Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

se puede escribir en la forma de Sturm-Liouville
(b) Se puede mostrar que la ecuación de Laguerre
(36) con las condiciones en la frontera
y(x), y�(x) permanecen acotadas cuando x → 0 � ,
x 1�2 e �x�2 y(x) y x 1�2 e �x�2 y�(x) → 0 cuando x → q
tiene valores propios � n � n, n � 0, 1, 2, . . . .
Las funciones propias correspondientes son los
polinomios de Laguerre L n(x). Los cuatro primeros
son
Sección 11.8 Oscilación y teoría de comparación 717
11.8 OSCILACIÓN Y TEORÍA DE COMPARACIÓN
En el capítulo 4 desarrollamos un modelo para un sistema sencillo masa-resorte que implicaba
una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Encontramos que cuando la constante
de amortiguamiento es suficientemente pequeña, la masa vibra de un lado a otro, u oscila.
Más precisamente, la solución era un producto de un factor de amortiguamiento Ae �(b�2m)t y
una función seno sen(�t � u) (véase la ecuación (17) de la sección 4.11).
Por lo general, las funciones que oscilan no se pueden expresar de esta manera. En realidad,
el concepto de oscilación es difícil de capturar en forma matemática. Es claro que las
funciones periódicas (no constantes) oscilan, pero muchos otros tipos de funciones también
exhiben lo que llamaríamos comportamiento oscilatorio. Para nuestros fines, identificaremos
el comportamiento oscilatorio de y � f(x) con el contacto repetido con el eje x. Así, si la gráfica
de una función corta al eje x con más frecuencia, entonces oscilará más. Si una función
tiene un número infinito de ceros en un intervalo [a, q), decimos que la función es oscilatoria.
Por lo tanto, el estudio del comportamiento oscilatorio de una función significa que estamos
investigando el número y posición de sus ceros.
En esta sección estudiaremos los ceros de las soluciones de la ecuación de Sturm-Liouville
donde p, p� y q son continuas en [a, b] y p es positiva en [a, b]. † Lo primero que nos preguntamos
es: ¿puede una solución tener una infinidad de ceros en (a, b)? El siguiente teorema
muestra que sólo la solución trivial puede tener una infinidad de ceros.
NÚMERO FINITO DE CEROS
Teorema 13. Sea f una solución de (1) en (a, b). Si f tiene una infinidad de ceros en
cualquier intervalo cerrado y acotado [a�,b�] � (a, b), entonces f(x) � 0 en (a, b).
† Para un intervalo no acotado, como (0, q), suponemos que las condiciones sobre p y q se cumplen en el intervalo
abierto (0, q).
Muestre que
(c) Encuentre un desarrollo formal en términos de
funciones propias para la solución de la ecuación
no homogénea
que satisface las condiciones en la frontera de la
parte (b), donde � no es un valor propio del problema
homogéneo correspondiente, f es continua
en [0, q) y satisface