TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

Ejercicio 42 Si X e Y son conexos y A ⊂ X, B ⊂ Y son subespacios propios,
probar que X × Y − A × B es conexo.
Ejercicio 43 Probar que R n − {0} es conexo para todo n ≥ 2.
Ejercicio 44 Probar que R y R n no son homeomorfos si n = 1.
Ejercicio 45 Probar que todo intervalo abierto, semiabierto ó cerrado en R
es homeomorfo, respectivamente, a (−1, 1), (−1, 1] ó [−1, 1]. Probar también
que estos intervalos no son homeomorfos entre si.
Ejercicio 46 Sea I = [0, 1] y f : I −→ I una aplicación continua, probar que
f tiene un punto fijo (es decir, que existe x ∈ I t.q. f(x) = x).
Ejercicio 47 Sea n ≥ 2 y S n−1 = {x ∈ R n |x = 1} la esfera unidad. Probar
que S n−1 es conexo y que R n − S n−1 no lo es.
Ejercicio 48 Probar que A = {(x, y) ∈ R 2 |y > x 2 + 1} es conexo.
Ejercicio 49 Sea p ∈ S 1 , probar que S 1 − {p} es conexo y deducir que S 1 no
es homeomorfo a R.
Ejercicio 50 Sea X un conjunto infinito con la topología cofinita, notar que
τCF tiene como subbase a S = {X − {x}|x ∈ X} y es por tanto la menor
topología que hace de X un T1-espacio. Probar que (X, τCF ) es conexo.
Ejercicio Sea (X, τCF ) un e.t. infinito con la topología co-finita, probar que
los conjuntos {x, y} no son conexos.
Solución Si B = {x, y} es claro que {x} = (X − {y}) ∩ B y análogamente
{y} = (X − {x}) ∩ B. Como X − {y}, X − {x} ∈ τCF se sigue que {x} e {y}
son abiertos en B, es decir la topología inducida en B = {x, y} es la discreta,
por tanto B no es conexo.
Ejercicio Sean A y B dos subespacios conexos de un e.t. X t.q. A ∩ B = ∅.
Probar que A ∪ B es conexo.
Solución Sea x ∈ A ∩ B, como A ⊂ A ∪ {x} ⊂ A, se sigue por (6.3) que
A ∪ {x} es también conexo. Como x ∈ (A ∪ {x}) ∩ B = ∅ se sigue de (6.4)
que A ∪ B = A ∪ {x} ∪ B es conexo.
Componentes conexas
Dado x ∈ X, llamaremos componente conexa C(x) de x a la unión de todos
los subespacios conexos de X que contienen a x. Claramente X es conexo si
y sólo si C(x) = X para todo x ∈ X
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