31 CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS ...

31
CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS ELECTRICAS.
2.1: DEFINICION CONCEPTUAL DE LOS PARAMETROS.
En general, una línea, como componente de un SEP, está constituida por un sistema de conductores
separados entre sí por distancias relativamente pequeñas, montados sobre estructuras, de las cuales
están convenientemente aisladas y que los mantienen a una distancia adecuada del suelo. En
condiciones de operación normal, cada conductor está sometido a una cierta tensión y circulan por ellos
corrientes, que establecen campos eléctrico y magnético respectivamente en el espacio ubicado entre los
conductores y en el primer caso, entre los conductores y tierra, generándose adicionalmente una pérdida
de energía en forma de calor.
La figura 2.1. muestra esquemáticamente el caso de una línea formada por dos conductores y recorrida
por una cierta corriente instantánea, la disipación de energía que ocurre en la línea y los campos eléctrico
y magnético asociados a ella.
i
B r
i
B r
B r
E r
B r
E r
E r
Figura 2.1. Campos Eléctrico y Magnético en una Línea de dos Conductores y la Disipación de
Energía que Ocurre.
Esta figura permite visualizar en forma práctica tres de los cuatro parámetros, los relevantes en cualquier
condición de operación, de las líneas eléctricas.
- Parámetro Resistencia, R: Como la línea está formada por conductores físicos, tiene una resistencia
eléctrica que es la principal causante de las pérdidas de energía, que en este caso, se manifiesta en
forma de calor, por tanto, este parámetro es de capital importancia en los estudios económicos de
transmisión de energía.
- Parámetro Inductancia, L: Caracteriza el efecto del campo magnético que rodea a los conductores, el
cual produce en ellos efectos de autoinducción e inducción mutua. El parámetro inductancia reunirá a
ambos efectos en uno sólo y resulta ser clave en el diseño de las líneas de transmisión, ya que es
dominante en relación a los otros parámetros de éstas.
- Parámetro Capacidad, C: Representa el efecto del campo eléctrico existente entre los conductores y
entre conductores y tierra. Circuitalmente este parámetro constituye un camino de fuga para las
corrientes que circulan por los conductores. Como se verá en su oportunidad, las corrientes de fuga

dependen de la tensión de operación de la línea y de su longitud, por lo que tendrán importancia en las
líneas de mediana y gran longitud.
- Parámetro Conductancia, G: Representa el efecto de las corrientes de fuga desde los conductores a
tierra debido a la imperfección del sistema de aislación. Las corrientes de fuga, principalmente fluyen a
través de las superficies de los aisladores que soportan a los conductores, cuyas propiedades aislantes
varían decisivamente con el estado de sus superficies. En los cálculos normales se desprecia su efecto
debido a su valor pequeño y a que no existen expresiones analíticas que permitan su evaluación. Cuando
se requiere, las pérdidas debido a la conductancia, se determinan experimentalmente.
Los parámetros R y L determinan la impedancia serie de la línea y los parámetros C y G su admitancia
shunt o paralelo. En general los parámetros se expresan en unidades/unidad de longitud como se indica:
R : [Ω/m] o en [Ω/km]
L : [H/m] o en [H/km]
C : [F/m] o en [F/km] o más habitualmente en [µF/km] atendido al gran tamaño del Farad.
G : [ /m] o en [ /km]
Obs.: La unidad internacionalmente aceptada para “G” es el Siemens [S].
Finalmente debe señalarse que las líneas eléctricas de un SEP son en general trifásicas y, en
condiciones normales, operan en régimen balanceado. En este caso se calculan los parámetros por fase
que permiten reemplazar el circuito trifásico original, por una equivalente monofásico. En caso de
operación en régimen desequilibrado, el problema se debe resolver directamente en cantidades de fase o
bien en cantidades de secuencia, que se verán en un capítulo posterior. En los apartados que sigue, se
calcularán los parámetros por fase de una línea eléctrica.
32
2.2: CALCULO DEL PARAMETRO RESISTENCIA.
En general se distinguen dos tipos de Resistencia eléctrica: óhmica o de C.C. y efectiva o de C.A. La
primera responde a la que presenta un conductor recorrido por una corriente continua y la segunda al
caso que el conductor sea recorrido por una corriente alterna. Ambas están relacionadas por el
denominado efecto pelicular, piel, skin o Kelvin, que depende fundamentalmente de la frecuencia y la
permeabilidad magnética del material.
