Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

726 Capítulo 11 Problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville
Si f(0) � 0, demuestre que f(x) � cx para cierta
constante c.
4. ¿Podría la función f(x) � x 4 sen(1�x) ser solución
en (�1, 1) de cierta ecuación diferencial de la forma
(1), donde p, p� y q son continuas en [�1, 1] y p es
positiva en [�1, 1]? Justifique su respuesta.
5. Use el teorema fundamental de Sturm para demostrar
que cualquier solución no trivial de y ��(1 �
e x )y � 0 tiene a lo más un cero en (0, q) pero una
infinidad de ceros en (�q, 0).
6. Use el teorema fundamental de Sturm para demostrar
que cualquier solución no trivial de y ��(x 2 �
1)y � 0 tiene a lo más un cero en (�1, 1) pero una
infinidad de ceros en (�q, �1) y en (1, q).
7. El polinomio de Legendre P n(x) de grado n satisface
la ecuación
y tiene n ceros distintos en (�1, 1). Use el teorema
de comparación de Picone para mostrar que entre
cualesquiera dos ceros de P m�1(x) hay un cero de
P m(x) para m � 2.
8. Sea f(x) una solución no trivial de
en (0, q). Use el teorema fundamental de Sturm para
estimar la distancia entre los ceros consecutivos
de f(x) cuando x es grande.
9. Sea f(x) una solución no trivial de
en (0, q). Use el teorema de comparación de Picone
para estimar la distancia entre los ceros consecutivos
de f(x) cuando x es grande. [Sugerencia: Exprese
primero la ecuación en la forma de Sturm-Liouville.]
10. Use el corolario 5 para estimar la distancia entre ceros
consecutivos en [0, 5] de una solución no trivial de
RESUMEN DEL CAPÍTULO
11. Use el corolario 5 para estimar la distancia entre ceros
consecutivos en [0, 5] de una solución no trivial
de
12. En la ecuación (10), suponga que q(x) � m 2 en
[a, b]. Demuestre que la distancia entre dos ceros
consecutivos de una solución f de (10) es menor o
igual a ��m. [Sugerencia: Si x 1 es un cero de f,
compare f con la función �(x) � sen(m(x � x 1)),
que es una solución de y ��m 2 y � 0.]
13. Muestre que la sustitución y � ux �1�2 transforma la
ecuación (11) en la ecuación (12).
14. Muestre que si q(x) � m 2 � 0 en [a, q), entonces
toda solución de y ��q(x)y � 0 es oscilatoria.
15. Suponga que 0 � q m � q(x) � q M en [a, b]. Demuestre
lo siguiente:
(a) Si q m � k 2 � 2 �(b � a) 2 , donde k es un entero positivo,
entonces cualquier solución de la ecuación
(10) tiene al menos k ceros en [a, b].
(b) Si q M � k 2 � 2 �(b � a) 2 , entonces cualquier solución
no trivial de la ecuación (10) tiene a lo
más k ceros en [a, b].
16. Teorema de convexidad de Sturm. Demuestre que
si q(x) es una función continua y creciente en [0, q)
y f(x) es una solución no trivial de
entonces t k � t k�1 � t k�1 � t k, donde 5t n6 q n�1 es la
sucesión de ceros consecutivos en (0, q) de la solución
f(x).
17. Muestre que si w(x) y q(x) son continuas en [a, b] y
q(x) � 0 en [a, b], entonces una solución no trivial
f de la ecuación
puede tener a lo más un cero en [a, b].
En este capítulo analizamos la teoría de problemas regulares de Sturm-Liouville con valores
en la frontera, la alternativa de Fredholm y los problemas no homogéneos con valores en la