Ecuaciones diferenciales y problemas con valores +libro

362 Capítulo 7 Transformadas de Laplace
EJEMPLO 2
SOLUCIÓN
EJEMPLO 3
SOLUCIÓN
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS EN ORDEN SUPERIOR
Teorema 5. Sean f(t), f �(t), …, f (n�1) (t) continuas en [0, q) y sea f (n) (t)
continua por partes en [0, q), con todas estas funciones de orden exponencial �.
Entonces, para s ��,
Los últimos dos teoremas arrojan cierta luz acerca del porqué la transformada de Laplace
es una herramienta tan útil para resolver problemas con valores iniciales. A grandes rasgos,
nos dicen que al usar la transformada de Laplace podemos reemplazar la “derivación
con respecto de t” con la “multiplicación por s”, convirtiendo con ello una ecuación diferencial
en una ecuación algebraica. Esta idea se explora en la sección 7.5. Por ahora, mostraremos
la forma en que el teorema 4 puede ser útil para calcular una transformada de Laplace.
Usar el teorema 4 y el hecho de que
para determinar l{cos bt} .
Sea f(t) � sen bt. Entonces f(0) � 0 y f �(t) � b cos bt. Al sustituir esto en la ecuación (2),
tenemos
Al dividir entre b tenemos
■
Demostrar la siguiente identidad para funciones continuas f(t) (suponiendo que la transformada
existe):
Usar esta identidad para verificar la solución del ejemplo 2.
Definimos la función g(t) mediante la integral
Observe que g(0) � 0 y g�(t) � f(t). Así, si aplicamos el teorema 4 a g(t) [en vez de f(t)],