La resistencia de un conductor es función de la temperatura, la frecuencia y de sus dimensiones físicas.
Para una frecuencia determinada (o nula -C.C.-) la resistencia es una función alineal de la temperatura y
se puede representar por una serie como la siguiente:
R T = R 0 + a 1 T + a 2 T 2 + a 3 T 3 + ... (2.1)
Sin embargo, dentro del rango habitual de la temperatura de operación para los conductores (entre 0 ºC y
100 ºC, normalmente), se puede aproximar esta serie de potencias por una relación lineal, lo que
equivale a considerar que no hay modificación de las dimensiones físicas del conductor.
2.2.1: Resistencia Ohmica (de C.C.): La expresión usual para el cálculo de la resistencia de un
conductor de largo “l”; área de la sección transversal “A” y de resistividad ρ, está dada por:
ρ l
R = [Ω] A
(2.2)
En que usualmente las unidades en que están expresados son:
l = [m]
A = [mm 2 ]
⎡Ω mm 2 ⎤
ρ = ⎢ ⎥
⎢⎣
m ⎥⎦

La resistividad, inversa de la conductividad, es propia de cada material y varía con la temperatura como
se aprecia en la figura 2.2.
ρ T
33
0 ºC T [ºC]
Figura 2.2. : Variación de ρ con la Temperatura.
Así se puede escribir:
ρ T = ρ 0 + c T (2.3)
Donde:
ρ T : Resistividad del conductor a la temperatura “T” en ºC.
ρ 0 : Resistividad del conductor a la temperatura de 0 ºC
c : Pendiente de la recta, que representa la variación de la resistividad por cada grado de aumento de
“T”. Este valor es una constante positiva, independiente de la temperatura y propia de cada material. Para
otros compuestos, diferente de los metales, puede ser negativa.
A partir de esta constante, se define un coeficiente de temperatura tal que:
c
α 0 = [ºC -1 ]: coeficiente de temperatura relativa a 0º.
ρ0
Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales,
negativo en aislantes en general y aproximadamente cero en ciertas aleaciones como manganina,
advance, nicrom, constantan, etc. Dimensionalmente, sus unidades son recíprocas de la temperatura. Si
se reemplaza en (2.3.), se tiene:
Y combinando esta expresión con (2.2):
ρ T = ρ 0 + α 0 ρ 0 T = ρ 0 (1 + α 0 T) (2.4)
R T = R 0 (1 + α 0 T) (2.5)
En que:
R T : Resistencia a la temperatura T ºC.
R 0 : Resistencia a la temperatura de 0 ºC.
Si se requiere calcular la resistencia a la temperatura T 2 conocida la resistencia a una temperatura T 1 ,
distinta de 0 ºC. Se puede obtener una relación a partir de (2,5):
R T1 = R 0 (1 + α 0 T 1 )
R T2 = R 0 (1 + α 0 T 2 )
Entonces, dividiendo miembro a miembro y despejando R T2 , se puede escribir:
1+
α o T2
R T2 = R t1
1+ α T
o
1
(2.6)
Por otra parte, a veces el valor disponible es α 1 , a temperatura T 1 en lugar de α 0 , entonces de (2.3):
ρ T1 = ρ 0 + c T 1 ⇒ ρ 0 = ρ T1 – c T 1
ρ T2 = ρ 0 + c T 2

34
Así: ρ T2 = ρ T1 – cT 1 + cT 2 = ρ T1 + c (T 2 – T 1 )
c
Si se define: α 1 =
ρ
T1
Entonces: ρ T2 = ρ T1 + α 1 ρ T1 (T 2 – T 1 )
ρ T2 = ρ T1 [1 + α 1 (T 2 – T 1 )] (2.7)
Por tanto, análogamente a (2.5):
R T2 = R T1 [1 + α 1 (T 2 – T 1 )] (2.8)
De las relaciones (2.6) y (2.8):
1 + α 1 (T 2 – T 1 ) =
Entonces se tiene:
1+ α
0
1+ α
α 1 =
0
T
T
2
1
α
;
0
1+ α
0
T
1
=
1
1
+ T1
α
0
(2.9 )
Con el objeto de comparar las características eléctricas de los conductores, se ha definido la resistividad
de un cobre patrón, normalizado, a 20 ºC de temperatura correspondiente a una muestra de cobre puro
de un metro de longitud, un gramo de peso y densidad de 8,89 (gr/mm 2 ). El valor de la resistividad de
este cobre patrón es de: 0,0172414 [Ω/m/mm 2 ] por lo cual su conductividad es de 58 [ /mm 2 /m].
