TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

(zi) ∈ p −1
k (Vk) abiertos en Xi t.q. p −1
k (Uk) ∩ p −1
k (Vk) = p −1
k (Uk ∩ Vk) = ∅.
Recíprocamente, si Xi es Hausdorff y k ∈ J, elegimos un punto x 0 i ∈ Xi
para cada i = k y sea ik : Xk −→ Xi, dada por ik(xk) = (xi) con xi = x 0 i
para todo i = k. Como la propiedad ”Hausdorff” es hereditaria se sigue que
ik(Xk) es Hausdorff, pero ik(Xk) es homeomorfo a Xk, y esto para todo k ∈ J.
Cocientes de espacios Hausdorff no son necesariamente Hausdorff.
Ejemplo Sea X = R 2 con la topología usual y definimos la siguiente relación
de equivalencia (x1, y1)R(x2, y2) sí y sólo si y1, y2 < 0 ó y1, y2 ≥ 0. Sean
A = {(x, y)|y ≥ 0} y B = {(x, y)|y < 0} y consideremos la identificación
q : X −→ X/R, denotamos q(A) = a y q(B) = b. Entonces X/R = {a, b}.
Como q −1 (b) = B abierto en la topología usual, se sigue que {b} es abierto en
X/R, luego la topología cociente es τ(q) = {∅, {b}, X/R}, es decir (X/R, τ(q))
es el espacio de Sierpinski, que no es Hausdorff.
Dada una relación de equivalencia R sobre un e.t. X, podemos mirarla como
un subespacio del producto: R = {(x1, x2)|x1 ∼ x2} ⊂ X × X. La aplicación
q × q : X × X −→ X/R × X/R es continua y es claro que R = (q × q) −1 (∆).
Notar que si X/R es Hausdorff entonces R debe ser un cerrado en X × X.
4.7 Proposición Sea X un e.t., R una relación de equivalencia sobre X. Si R
es cerrado en X × X y q : X −→ X/R es abierta, entonces X/R es Hausdorff.
Dem. Sean [x1] = [x2] en X/R, es decir (x1, x2) ∈ X ×X −R, el cual es abierto
por ser R cerrado, entonces existen U1, U2 abiertos t.q. (x1, x2) ∈ U1 × U2 ⊂
X × X − R. Como q abierta, q(U1) y q(U2) son dos abiertos t.q. [x1] ∈ q(U1),
[x2] ∈ q(U2) y q(U1) ∩ q(U1) = ∅ (en efecto, si [x] ∈ q(U1) ∩ q(U1) entonces
existen x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2 t.q. [x] = q(x1) = q(x2) ó bien [x1] = [x2], y por
tanto (x1, x2) ∈ R, lo cual es una contradicción ya que U1 ×U2 ⊂ X ×X −R).
4.8 Proposición Si Y es un espacio Hausdorff y f : X −→ Y es una aplicación
continua e inyectiva entonces también X es Hausdorff. En particular, si Y
Hausdorff y f : X −→ Y continua entonces X/R(f) es Hausdorff.
Dem. Sean x1 = x2 en X, si f es inyectiva entonces f(x1) = f(x2) y como
Y es Hausdorff, existirán abiertos U1 y U2 t.q. f(x1) ∈ U1, f(x2) ∈ U2 y
U1 ∩ U2 = ∅. Entonces, si f es continua, f −1 (U1) y f −1 (U2) son abiertos t.q.
x1 ∈ f −1 (U1), x2 ∈ f −1 (U2) y f −1 (U1)∩f −1 (U2) = f −1 (U1 ∩U2) = f −1 (∅) = ∅,
luego X ∈ T2. La segunda parte se sigue inmediatamente ya que f continua
implica que ˆ f : X/R(f) −→ Y es continua e inyectiva.
Espacios regulares y T3-espacios.
Un e.t. (X, τ) se dice regular si para todo F cerrado en X y x /∈ F existen
U, V ∈ τ t.q. x ∈ U, F ⊂ V y U ∩ V = ∅. En general, un espacio regular no es
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