mirar a O(n − 1) como subgrupo de O(n), entonces notar que
Ae1 = e1 sí y sólo sí A = (1|B), luego O(n − 1) es el subgrupo de estabilidad
de e1 y por (7.14) se sigue que S n−1 ≈ O(n)/O(n−1), ya que O(n) compacto
y S n−1 es Hausdorff. Sea ψ : SO(n) × S n−1 −→ S n−1 definida como antes,
entonces ψ es también transitiva, ya que podemos elegir la matriz A del cambio
de base t.q. det(A) = 1, luego también como antes S n−1 ≈ SO(n)/SO(n − 1).
Análogamente lo probaríamos en el caso complejo para U(n) y SU(n).
Como SO(1) = {1} se sigue en particular que SO(2) ≈ S 1 .
8.8 Teorema U(n), SU(n), O(n) y SO(n) son compactos.
Dem. Como O(n), SO(n) y SU(n) son cerrados en U(n) bastará probar que
este último es compacto. En efecto, claramente U(1) = S 1 es compacto y si
suponemos que U(k) es compacto para 1 ≤ k ≤ n − 1, entonces (8.7) y (7.9)
implican que U(n) es compacto, completando la inducción.
Ejercicio 83 Probar que U(n) ≈ SU(n) × S 1 y O(n) ≈ SO(n) × S 0 .
8.9 Teorema U(n), SU(n) y SO(n) son conexos para todo n ≥ 1, pero O(n)
tiene dos componentes, una de ellas SO(n).
Dem. Notar que SO(1) = {1} = SU(1) y U(1) = S 1 son conexos y suponer
que SO(k), SU(k) y U(k) son conexos para 1 ≤ k ≤ n−1, entonces el teorema
se sigue por inducción a partir de (8.7) y (7.10). Por otra parte, sea S 0 =
{−1, 1} y notar que det : O(n) −→ S 0 es continua y sobre, entonces O(n)
es no conexo para todo n ≥ 1. Claramente SO(n) = det −1 (1) es una de las
componentes, siendo {A ∈ O(n)|det(A) = −1} la otra componente.
Un e.t. X se dice localmente euclídeo de dimensión n si todo punto de
X tiene un entorno homeomorfo a un abierto de R n . Como todo abierto en
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R n es localmente arcoconexo, espacios euclídeos son localmente arcoconexos.
En particular, GL(n, C) y todos sus subgrupos definidos aquí son localmente
euclídeos, luego son arcoconexos sí y sólo si son conexos y en todo caso, sus
arcocomponentes coinciden con sus componentes conexas.
8.10 Corolario GL(n, R) tiene dos arcocomponentes.
Dem. Notar que T+(n) ≈ R n(n+1)/2 , en particular T+(n) es contráctil, es decir
T+(n) {I}, por tanto GL(n, R) ≈ O(n) × T+(n) O(n) × {I} ≈ O(n), pero
el número de arcocomponentes es un invariante del tipo de homotopía.
Análogamente en el caso complejo se tiene GL(n, C) ≈ U(n) × T+(n, C) y
como T+(n, C) es contráctil, se sigue que GL(n, C) U(n). Pero U(n) es
arcoconexo y por lo tanto también GL(n, C) será arcoconexo.
CUATERNIONES
Sea {1, i, j, k} una base estándar de R 4 , definimos un producto bilineal sobre
R 4 , con 1 como elemento neutro, definido por la siguientes reglas:
(1) i 2 = j 2 = k 2 = −1
(2) ij = k = −ji, jk = i = −kj y ki = j = −ik
Claramente este producto es asociativo y no conmutativo. El espacio vectorial
R 4 con este producto bilineal es un álgebra real llamada álgebra de cuaterniones,
usualmente denotada por H en honor de su descubridor W. Hamilton.
Un cuaternión q ∈ H tiene una expresión única de la forma q = a+bi+cj +dk
y como en el caso de los complejos, consta de parte real Re(q) = a y parte
imaginaria pura P u(q) = bi + cj + dk. Diremos que q es puro si P u(q) = q.
8.11 Lema Un cuaternión es real si y sólo si conmuta con todo elemento de
H, es decir Z(H) = R.
Dem. Sea q = a + bi + cj + dk ∈ Z(H), entonces
0 = iq − qi = −b + ai − dj + ck + b − ai − dj + ck = −2dj + 2ck
y como {1, i, j, k} es base se sigue que c = d = 0. Por tanto q = a + bi, pero
qj = jq implica 0 = jq − qj = aj − bk − aj − bk = −2bk luego b = 0 y
concluimos que q = a ∈ R. El recíproco es obvio.
8.12 Lema Un cuaternión es puro si y sólo si su cuadrado es real y negativo.
Dem. Sea q = a + bi + cj + dk ∈ H, haciendo cuentas se tiene
q 2 = a 2 − b 2 − c 2 − d 2 + 2a(bi + cj + dk)
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Si q es puro entonces a = 0 y por tanto q 2 = −(b 2 + c 2 + d 2 ) es un número
real negativo. Recíprocamente, supongamos que q 2 es un número real negativo
y que no es puro, es decir que a = 0, entonces por ser q 2 real se sigue que
ab = ac = ad = 0, luego b = c = d = 0 y por tanto q 2 = a 2 > 0 contradiciendo
que q 2 negativo. Necesariamente a = 0 y por tanto q puro
Dado un cuaternión q = Re(q) + P u(q), definimos su conjugado de manera
análoga a los números complejos: ¯q = Re(q) − P u(q). Notar que qq = qq =
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0 es un número real positivo. Claramente ¯q = q y es fácil
comprobar que q1q2 = ¯q2 ¯q1, es decir la conjugación en H es una anti-involución.