Comercialmente los conductores se expresan en términos de la conductividad y no de la resistividad y,
además, como un porcentaje de la correspondiente al cobre patrón, considerada igual a 100%. La tabla
siguiente, muestra algunos conductores usuales y sus características eléctricas.
Tabla 2.1: ALGUNAS CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES
Conductor: σ [ /mm 2 /m] ρ[Ω/m/mm 2 ] α 0 a 0 ºC α 1 a 20 ºC
Cobre recocido 100% 0,017241 0,00427 0,003934
Cobre duro, estirado en frío 97% 0,01772 0,00414 0,003823
Aluminio duro, estirado en frío 62% 0,02781 0,00438 0,004027
Acero 12,3% 0,14017 0,00471 0,004305
Las tablas que se incluyen en las páginas siguientes muestran las características de diferentes tipos de
conductores: cobre; aluminio; aleación de aluminio y ACSR. En particular se señalan la resistencia
óhmica y efectiva, además de otras características que se emplearán posteriormente.
2.1.2: Resistencia Efectiva (de C.A.): La densidad de corriente solamente es uniforme en el caso que el
conductor esté recorrido por C.C. En el caso de corriente alterna, a mayor frecuencia, la densidad de
corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, fenómeno que se
conoce como efecto superficial, pelicular, skin, piel o Kelvin. Esto trae como consecuencia una
disminución de la superficie útil del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Esta resistencia
se denominará “Resistencia efectiva” (Re) y se determina normalmente en forma experimental o bien a
partir de la resistencia óhmica. En el primer caso, se mide la potencia perdida en el conductor y la
corriente que circula por él, tal que:
Re =
Pp
2
I e
(2.10)

35
Tabla Nº 2. 2: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE COBRE COMERCIAL σ = 97 %
Nº
AWG
Sección de
Cobre MCM
Nº de Hebras
Diámetro Total
mm
Peso: kg/km
Resistencia a
la ruptura Ton
Capacidad
Térmica
Aproximada
Resistencia: Ω/km
25 ºC 50 ºC
CC 50 Hz 50 Hz
Componentes de
Conductor
Xa
Reactancia
Serie:
Ω/km
Xa’
Reactancia
Paralelo:
MΩkm
--- 1000,00 61 29,30 4595 20,41 1300 0,0365 0,0385 0,0418 0,2816 0,2418
--- 950,00 61 28,50 4365 19,41 1260 0,0384 0,0405 0,0440 0,2835 0,2433
--- 900,00 61 27,80 4136 18,37 1220 0,0405 0,0424 0,0460 0,2853 0,2447
--- 850,00 61 27,00 3905 17,37 1170 0,0429 0,0448 0,0486 0,2868 0,2464
--- 800,00 61 26,20 3676 16,33 1130 0,0456 0,0472 0,0513 0,2884 0,2481
--- 750,00 61 25,40 3447 15,47 1090 0,0486 0,0501 0,0546 0,2909 0,2499
--- 700,00 61 24,50 3216 14,42 1040 0,0521 0,0535 0,0582 0,2934 0,2520
--- 650,00 37 23,60 2987 13,52 990 0,0561 0,0576 0,0626 0,2959 0,2542
--- 600,00 37 22,60 2758 12,25 940 0,0608 0,0620 0,0675 0,2984 0,2564
--- 550,00 37 21,70 2527 11,25 890 0,0663 0,0675 0,0735 0,3012 0,2590
