TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

Ejercicio 56 Definimos una relación sobre X como sigue: x ∼ y si y sólo si
existe un camino en X juntando a x con y. Probar que dicha relación es de
equivalencia. Llamaremos arcocomponente de x a la clase de equivalencia
Cx = {y ∈ X|y ∼ x} y es el mayor subespacio arcoconexo que contiene a x. El
conjunto de las arcocomponentes X/ ∼ se denota usualmente por π0(X).
Ejercicio 57 Fijado x0 ∈ X, probar que si todo punto de X puede juntarse
con x0, entonces X es arcoconexo.
6.12 Lema Todo espacio arcoconexo es conexo.
Dem. Sea X arcoconexo y x0 ∈ X, entonces para todo x ∈ X existe un camino
γx : I −→ X t.q. γx(0) = x0 y γx(1) = x. Como I conexo y γx continua se
sigue que γx(I) conexo y es claro que x0 ∈ γx(I) para todo x ∈ X, luego
x∈X γx(I) = ∅. El lema se sigue por (6.4) ya que X =
x∈X γx(I).
El recíproco no es cierto
Ejemplo Si C = Γf siendo f : (0, 1] −→ R t.q. f(x) = sin 1/x, entonces
C = C ∪ {(0, y)| − 1 ≤ y ≤ 1} es conexo. Sin embargo C no es arcoconexo ya
que no existe ningún camino juntando el origen 0 con p ≡ (1/π, 0).
Un subespacio A ⊂ X es arcoconexo si todo par de puntos en A pueden
juntarse por un camino γ totalmente contenido en A (es decir, γ(I) ⊂ A).
Diremos que un e.t. X es localmente arcoconexo si cada punto tiene una
base de entornos arcoconexos.
6.13 Lema Un e.t. es localmente arcoconexo si y sólo si sus arcocomponentes
son abiertas (y por tanto también cerradas).
Dem. Suponer X localmente arcoconexo y sea Cx la arcocomponente de x,
si U es un abierto arcoconexo t.q. x ∈ U entonces es claro que x ∈ U ⊂ Cx
ya que Cx maximal, luego Cx abierto. Como el conjunto de arcocomponentes
{Cx} definen una partición de X, toda arcocomponente es el complementario
de una unión de arcocomponentes, por tanto el complementario de un abierto,
luego toda arcocomponente es también cerrada. El recíproco es obvio.
6.14 Teorema Un e.t. es arcoconexo ⇐⇒ es conexo y localmente arcoconexo.
Dem. Si X es arcoconexo entonces es conexo por (6.12) y el propio X sirve
como entorno arcoconexo de todo x ∈ X, luego X es también localmente
arcoconexo. Recíprocamente, sea X conexo y localmente arcoconexo entonces
la arcocomponente Cx de x es abierta, cerrada y no vacía, como X conexo se
sigue que Cx = X y por tanto X arcoconexo.
En particular todo abierto y conexo en R n ó en S n es arcoconexo.
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