31 CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS ...

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DMG = ⎡ ⎢ lim ⎢ ⎢ ⎣ m→∝ m' →∝ m,m' ∏ i= 1 i' = 1 D ii' ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 mm' 50 (2.41) - Distancia Media Geométrica propia de una superficie: Es el límite de la DMG entre todos los pares de elementos en que se ha dividido la superficie considerada, cuando el número de ellos tiende a infinito. Se demuestra que para una superficie circular de radio “r”, su distancia media geométrica resulta igual a r e - 1/4 . Este valor coincide con la definición de RMG para un conductor cilíndrico de material homogéneo no magnético. Habitualmente, en el caso de conductores compuestos de varios hilos, la distancia media geométrica propia, se denomina Radio Medio Geométrico del conductor. 2.4.5: Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y DMG: En general los conductores de las líneas de transmisión no son macizos sino cableados, formados por varias hebras trenzadas y en consecuencia no tienen la misma inductancia que uno macizo del mismo diámetro. Por ello es necesario disponer de un método de cálculo que posteriormente se pueda aplicar a otras configuraciones de líneas. 2.4.5.1: Línea Monofásica Multifilar: Considérese una línea monofásica multifilar, como la que se muestra en la figura siguiente. El conductor a, de fase, se supone compuesto de n hebras idénticas entre sí y el b, de retorno, formado por m hilos iguales entre sí, pero que pueden ser distintos de los que forman el conductor a. Ambos conductores transportan la misma corriente instantánea “i”. i b = - i i a = i Conductor a: “n hilos Conductor b: “m” hilos Figura 2.12. Línea Monofásica Multifilar. Si se asume una distribución uniforme de corriente, cada hebra del conductor a, transportará una corriente i/n y cada uno de los hilos de b transportará una corriente i/m. Usando las ecuaciones (2.30), se tendrá para el hilo “1”, perteneciente al conductor a, que el flujo enlazado por éste será: λ 1 µ 0 i ⎡ 1 1 1 ⎤ µ 0 i ⎡ 1 1 1 = ⎢Ln + Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln ⎥ - ⎢Ln + Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln 2π n ⎣ RMG1 D12 D1n ⎦ 2π m ⎣ D11' D12' D1m µ = D D ⋅ ⋅ ⋅ D m m 0 11' 12' 1m 0 11' 12' i Ln = i Ln 2π n RMG 2 n 1D12 ⋅ ⋅ ⋅ D π 1n D11D12 ⋅ ⋅ ⋅ En que se ha denominado D 11 = RMG 1 Distancia Media Geométrica Propia del hilo “1” µ D D ⋅ ⋅ ⋅ D D 1m 1n ⎤ ⎥ = ⎦
51 Con ello: m λ1 µ 0 D11' D12' ⋅ ⋅ ⋅ D1m L 1 = = n Ln i 2π n D11D12 ⋅ ⋅ ⋅ D1n n Análogamente, para una hebra “j” cualquiera, se tendrá: λ m j µ D j1' D j2' ⋅ ⋅ ⋅ D 0 jm L j = = n Ln i 2π n D j1D j2 ⋅ ⋅ ⋅ D jn n Entonces, la inductancia promedio de cada hebra será L prom. = n ∑ j= 1 n L j (2.42) (2.43) Adicionalmente, como los n hilos del conductor “a”, están conectados en paralelo, la inductancia total de dicho conductor, será: L a = L prom. n n ∑ j= 1 L j = (2.44) 2 n Reemplazando en esta última expresión L j , según (2.42) y teniendo en cuenta que todas las hebras del conductor cableado “a” son iguales entre sí, (es decir r 1 = r 2 = ... = r n ; por lo cual RMG 1 = ... = RMG n = D jj ), se tiene: µ n m ⋅ ⋅ ⋅ 0 1 D j1' D j2' D jm L a = ∑Ln = 2π n n D D ⋅ ⋅ ⋅ D j= 1 j1 j2 mn µ D11' ⋅ ⋅ ⋅ D1m ⋅ ⋅ ⋅ D 0 j1' ⋅ ⋅ ⋅ D jm ⋅ ⋅ ⋅ D L a = Ln 2π n 2 n RMG D12 ⋅ ⋅ ⋅ D1n D21 ⋅ ⋅ ⋅ D2n ⋅ ⋅ ⋅ D j1 ⋅ ⋅ ⋅ D jn ⋅ ⋅ ⋅ D En que se ha retornado a la definición de Radio Medio Geométrico. L D jn ⋅⋅⋅D ⋅⋅⋅D ⋅⋅⋅D ⋅⋅⋅D ⋅⋅⋅D n1' ⋅ ⋅ ⋅ (n−1)1 ⋅ ⋅ ⋅ D nm D (n−1)n D n1 ⋅ ⋅ ⋅ D n(n−1) mn µ 0 11' 1m j1' jm n1' nm a = Ln (2.45) 2π n 2 n 2 2 2 2 2 2 2 RMG D12 ⋅⋅⋅D1nD 23 ⋅⋅⋅D2nD34 ⋅⋅⋅D3n ⋅⋅⋅D ( n−1) n Si en esta expresión, se define como Distancia Media Geométrica entre los conductores “a” y “b”: DMG ab = mn D 11' ⋅ ⋅ D1m D21' ⋅ ⋅ ⋅ D2m ⋅ ⋅ ⋅ Dn1' ⋅ ⋅ ⋅ Dnm ⋅ (2.46) Y al denominador, se le denomina RMG del conductor cableado “a”, o bien DMG propia del conductor cableado “a”. Es decir: RMG a = n 2 n 2 2 2 (2.47) RMG D ⋅ ⋅ ⋅ D ⋅ ⋅ ⋅ D 12 1n (n−1)n La expresión (2.45), se puede escribir como: µ 0 DMGab L a = Ln [H/m/conductor] 2π RMG (2.48) a Repitiendo el procedimiento para el conductor “b”, se tendrá: µ 0 DMGab Lb = Ln [H/m/conductor] 2π RMG (2.49) b
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