--- 500,00 37 20,70 2298 10,21 840 0,0729 0,0738 0,0805 0,3040 0,2616
--- 450,00 37 19,60 2067 9,28 780 0,0810 0,0818 0,0893 0,3083 0,2631
--- 450,00 19 19,60 2067 9,00 780 0,0810 0,0918 0,0893 0,3083 0,2647
--- 400,00 19 18,50 1838 7,96 730 0,0912 0,0918 0,1002 0,3120 0,2682
--- 350,00 19 17,30 1609 7,08 670 0,1042 0,1046 0,1143 0,3164 0,2720
--- 300,00 19 16,00 1378 6,12 610 0,1215 0,1219 0,1330 0,3207 0,2763
--- 300,00 12 16,70 1378 5,96 610 0,1215 0,1219 0,1330 0,3182 0,2740
--- 250,00 19 14,60 1149 5,10 540 0,1458 0,1460 0,1597 0,3269 0,2817
--- 250,00 12 15,20 1149 5,06 540 0,1458 0,1460 0,1597 0,3238 0,2790
4/0 211,60 12 14,00 972 4,30 490 0,1723 0,1725 0,1883 0,3288 0,2838
4/0 211,60 7 13,30 972 4,15 480 0,1723 0,1725 0,1883 0,3356 0,2871
3/0 167,80 7 11,80 771 3,34 420 0,2173 0,2173 0,2374 0,3425 0,2938
2/0 133,10 7 10,50 616 2,69 360 0,2738 0,2738 0,2989 0,3499 0,3004
1/0 105,50 7 9,40 485 2,16 310 0,3455 0,3455 0,3765 0,3574 0,3071
1 83,69 7 8,34 384 1,73 270 0,4356 0,4356 0,4753 0,3648 0,3137
1 83,69 3 9,14 381 1,64 270 0,4340 0,4340 0,4704 0,3630 0,3083
2 66,37 7 7,41 305 1,38 230 0,5494 0,5494 0,5990 0,3717 0,3203
2 66,37 3 8,12 302 1,32 240 0,5450 0,5450 0,5934 0,3704 0,3151
2 66,37 1 6,54 299 1,36 220 0,5386 0,5386 0,5872 0,3754 0,3274
3 52,63 7 6,60 242 1,10 200 0,6928 0,6928 0,7556 0,3791 0,3270
3 52,63 3 7,24 240 1,07 200 0,6858 0,6858 0,7481 0,3779 0,3216
3 52,63 1 5,83 237 1,11 190 0,6792 0,6792 0,7407 0,3829 0,3341
4 41,74 3 6,45 190 0,85 180 0,8650 0,8650 0,9432 0,3847 0,3282
4 41,74 1 5,19 188 0,89 170 0,8562 0,8562 0,9339 0,3897 0,3409
5 33,10 3 5,74 151 0,68 150 1,0874 1,0874 1,1893 0,3922 0,3349
5 33,10 1 4,62 149 0,72 140 1,0790 1,0790 1,1775 0,3972 0,3475
6 26,25 3 5,10 120 0,55 130 1,3732 1,3732 1,4975 0,3996 0,3417
6 26,25 1 4,11 118 0,58 120 1,3620 1,3620 1,4851 0,4046 0,3540
7 20,82 1 3,66 94 0,47 110 1,7170 1,7170 1,8703 0,4114 0,3606
8 16,51 1 3,26 74 0,37 90 2,1650 2,1650 2,3612 0,3673 0,3673
(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

36
Tabla Nº 2.3: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO σ = 62 %
Denominación
Comercial
Sección de
Aluminio MCM
Nº de Hebras
Diámetro Total
mm
Peso: kg/km
Resistencia a
la ruptura Ton
Capacidad
Térmica
Aproximada
Resistencia: Ω/km
25 ºC 50 ºC
CC 50 Hz 50 Hz
Componentes de
Conductor
Xa
Reactancia
Serie:
Ω/km
Xa’
Reactancia
Paralelo:
MΩkm
Jessamine 1750,0 61 38,7 2446 14,90 1550 0,0326 0,0346 0,0378 0,2618 0,2260
Coreopsis 1590,0 61 36,9 2226 13,59 1460 0,0359 0,0381 0,0415 0,2673 0,2285
Gladiolus 1510,5 61 36,0 2116 12,91 1410 0,0378 0,0399 0,0435 0,2702 0,2298
Carnation 1431,0 61 35,0 2005 12,23 1370 0,0399 0,0419 0,0457 0,2704 0,2313
