TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

también H ≤ G. Además si H ✂ G, también H ✂ G.
Ejercicio 73 Sea G un grupo topológico, probar que Z(G) ✂ G es cerrado.
Ejercicio 74 Sea G un grupo topológico y V ∈ E(e) simétrico, probar que
n≥1 V n es un subgrupo abierto y cerrado de G (en particular, un grupo
topológico conexo está generado por cualquier entorno simétrico de e ∈ G).
7.6 Lema Sea G un grupo topológico, K ⊂ G compacto y U ⊂ G abierto t.q.
K ⊂ U, entonces existe V ∈ E(e) t.q. KV ⊆ U.
Dem. Como U abierto, para cada xi ∈ K existe Ui ∈ E(e) t.q. xi ∈ xiUi ⊂ U.
Sea Vi ∈ E(e) simétrico t.q. V 2
i ⊂ Ui, es claro que {xiVi}xi∈K es un recubrimiento
abierto de K y siendo K compacto existirá un subrecubrimiento
finito {x1V1, ..., xnVn}. Denotamos V = V1 ∩ · · · ∩ Vn, entonces es claro que
V ∈ E(e) y KV ⊂ x1V1V ∪ · · · ∪ xnVnV . Como ViV ⊂ ViVi ⊂ Ui se sigue que
xiViV ⊂ xiUi ⊂ U para 1 ≤ i ≤ n, por tanto KV ⊂ U.
7.7 Proposición Sea G un grupo topológico, F ⊂ G un cerrado y K ⊂ G un
compacto t.q. F ∩ K = ∅, entonces existe V ∈ E(e) t.q. F V ∩ KV = ∅.
Dem. Si F cerrado t.q. F ∩ K = ∅ entonces K ⊂ G − F abierto y por (7.6)
existirá U ∈ E(e) t.q. KU ⊂ G−F ó bien F ∩KU = ∅. Sea V ∈ E(e) simétrico
t.q. V 2 ⊂ U, entonces F V ∩ KV = ∅ (en efecto, si F V ∩ KV = ∅ existirán
x ∈ F , y ∈ K y v1, v2 ∈ V t.q. xv1 = yv2 ó bien x = yv2v −1
1 ∈ KV 2 ⊂ KU, lo
cual contradice F ∩ KU = ∅).
7.8 Proposición Sea G un grupo topológico, F ⊂ G cerrado y K ⊂ G
compacto, entonces F K es cerrado.
Dem. Veamos que G − F K es abierto. Si x /∈ F K entonces F −1 x ∩ K = ∅
y notar que F −1 x = Rxη(F ) es cerrado, ya que Rx y η son homeomorfismos.
Por (7.7) existirá V ∈ E(e) t.q. F −1 xV ∩ KV = ∅. Sea W = V V −1 ∈ E(e),
entonces xW ∩ F K = ∅. Por tanto xW es un abierto t.q. x ∈ xW ⊂ G − F K.
7.9 Teorema Sea G un grupo topológico y H ≤ G cerrado, entonces G es
compacto si y sólo si H y G/H son compactos.
Dem. Sean H y G/H compactos y sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de
G, como U es también un recubrimiento de xH para todo x ∈ G y xH = Lx(H)
es compacto, existirá un subrecubrimiento finito {U1, ..., Un} de xH, es decir
xH ⊂ U x = U1 ∪ · · · ∪ Un. Por (7.6) existirá V x ∈ E(e) t.q. V x xH ⊆ U x .
Pero (V x x)H = p(V x x) = pRx(V x ) es abierto en G/H, ya que p abierta y
Rx homeomorfismo, además x ∈ V x xH ya que x = exe, entonces es claro
que {(V x x)H}x∈G es un recubrimiento abierto de G/H, por tanto existirá
un subrecubrimiento finito {(V x1 x1)H, ..., (V xkxk)H} ya que G/H compacto.
38