TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

8.15 Teorema SO(3) ≈ RP 3
Dem. El espacio proyectivo RP 3 es el espacio obtenido a partir de S 3 por
identificar puntos antipodales, es decir el espacio de órbitas S 3 /Z2, denotamos
por π : S 3 −→ RP 3 la identificación y consideramos el diagrama
S 3
π
RP 3
T
h
SO(3)
notar que T (x) = T (y) sí y sólo sí x = ±y luego T es constante sobre las
fibras de π y por (3.5) existirá h : RP 3 −→ SO(3) continua t.q. hπ = T .
Claramente h inyectiva y como T sobre se sigue que h también es sobre, luego
es una biyección continua. Como RP 3 es compacto y SO(3) es Hausdorff se
sigue por (5.8) que h es un homeomorfismo y el teorema está probado.
8.16 Teorema SO(4) ≈ SO(3) × S 3
Dem. Dada A ∈ SO(4) podemos mirarla como una aplicación lineal ortogonal
A : H −→ H y sea ω = A(1), entonces ω = 1 y por tanto ω ∈ S 3 . Definimos
C : H −→ H t.q. C(x) = A(x)ω −1 , claramente C ∈ SO(4) y C(1) = 1,
entonces C = (1|B) con B ∈ SO(3). Definimos h : SO(4) −→ SO(3) × S 3 por
h(A) = (B, ω) y es fácil probar que h es una biyección continua. Como SO(4)
es compacto y SO(3) × S 3 es Hausdorff, se sigue que h es un homeomorfismo.
Una matriz A ∈ GL(n, H) se dirá simplética si Ax = x y notar que A
es simplética si y sólo si Āt A = I ó bien Āt = A −1 . Análogamente al caso
real y complejo, el conjunto de las matrices simpléticas Sp(n) es un subgrupo
de GL(n, H), el cual se conoce como Grupo Simplético y se prueba como
en (8.6) que GL(n, H) ≈ Sp(n) × T+(n, H), con T+(n, H) contráctil. Es claro
que Sp(1) = S 3 y como en (8.7) se tiene que S 4n−1 ≈ Sp(n)/Sp(n − 1). Por
inducción en n se sigue de (7.9) que Sp(n) compacto para todo n ≥ 1 y de
(7.10) que Sp(n) es conexo (y por tanto arcoconexo) para todo n ≥ 1.
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REFERENCIAS
(1) J. Dugundji Topology (1966)
(2) P.J. Higgins An Introduction to Topological Groups (1979)
(3) J.R. Munkres Topology (2000)
(4) S. Willard General Topology (1970)
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