Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

itulo 5 6/5/08 16:19 Página 288
288 Capítulo 5 Introducción a los sistemas y el análisis del plano fase
Para obtener las condiciones iniciales para la ecuación de segundo orden (20), recordemos
que en el instante t � 0, la carga en el condensador es de 2 coulombs y la corriente se
anula. Por tanto,
(21)
q3A0B � 2 , dq3 A0B � 0 .
dt
Ahora podemos resolver el problema con valores iniciales (20) – (21) mediante las técnicas
del capítulo 4. En última instancia tenemos
q 3 AtB � 2e �4t cos 12t � 2
3 e�4t sen 12t ,
I3AtB � dq3 80
AtB ��
dt 3 e�4t sen 12t .
Ahora, para determinar I 2, sustituimos estas expresiones en (19) y obtenemos
I 2 AtB � 1
4 � dq 3
dt AtB � 8q 3 AtB
� 1
4 � 16e�4t cos 12t � 64
3 e�4t sen 12t .
Por último, de I1 � I2 � I3 obtenemos
I 1 AtB � 1
4 � 16e�4t cos 12t � 16
3 e�4t sen 12t .
Observe que las ecuaciones diferenciales que describen las vibraciones mecánicas y los
circuitos RLC en serie son esencialmente iguales. De hecho, hay una identificación natural
de los parámetros m, b y k para un sistema masa-resorte con los parámetros L, R y C que
describen los circuitos; esto se ilustra en la tabla 5.3. Además, los términos transitorio, estado
estacionario, sobreamortiguado, críticamente amortiguado, subamortiguado y frecuencia
de resonancia que se describieron en las secciones 4.8 y 4.9 también se aplican a
los circuitos eléctricos.
TABLA 5.3 ANALOGÍA ENTRE LOS SISTEMAS
MECÁNICOS Y ELÉCTRICOS
Sistema mecánico masa-resorte Circuito eléctrico RLC
con amortiguamiento en serie
Desplazamiento x Carga q
Velocidad Corriente
Masa m Inductancia L
Constante de amortiguamiento
Constante de resorte
b
k
Resistencia
(Capacitancia)
R
�1
mx– � bx¿ � kx � f AtB
Lq– � Rq¿ � A1/CBq � EAtB
x¿
q¿ � I
Fuerza externa f AtB Fuente de voltaje
1/C
EAtB
■