TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

Espacios localmente conexos
Un espacio topológico (X, τX) se dice localmente conexo si su topología τX
tiene una base formada por abiertos conexos.
Ejemplos (1) Como las bolas B(x, r) ⊂ R n son conexas, R n es localmente
conexo. (2) Espacios discretos con más de un punto son localmente conexos
pero no son conexos. (3) Un espacio puede ser conexo y no localmente conexo:
en efecto, si X ⊂ R 2 es el espacio que consta de los segmentos que unen el
origen 0 con los puntos del conjunto {(1, 1/n)|n ∈ N} junto con el segmento
(1/2, 1] en el eje −→ 0x, entonces X es conexo mientras que X − {0} no lo es y las
componentes de cada punto es el rayo que lo contiene. Si p ≡ (3/4, 0) ∈ X y
U es un abierto que contiene a p, entonces U = B(p, ε) ∩ X para algún ε > 0.
Es claro que U no es conexo, ya que la intersección de U con el segmento que
une el origen 0 con el punto q ≡ (1, 1/n) es a la vez abierto y cerrado en U.
Llamaremos componente de B ⊂ X a un conexo maximal contenido en B.
6.8 Teorema Un e.t. X es localmente conexo si y sólo si toda componente
de todo abierto en X es abierta.
Dem. Sea C una componente de un abierto U y x ∈ C, como X es localmente
conexo existirá un abierto conexo V t.q. x ∈ V ⊂ U, entonces x ∈ V ⊂ C y
por tanto C abierto. Recíprocamente, si toda componente de todo abierto U es
abierta es claro que la familia de todas las componentes de todos los abiertos
de X forman una base para su topología, luego X es localmente conexo.
En particular las componentes de un espacio localmente conexo son a la vez
abiertas y cerradas, entonces se sigue fácilmente
6.9 Corolario Un espacio compacto y localmente conexo tiene a lo más un
número finito de componentes.
Ejemplo En general, la imagen de un e.t. localmente conexo no es localmente
conexo: Sea X = {0} ∪ N y Y = {0} ∪ {1/n|n ∈ N} como subespacios de R.
Definimos f : X −→ Y t.q. f(0) = 0 y f(n) = 1/n. Como X es discreto f es
continua y sobre, además X es localmente conexo pero Y no lo es.
Pero la propiedad ”localmente conexo” sí se conserva en cocientes
6.10 Teorema Sea X localmente conexo y f : X −→ Y una identificación,
entonces también Y es localmente conexo.
Dem. Sea U abierto en Y y C una componente de U, por (6.8) bastará probar
que C es abierto. Como f es una identificación, es decir τY = τ(f), notar que
C es abierto en Y sí y sólo si f −1 (C) es abierto en X. Sea pues x ∈ f −1 (C) y Cx
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