Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

EJEMPLO 6
Existencia de la transformada
Sección 7.2 Definición de la transformada de Laplace 355
Hay funciones para las que la integral impropia de (1) no converge para cualquier valor de x.
Por ejemplo, la función f(t) � 1�t, que crece demasiado rápido cerca de cero. De manera similar,
no existe una transformada de Laplace para la función f(t) � et2, que crece demasiado
rápido cuando t → q. Por fortuna, el conjunto de funciones para las que está definida incluye
muchas de las funciones que surgen en las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales.
Ahora analizaremos algunas propiedades que nos garantizarán (en conjunto) la existencia
de la transformada de Laplace.
Una función f (t) en [a, b] tiene una discontinuidad de salto en t0 � (a, b) si f(t) es
discontinua en t0, pero los límites laterales
existen como números finitos. Si la discontinuidad ocurre en un extremo t 0 � a (o b), hay
una discontinuidad de salto si el límite lateral de f (t) cuando t → a � (t → b � ) existe como
número finito. Ahora podemos definir la continuidad por partes.
CONTINUIDAD POR PARTES
Definición 2. Una función f (t) es continua por partes en un intervalo finito
[a, b] si f (t) es continua en cada punto de [a, b] excepto en un número finito de
puntos donde f (t) tiene una discontinuidad de salto.
Una función f(t) es continua por partes en [0, q) si f(t) es continua por partes
en [0, N] para toda N � 0.
Mostrar que
cuya gráfica aparece en la figura 7.4, es continua por partes en [0, 3].
Figura 7.4 Gráfica de f (t) en el ejemplo 6