TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

R n es localmente arcoconexo, espacios euclídeos son localmente arcoconexos.
En particular, GL(n, C) y todos sus subgrupos definidos aquí son localmente
euclídeos, luego son arcoconexos sí y sólo si son conexos y en todo caso, sus
arcocomponentes coinciden con sus componentes conexas.
8.10 Corolario GL(n, R) tiene dos arcocomponentes.
Dem. Notar que T+(n) ≈ R n(n+1)/2 , en particular T+(n) es contráctil, es decir
T+(n) {I}, por tanto GL(n, R) ≈ O(n) × T+(n) O(n) × {I} ≈ O(n), pero
el número de arcocomponentes es un invariante del tipo de homotopía.
Análogamente en el caso complejo se tiene GL(n, C) ≈ U(n) × T+(n, C) y
como T+(n, C) es contráctil, se sigue que GL(n, C) U(n). Pero U(n) es
arcoconexo y por lo tanto también GL(n, C) será arcoconexo.
CUATERNIONES
Sea {1, i, j, k} una base estándar de R 4 , definimos un producto bilineal sobre
R 4 , con 1 como elemento neutro, definido por la siguientes reglas:
(1) i 2 = j 2 = k 2 = −1
(2) ij = k = −ji, jk = i = −kj y ki = j = −ik
Claramente este producto es asociativo y no conmutativo. El espacio vectorial
R 4 con este producto bilineal es un álgebra real llamada álgebra de cuaterniones,
usualmente denotada por H en honor de su descubridor W. Hamilton.
Un cuaternión q ∈ H tiene una expresión única de la forma q = a+bi+cj +dk
y como en el caso de los complejos, consta de parte real Re(q) = a y parte
imaginaria pura P u(q) = bi + cj + dk. Diremos que q es puro si P u(q) = q.
8.11 Lema Un cuaternión es real si y sólo si conmuta con todo elemento de
H, es decir Z(H) = R.
Dem. Sea q = a + bi + cj + dk ∈ Z(H), entonces
0 = iq − qi = −b + ai − dj + ck + b − ai − dj + ck = −2dj + 2ck
y como {1, i, j, k} es base se sigue que c = d = 0. Por tanto q = a + bi, pero
qj = jq implica 0 = jq − qj = aj − bk − aj − bk = −2bk luego b = 0 y
concluimos que q = a ∈ R. El recíproco es obvio.
8.12 Lema Un cuaternión es puro si y sólo si su cuadrado es real y negativo.
Dem. Sea q = a + bi + cj + dk ∈ H, haciendo cuentas se tiene
q 2 = a 2 − b 2 − c 2 − d 2 + 2a(bi + cj + dk)
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