Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

Sección 8.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales mediante series de potencias 447
y
De aquí surgen dos soluciones linealmente independientes, a saber,
(20)
(21)
Por lo tanto, una solución general de (14) es a 0y 1(x) � a 1y 2(x). La figura 8.4 muestra
algunas aproximaciones a las soluciones y 1(x), y 2(x). ■
sumas parciales
para y 1 (x)
sumas parciales
para y 2 (x)
grado 20
grado 4
grado 8
grado 21
grado 9
grado 5
(haga
(haga
Figura 8.4 Aproximaciones mediante sumas parciales a las soluciones del ejemplo 3
El método ilustrado en el ejemplo 3 se puede usar también para resolver problemas con
valores iniciales. Suponga que tenemos dados los valores de y(0) y y�(0); entonces, de la
ecuación (15), vemos que a 0 � y(0) y a 1 � y�(0). Al conocer estos dos coeficientes obtenemos
una única solución en serie de potencias para el problema con valores iniciales.
La relación de recurrencia (18) en el ejemplo 3 sólo implicaba a dos de los coeficientes,
a k�2 y a k, y podemos deducir de esta relación la forma general del coeficiente a n. Sin embargo,
en muchos casos se obtienen relaciones de recurrencia más complicadas, con dos o más
términos. Cuando esto ocurre, es imposible determinar la forma general de los coeficientes
a n. En el siguiente ejemplo consideramos una ecuación que da lugar a una relación de recurrencia
de tres términos.