Si denota el producto escalar estándar sobre R 4 , se tiene que < q1, q2 >=
1
2 ( ¯q1q2 + ¯q2q1). En particular < q, q >= qq y definimos una norma en H por
q = √ ¯qq. Todo elemento 0 = q ∈ H tiene inverso q −1 = q −2 ¯q, por tanto
H ∗ = H − {0} es un grupo topológico (con la topología usual de R 4 ).
8.13 Lema q1q2 = q1q2, para todo q1, q2 ∈ H.
Dem. en efecto, como ¯q1q1 ∈ R y el producto en H es asociativo, se tiene
q1q2 2 = q1q2q1q2 = ¯q2¯q1q1q2 = ¯q2( ¯q1q1)q2 = ¯q1q1 ¯q2q2 = q1 2 q2 2
pero q1, q2 ≥ 0, por tanto q1q2 = q1q2.
Notar que S 3 = {x ∈ H|x = 1} ≤ H ∗ es también un grupo topológico.
Dado x ∈ S 3 definimos una aplicación Tx : H −→ H por Tx(q) = xqx −1 .
Es claro que Tx(q) = xqx −1 = q, por tanto Tx es una transformación
lineal ortogonal (ya que H es R 4 como espacio vectorial) es decir Tx ∈ O(4)
para todo x ∈ S 3 . Definimos T : S 3 −→ O(4) t.q. T (x) = Tx y notar que
TxTy(q) = Txy(q), luego T es un homomorfismo continuo de grupos. Es claro
que T (1) = I ∈ SO(4), con I la matriz identidad, entonces T continua y S 3
conexo implican T (S 3 ) ⊂ SO(4). Además Tx(1) = 1, es decir Tx fija el 1 ∈ H,
entonces Tx ∈ SO(3) ≤ SO(4) para todo x ∈ S 3 y por tanto T (S 3 ) ⊆ SO(3).
8.14 Proposición T (S 3 ) = SO(3) y Ker(T ) = Z2.
Dem. Denotamos por Hi, Hj y Hk los subgrupos uniparamétricos de SO(3),
es decir el conjunto de las matrices de SO(3) que fijan, respectivamente, i, j
y k. Si ω = e iϑ ∈ S 3 entonces Tω(i) = i, es decir Tω ∈ Hi. Notar que
Tω(j) = (cos2ϑ)j + (sen2ϑ)k y Tω(k) = (cos2ϑ)k − (sen2ϑ)j. Es decir Tω
es una rotación de ángulo 2ϑ en el plano expandido por j y k, por tanto
Hi ⊂ T (S 3 ). Análogamente probaríamos que Hj, Hk ⊂ T (S 3 ). Entonces se
tiene que T (S 3 ) = SO(3), ya que Hi, Hj y Hk generan SO(3). Por otra parte,
sea x ∈ Ker(T ) entonces Tx = I y por tanto q = Tx(q) = xqx −1 ó bien
xq = qx para todo q ∈ H, es decir x ∈ Z(H) = R y como x = 1 se sigue que
x = ±1, por tanto Ker(T ) = Z2.
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8.15 Teorema SO(3) ≈ RP 3
Dem. El espacio proyectivo RP 3 es el espacio obtenido a partir de S 3 por
identificar puntos antipodales, es decir el espacio de órbitas S 3 /Z2, denotamos
por π : S 3 −→ RP 3 la identificación y consideramos el diagrama
S 3
π
RP 3
T
h
SO(3)
notar que T (x) = T (y) sí y sólo sí x = ±y luego T es constante sobre las
fibras de π y por (3.5) existirá h : RP 3 −→ SO(3) continua t.q. hπ = T .
Claramente h inyectiva y como T sobre se sigue que h también es sobre, luego
es una biyección continua. Como RP 3 es compacto y SO(3) es Hausdorff se
sigue por (5.8) que h es un homeomorfismo y el teorema está probado.
8.16 Teorema SO(4) ≈ SO(3) × S 3
Dem. Dada A ∈ SO(4) podemos mirarla como una aplicación lineal ortogonal
A : H −→ H y sea ω = A(1), entonces ω = 1 y por tanto ω ∈ S 3 . Definimos
C : H −→ H t.q. C(x) = A(x)ω −1 , claramente C ∈ SO(4) y C(1) = 1,
entonces C = (1|B) con B ∈ SO(3). Definimos h : SO(4) −→ SO(3) × S 3 por
h(A) = (B, ω) y es fácil probar que h es una biyección continua. Como SO(4)
es compacto y SO(3) × S 3 es Hausdorff, se sigue que h es un homeomorfismo.
Una matriz A ∈ GL(n, H) se dirá simplética si Ax = x y notar que A
es simplética si y sólo si Āt A = I ó bien Āt = A −1 . Análogamente al caso
real y complejo, el conjunto de las matrices simpléticas Sp(n) es un subgrupo
de GL(n, H), el cual se conoce como Grupo Simplético y se prueba como
en (8.6) que GL(n, H) ≈ Sp(n) × T+(n, H), con T+(n, H) contráctil. Es claro
que Sp(1) = S 3 y como en (8.7) se tiene que S 4n−1 ≈ Sp(n)/Sp(n − 1). Por
inducción en n se sigue de (7.9) que Sp(n) compacto para todo n ≥ 1 y de
(7.10) que Sp(n) es conexo (y por tanto arcoconexo) para todo n ≥ 1.
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REFERENCIAS
(1) J. Dugundji Topology (1966)
(2) P.J. Higgins An Introduction to Topological Groups (1979)
(3) J.R. Munkres Topology (2000)
(4) S. Willard General Topology (1970)
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