Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

Sección 3.7 Métodos numéricos de orden superior: Taylor y Runge-Kutta 133
de la parte (a) que surgen después de n pasos es
O(h). Éste es el error global, que es igual a la
razón de convergencia del método de Euler.
19. Modelo logístico. En la sección 3.2 analizamos la
ecuación logística
y su uso para modelar el crecimiento de poblaciones.
Un modelo más general implica la ecuación
(13)
donde r � 1. Para ver el efecto de modificación del
parámetro r en (13), haga p 1 � 3, A � 1 y p 0 � 1.
Luego utilice la subrutina del método de Euler mejorado
con h � 0.25 para aproximar la solución de (13)
en el intervalo 0 � t � 5 para r � 1.5, 2 y 3. ¿Cuál es
la población límite en cada caso? Para r � 1, determine
una fórmula general para la población límite.
20. Cuerpo en caída. En el ejemplo 1 de la sección
3.4 modelamos la velocidad de un cuerpo que cae
mediante el problema con valor inicial
bajo la hipótesis de que la fuerza debida a la resistencia
del aire es �by. Sin embargo, hay ocasiones
en que la fuerza debida a la resistencia del aire se
comporta más como �by r , donde r (�1) es una
constante. Esto conduce al modelo
(14)
Para ver el efecto de modificación del parámetro r en
(14), haga m � 1, g � 9.81, b � 2 y y 0 � 0. Luego
utilice la subrutina del método de Euler mejorado
con h � 0.2 para aproximar la solución de (14) en el
intervalo 0 � t � 5 para r � 1.0, 1.5 y 2.0. ¿Cuál es
la relación entre estas soluciones y la solución constante
y(t) � (9.81�2) 1�r ?
21. Temperatura de un edificio. En la sección 3.3 modelamos
la temperatura dentro de un edificio mediante
el problema con valor inicial
(15)
donde M es la temperatura fuera del edificio, T es la
temperatura dentro del edificio, H es la razón de calentamiento
adicional, U es la razón de calentamiento
(mediante un calefactor) o de enfriamiento (mediante
un aire acondicionado), K es una constante positiva y
T 0 es la temperatura inicial en el instante t 0. En un modelo
típico, t 0 � 0 (media noche), T 0 � 65°F, H(t) �
0.1, U(t) � 1.5[70 � T(t)] y
M(t) � 75 � 20 cos(� t�12) .
Por lo general, la constante K está entre 1�4 y 1�2,
según factores como el aislamiento. Para estudiar el
efecto del aislamiento sobre este edificio, considere
el edificio típico descrito anteriormente y use la subrutina
del método de Euler mejorado con h � 2�3
para aproximar la solución de (15) en el intervalo
0 � t � 24 (un día) para K � 0.2, 0.4 y 0.6.
3.7 MÉTODOS NUMÉRICOS DE ORDEN SUPERIOR:
TAYLOR Y RUNGE-KUTTA
En las secciones 1.4 y 3.6 analizamos un procedimiento numérico sencillo, el método de Euler,
para obtener una aproximación numérica de la solución �(x) del problema con valor inicial
(1) y��f(x, y) , y(x 0) � y 0 .
El método de Euler es fácil de implantar, pues sólo implica aproximaciones lineales a la solución
�(x). Pero padece de una convergencia lenta, al ser un método de orden 1; es decir, el
error es O(h). Aun el método de Euler mejorado, analizado en la sección 3.6, sólo tiene orden
2. En esta sección presentaremos algunos métodos numéricos con razones de convergencia
más rápidas: los métodos de Taylor, que son extensiones naturales del procedimiento de Euler,