Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

720 Capítulo 11 Problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville
SOLUCIONES OSCILATORIAS
Corolario 3. Sea [a, q) el intervalo del teorema 15. Si una solución (no trivial)
de (1) es oscilatoria, entonces todas las soluciones de (1) son oscilatorias.
Demostración. Sea f una solución no trivial de (1), con una infinidad de ceros en
[a, q). Por el teorema de separación de Sturm, cualquier otra solución debe tener un cero
entre cada pareja sucesiva de ceros de f y por tanto debe tener también una infinidad de ceros
en [a, q). ■
Al aplicar el teorema 15 a la ecuación de Hermite en la forma de Sturm-Liouville
donde n es un entero no negativo, vemos que como una solución es el polinomio de Hermite
H n(x) de grado n y sabemos que éste tiene n ceros reales, entonces las otras soluciones deben
tener sólo un cero entre los ceros consecutivos de H n(x), para un mínimo de n � 1 ceros.
Además, cualquier otra solución (no trivial) no puede tener más de n � 1 ceros, pues de lo
contrario, H n(x) tendría más ceros de lo permitido por su grado.
Hasta ahora hemos comparado los ceros de dos soluciones de la misma ecuación. También
es posible tener una relación entre los ceros de soluciones de dos ecuaciones distintas.
Por ejemplo, para las ecuaciones
y��m 2 y � 0 y y��n 2 y � 0,
vemos que la primera tiene una solución general de la forma f 1(x) � A 1 sen(m(x � u 1)) y la
segunda, f 2(x) � A 2 sen(n(x � u 2)). La distancia entre los ceros consecutivos de la primera
es ��m y para la segunda es ��n. Por lo tanto, cuando m � n, la distancia entre los ceros de
f 1 es mayor que la distancia entre los ceros de f 2. En otras palabras, para n 2 � m 2 , entre dos
ceros cualesquiera de f 1(x) existe un cero de f 2(x). Un resultado similar es válido cuando
las constantes m 2 y n 2 se reemplazan por funciones de x. El siguiente resultado es una versión
del teorema fundamental de Sturm.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE STURM
Teorema 16. Sea f 1 una solución no trivial de
y f 2 una solución no trivial de
Suponga que q 2(x) ≥ q 1(x) para x en (a, b). Si x 1 y x 2 son dos ceros consecutivos de
f 1(x) en (a, b), entonces existe un cero de f 2 entre x 1 y x 2 a menos que q 2(x) � q 1(x)
en [x 1, x 2] y f 1 y f 2 sean linealmente dependientes en [x 1, x 2].