TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

5.22 Teorema Dada una familia {Xi}i∈J de espacios Hausdorff, entonces
i∈J Xi es localmente compacto si y sólo si cada Xi es localmente compacto
y todos los factores Xi, salvo un número finito, son compactos.
Dem. Sea Xi localmente compacto, como las proyecciones pk : Xi −→ Xk
son continuas, sobre y abiertas se sigue que Xk es localmente compacto para
todo k ∈ J. Además, si V es un abierto relativamente compacto notar que
V = Vi t.q. Vi = Xi para todo i ∈ J − F , donde F ⊂ J es un conjunto
finito de índices, entonces Xi = pi(V ) ⊂ pi(V ) y por tanto Xi = pi(V ),
para todo i ∈ J − F , el cual es compacto por serlo V . Recíprocamente, sea
Xi localmente compacto para todo i ∈ J, compacto para todo i ∈ J − F y
suponer F = {1, 2, ..., n}. Dado (xi) ∈ Xi, para cada k ∈ F existe un abierto
Vk relativamente compacto t.q. xk ∈ Vk. Como Vi = Vi, por el teorema
de Tychonoff se sigue que V = Vi, con Vi = Xi para i > n, es un abierto
relativamente compacto t.q. (xi) ∈ V . Por tanto Xi localmente compacto.
Compactación de Alexandroff
Una compactación ó compactificación de un e.t. X es un par (Y, h) donde
Y es un T2-espacio compacto y h : X −→ Y aplica X de manera homeomorfa
sobre un subespacio denso de Y (es decir, X ≈ h(X) denso en Y ).
Ejercicio 31 Probar que X es localmente compacto si y sólo si h : X −→ Y
es abierta para toda compactificación (Y, h) de X.
5.23 Teorema Un espacio X Hausdorff y localmente compacto se puede
incrustar en un espacio Hausdorff y compacto X t.q. X − X es un punto {p}.
Dem. Definimos X = X {p}, donde p es un punto ideal disjunto de X y sea
τ = τ ∪{ X−K|K ⊂ Xcompacto}. Es fácil probar que τ es una topología sobre
X y es claro que dos puntos distintos de X se pueden separar por abiertos
disjuntos si ambos están en X. Sea ahora x ∈ X y p = X − X, como X
es localmente compacto existirá U ∈ τ relativamente compacto t.q. x ∈ U,
entonces X − U ∈ τ, p ∈ X − U y es claro que U ∩ ( X − U) = ∅, por tanto
( X, τ) es Hausdorff. Finalmente, sea U = {Ui}i∈J un recubrimiento abierto de
X y sea U0 ∈ U un abierto conteniendo a p, entonces U0 = X − K para algún
K compacto en X y si {U1, ..., Un} ⊂ U es un subrecubrimiento finito de K es
claro que {U0, U1, ..., Un} es un subrecubrimiento finito de X, por tanto ( X, τ)
es compacto.
Sea i : X −→ X la inclusión, notar que el par ( X, i) es una compactación
de X: en efecto, X ≈ i(X) y si U = X − K es un abierto que contiene a p,
entonces U ∩ X = ∅, luego p ∈ X y por tanto X = X, es decir X es denso
en X. Tal compactación ( X, i) se dirá compactación a un punto ó de
Alexandroff de X.
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