TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

si y sólo si lo son ambos factores.
Ejercicio 05 Sea RS la recta de Sorgenfrey. ¿Cual es la topología producto
en RS × RS? ¿Cual es la topología inducida en A = {(x, y) ∈ R 2 |x + y = 1}?
Ejercicio 06 En R 2 , con la topología usual, se consideran los subespacios
A = {(x, y) ∈ R 2 |xy = 0} y B = {(x, y) ∈ R 2 |xy = 1}. Estudiar si A es
abierto en R 2 y en M = A ∪ B. Estudiar si U = {(x, 0) ∈ R 2 |x ∈ R} es
entorno del origen en R 2 y en M.
Ejercicio 07 En R 2 , con la topología usual, se consideran los subespacios
C = {(x, y) ∈ R 2 |x 2 + y 2 = 1} y D = {(x, y) ∈ R 2 |x = y} y sea N = C ∪ D.
Estudiar si C es entorno de ( √ 2, √ 2) y de (0, 1) en N.
Sea X un conjunto, {(Xi, τi)}i∈J una familia de e.t. y {fi : X −→ Xi}i∈J una
familia de aplicaciones. Definimos la topología débil sobre X inducida por
la familia {fi}i∈J como la menor topología que hace continuas las fi.
El conjunto S =
i∈J Si con Si = {f −1
i (Ui)|Ui ∈ τi} es una subbase para dicha
topología.
2.2 Teorema Sea X con la topología débil inducida por {fi}i∈J, entonces una
aplicación h : Y −→ X es continua si y sólo si fih es continua para todo i ∈ J.
Dem. Si h es continua, entonces fih es continua para todo i ∈ J, ya que las
fi son continuas. Recíprocamente, sea U abierto en X, entonces U es unión
arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma f −1
i (Ui), por tanto
h −1 (U) será unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma
h −1 f −1
i (Ui) = (fih) −1 (Ui), abiertos en Y si las fih son continuas para todo
i ∈ J, luego h −1 (U) abierto y por tanto h continua.
Sea ahora X = Xi, un punto del producto es una |J|-tupla (xi) y denotamos
por pk : Xi −→ Xk t.q. pk((xi)) = xk la proyección canónica sobre el k-simo
factor, entonces definimos la topología producto τp sobre Xi como la
topología débil inducida por las proyecciones {pi}i∈J.
Si U ∈ τk notar que p −1
k (U) = Ui, donde Uk = U y Ui = Xi para todo i = k.
Una subbase de τp viene dada por
Sp = {p −1
i (U)|U ∈ τi, i ∈ J} =
i∈J
{p −1
i (U)|U ∈ τi}
y, si F recorre los subconjuntos finitos de J, una base para τp viene dada por
Bp = { Uj|Uj ∈ τj, Uj = Xj, ∀j ∈ J − F }
Dada una familia de aplicaciones {fi : X −→ Xi}i∈J, existe una aplicación
f : X −→ Xi definida por f(x) = (fi(x)), única t.q. pif = fi. Entonces
4