TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

8 GRUPOS LINEALES
Dados A = (aij) ∈ M(n, C) y r > 0, consideramos los conjuntos
Ur(A) = {B = (bij) ∈ M(n, C)|aij − bij < r, ∀i, j}
entonces {Ur(A)|A ∈ M(n, C), r > 0} es una base para una topología sobre
M(n, C) t.q. la biyección h : M(n, C) −→ Cn2 dada por
h(A) = (a11, ..., a1n, a21, ..., a2n, ..., an1, ..., ann)
es un homeomorfismo. Consideramos GL(n, C) con la topología inducida y
sean πij : M(n, C) −→ C t.q. πij(A) = aij la composición de h con las
proyecciones canónicas pij : Cn2 −→ C, con 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces
m : GL(n, C) × GL(n, C) −→ GL(n, C)
dada por m(A, B) = AB = ( aikbkj), será continua si y sólo si πijm es
continua para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Pero πijm(A, B) = aikbkj es una función
polinomial y por tanto continua. Análogamente, sea
η : GL(n, C) −→ GL(n, C)
t.q. η(A) = A −1 la inversión, notar que πijη(A) = Aij/det(A) es también una
función polinomial, luego πijη y por tanto η es continua. En consecuencia,
GL(n, C) es un grupo topológico.
Ejercicio 80 Probar que GL(n, C) no es compacto.
Subgrupos relevantes de GL(n, C) son los Grupos Especiales Lineales
SL(n, C) = {A ∈ GL(n, C)|det(A) = 1} y SL(n, R) = SL(n, C) ∩ GL(n, R)
Como det : GL(n, F) −→ F es una aplicación continua y F = C, R es un
espacio Hausdorff se sigue que SL(n, F) = det −1 (1) es cerrado en GL(n, F).
Ejercicio 81 Probar que SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F) y que
GL(n, F)/SL(n, F) ≈ F ∗ , donde F ∗ = F − {0}.
Una matriz regular A ∈ GL(n, F) no es otra cosa que una transformación ó
isomorfismo lineal A : F n −→ F n t.q. A(x) = Ax, donde x ≡ (x1, ..., xn) ∈ F n
podemos mirarlo como una matriz columna. Por otra parte, F n es un espacio
con un producto escalar dado por < x, y >= ¯x t y, donde ¯x denota la matriz
conjugada de x ∈ F n , entonces F n es un espacio normado con x 2 = ¯x t x.
Una matriz A ∈ GL(n, R) se dirá ortogonal si Ax = x. Es claro que A
es ortogonal si y sólo si A t A = I ó bien A t = A −1 . Sea O(n) el conjunto de
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