TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

que q lo es. Recíprocamente, notar que si f = ˆ fq es sobre, también lo es ˆ f,
por tanto ˆ f es una biyección continua. Como τ(f) = τ( ˆ fq) = τ( ˆ f), si f es
identificación también lo es ˆ f y el teorema se sigue por (3.2).
Coproductos
Dados dos espacios X1, X2 definimos la el coproducto ó suma topológica
X1 X2 como la unión disjunta de X1 y X2. Definimos una topología sobre
X1 X2 como sigue: U ⊂ X1 X2 es abierto si y sólo si U ∩ X1 y U ∩ X2 son
abiertos en X1 y X2 respectivamente. Es claro que esta topología es la mayor
t.q. las inclusiones i1 : X1 −→ X1 X2 y i2 : X2 −→ X1 X2 son continuas
(U), para k = 1, 2).
(en efecto, notar que U ∩ Xk = i −1
k
Dadas fk : Xk −→ Z (k = 1, 2) existe una aplicación f : X1 X2 −→ Z única
t.q. fi1 = f1 y fi2 = f2 (propiedad universal del coproducto)
3.7 Teorema f es continua si y sólo si f1 y f2 son continuas.
Dem. Sean f1 y f2 continuas y U abierto en Z, notar que f −1 (U) es abierto
en X1 X2 sí y sólo sí f −1 (U) ∩ Xk es abierto en Xk para k = 1, 2, pero
f −1 (U) ∩ Xk = i −1
k (f −1 (U)) = (fik) −1 (U) = f −1
k (U)
el cual es abierto en Xk por ser fk continua. El recíproco es obvio.
Sean A, B ⊂ X con la topología inducida, las inclusiones jA y jB de A y B
en A ∪ B respectivamente, son continuas e inducen por tanto una aplicación
continua y sobre j : A B −→ A ∪ B. Si f : A −→ Y y g : B −→ Y son
dos aplicaciones t.q. f(x) = g(x) para todo x ∈ A ∩ B, definimos la aplicación
”pegamiento” de f y g como la aplicación f ∪ g : A ∪ B −→ Y dada por
(f ∪ g)(x) = f(x) si x ∈ A y (f ∪ g)(x) = g(x) si x ∈ B.
3.8 Lema Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas, si A y B son cerrados
(ó abiertos) en A ∪ B entonces f ∪ g : A ∪ B −→ Y es también continua.
Dem. Por (3.7) la composición (f ∪ g)j : A B −→ Y es continua si lo
son f y g. Si A y B son cerrados en A ∪ B se sigue que j aplica cerrados
en cerrados luego es cerrada. Por (3.2) se sigue que j es una identificación,
entonces (f ∪ g)j continua y (3.4) implican que f ∪ g es continua.
Sea A un subespacio cerrado de X y f : A −→ Y una aplicación continua,
definimos una relación de equivalencia R sobre X Y como sigue: a ∼ f(a)
para todo a ∈ A. El espacio cociente X Y/R se llama adjunción ó pegado
de X e Y a través de f y lo denotaremos X ∪f Y . Si A cerrado en X y
f : A −→ Y continua t.q. Y = {∗} entonces X ∪f {∗} se denota usualmente
por X/A. Este último espacio denota también el espacio cociente X/R, donde
R es la siguiente relación de equivalencia: xRy sí y sólo si x = y ó x, y ∈ A.
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