TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

Un homomorfismo biyectivo se dice isomorfismo. Si G = H, hablaremos de
endomorfismo y automorfismo respectivamente.
Ejercicio 68 Dado un homomorfismo f : G −→ H, llamaremos núcleo de f
al conjunto Ker(f) = {x ∈ G|f(x) = eH}. Probar que Ker(f) ✂ G.
Grupos topológicos
Un conjunto G se dice grupo topológico si existe una operación binaria m
t.q. (G, m) es un grupo, está dotado de una topología τ que hace de (G, τ)
un T1-espacio y ambas estructuras son compatibles, en el sentido de que la
multiplicación m : G × G −→ G dada por m(x, y) = xy, y la inversión
η : G −→ G dada por η(x) = x −1 son aplicaciones continuas.
Ejemplos (1) (F, +) y (F ∗ , ·). (2) S 1 = {z ∈ C|z¯z = 1} con la multiplicación
compleja. (3) Todo grupo con la topología discreta.
Si U, V ⊂ G, denotamos UV = m(U, V ) = {xy|x ∈ U, y ∈ V } y U −1 =
η(U) = {x −1 |x ∈ U}. En términos de entornos, la continuidad de m y η la
expresaremos como sigue: para todo x, y ∈ G y entorno W de xy en G, existen
entornos U de x y V de y t.q. UV ⊂ W y para todo U entorno de x −1 , U −1
es un entorno de x. Notar que η es una involución (η 2 = 1 ó bien η −1 = η) y
por tanto es un homeomorfismo.
Ejercicio 69 Sea G un grupo y un T1-espacio, probar que G es un g.t. si y
sólo si la aplicación φ : G × G −→ G dada por φ(x, y) = xy −1 es continua.
Sea G un g.t. y x ∈ G, la aplicación Lx : G −→ G, dada por Lx(y) = xy,
se dirá traslación a izquierda (análogamente Rx : G −→ G, dada por
Rx(y) = yx, se dirá traslación a derecha). Notar que las traslaciones Lx, Rx
son homeomorfismos de G en sí mismo: Lx = m(x, −) continua y las relaciones
LxLy = Lxy y Le = 1 implican (Lx) −1 = L x −1 (análogamente para Rx).
En particular, todo g.t. G es un espacio homogéneo: en efecto, dados x, y ∈ G
entonces y = Lz(x), donde z = yx −1 . Por lo tanto las propiedades locales del
elemento neutro determinan las de los demás: U es un entorno de x ∈ G si y
sólo si U = Lx(V ) = xV , para algún V entorno de e ∈ G.
Un subespacio V ⊂ G se dice simétrico si V = V −1 . Denotaremos por
E(e) = {Ui}i∈J el sistema completo de los entornos abiertos de e.
7.1 Lema Para todo U ∈ E(e), existe V ∈ E(e) simétrico t.q. V 2 ⊂ U.
Dem. Como m continua y m(e, e) = e, dado U ∈ E(e) existirán U1, U2 ∈ E(e)
t.q. U1U2 ⊂ U. Definimos W = U1 ∩ U2 y V = W ∩ W −1 , entonces es claro
que V ∈ E(e) es simétrico y que V 2 ⊂ U1U2 ⊂ U.
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