Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

itulo 4 6/5/08 11:50 Página 155
SOLUCIÓN
EJEMPLO 3
SOLUCIÓN
Las derivadas de y son
��7e�3t cos 4t � 24e�3t y– AtB � 9e
sen 4t ,
�3t cos 4t � 12e �3t sen 4t � 12e �3t sen 4t � 16e �3t y¿ AtB ��3e
cos 4t
�3t cos 4t � 4e�3t sen 4t ,
y al sustituir en (3) se tiene
Sección 4.1 Introducción: El oscilador masa-resorte 155
� 25e
� 0 . ■
�3t ��7e
cos 4t
�3t cos 4t � 24e�3t sen 4t � 6A�3e�3t cos 4t � 4e�3t my– � by¿ � ky � A1By– � 6y¿ � 25y
sen tB
Verificar que la función exponencial sencilla yAtB � e es una solución de la ecuación (3)
si Fexterna � 0, m � 1, k � 25 y b � 10.
�5t
Las derivadas de y son y¿ AtB ��5e ; al sustituir en (3) se tiene
�5t , y– AtB � 25e�5t my– � by¿ � ky � A1By– � 10y¿ � 25y � 25e ■
�5t � 10A�5e�5tB � 25e�5t � 0 .
Si un sistema masa-resorte es controlado por una fuerza externa sinusoidal con frecuencia
angular �, nuestra experiencia indica que aunque la respuesta inicial del sistema fuese
un tanto errática, con el tiempo se “sincronizará” con el controlador y oscilará con la misma
frecuencia, como muestra la figura 4.4.
F ext
t
(a) (b)
Figura 4.4 (a) Fuerza de control y (b) respuesta
Los ejemplos comunes de sistemas que vibran sincronizados con sus controladores son
las bocinas de sistemas de sonido, ciclistas que utilizan su bicicleta sobre vías de ferrocarril,
circuitos electrónicos amplificadores y las mareas del océano (controladas por la influencia
gravitacional de la Luna). Sin embargo, la historia tiene más de lo que se ha revelado hasta
ahora. Los sistemas pueden ser muy sensibles a la frecuencia particular � con la que se les
controla. Así, las notas musicales afinadas con precisión pueden hacer vibrar un cristal fino,
las vibraciones inducidas por el viento con la frecuencia correcta (o incorrecta, según se
vea) pueden derribar un puente y una llave de agua goteando puede causar dolores de cabeza
fuera de lo común. Estas respuestas “resonantes” (para las que las soluciones tienen
amplitudes máximas) pueden ser algo destructivas, y los ingenieros en estructuras deben tener
mucho cuidado para garantizar que sus productos no resonarán con alguna de las vibraciones
que podrían ocurrir en el ambiente de operación. Por otro lado, los ingenieros de
radio realmente quieren que sus receptores resuenen en forma selectiva con el canal de transmisión
deseado.
y