Columbine 1351,5 61 34,0 1893 11,80 1320 0,0423 0,0442 0,0482 0,2725 0,2331
Narcissus 1272,0 61 33,0 1781 11,09 1270 0,0449 0,0467 0,0510 0,2740 0,2348
Hawthorn 1192,5 61 32,0 1670 10,62 1220 0,0479 0,0496 0,0542 0,2762 0,2367
Marigold 1113,0 61 30,9 1560 9,91 1160 0,0513 0,0529 0,0578 0,2782 0,2387
Larkspur 1033,5 61 29,8 1445 8,28 1130 0,0553 0,0568 0,0621 0,2808 0,2408
Bluebell 1033,5 37 29,8 1445 8,84 1130 0,0553 0,0568 0,0621 0,2813 0,2408
Goldenrod 954,0 61 28,6 1333 7,65 1080 0,0599 0,0613 0,0671 0,2834 0,2429
Magnolia 954,0 37 28,6 1333 8,16 1080 0,0599 0,0613 0,0671 0,2839 0,2431
Crocus 874,5 61 27,3 1222 7,87 1020 0,0652 0,0664 0,0728 0,2860 0,2454
Anemone 874,5 37 27,3 1222 7,47 1020 0,0652 0,0664 0,0728 0,2864 0,2456
Lilac 795,0 61 26,1 1111 6,50 960 0,0721 0,0732 0,0803 0,2890 0,2483
Arbutus 795,0 37 26,0 1111 6,94 960 0,0721 0,0732 0,0803 0,2896 0,2483
Petunia 750,0 37 25,3 1048 6,55 930 0,0765 0,0776 0,0852 0,2909 0,2497
Nasturtium 715,5 61 24,8 1000 5,96 900 0,0795 0,0805 0,0884 0,2922 0,2512
Violet 715,5 37 24,7 1000 6,38 900 0,0795 0,0805 0,0884 0,2927 0,2514
Orchid 636,0 37 23,3 889 5,67 830 0,0895 0,0904 0,0993 0,2963 0,2547
Mistletoe 556,5 37 21,8 774 4,46 760 0,1025 0,1033 0,1135 0,3005 0,2585
Dahlia 556,5 19 21,8 774 4,76 760 0,1025 0,1033 0,1135 0,3014 0,2587
Zinnia 500,0 19 20,6 696 4,28 710 0,1142 0,1150 0,1265 0,3051 0,2617
Syringa 477,0 37 20,2 664 3,90 690 0,1199 0,1206 0,1325 0,3057 0,2630
Cosmos 477,0 19 20,1 664 4,08 690 0,1199 0,1206 0,1325 0,3067 0,2630
Canna 397,5 19 18,4 553 3,47 610 0,1435 0,1441 0,1584 0,3117 0,2682
Tulip 336,4 19 16,9 467 3,00 550 0,1696 0,1701 0,1870 0,3174 0,2730
Peony 300,0 19 16,0 417 2,67 510 0,1910 0,1917 0,2107 0,3211 0,2764
Laurel 266,8 19 15,1 369 2,18 475 0,2144 0,2148 0,2363 0,3247 0,2798
Daisy 266,8 7 14,9 369 2,28 475 0,2144 0,2148 0,2363 0,3282 0,2803
Oxlip 211,6 7 13,3 293 1,81 410 0,2697 0,2700 0,2970 0,3351 0,2871
Phlox 167,8 7 11,8 232 1,44 350 0,3405 0,3407 0,3748 0,3430 0,2938
Aster 133,1 7 10,6 184 1,19 305 0,4294 0,4296 0,4726 0,3502 0,3002
Poppy 105,6 7 9,4 146 0,94 260 0,5412 0,5414 0,5956 0,3574 0,3070
Pansy 83,7 7 8,3 116 0,78 225 0,6823 0,6824 0,7508 0,3646 0,3135
Iris 66,4 7 7,4 92 0,63 195 0,8606 0,8607 0,9470 0,3719 0,3203
Lily 52,6 7 6,6 73 0,52 175 1,0855 1,0856 1,1944 0,3791 0,3268
Rose 41,7 7 5,9 58 0,41 145 1,3683 1,3684 1,5056 0,3866 0,3334
Peachbell 26,2 7 4,7 36 0,25 105 2,1773 2,1773 2,3956 0,4011 0,3467
(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

37
Tabla Nº 2.4: CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES DE ALEACION DE ALUMINIO
Denominación
Comercial
Sección del
Con0ductor
MCM
Nº de Hebras
Diámetro Total
mm
Peso: kg/km
Resistencia a la
ruptura Ton
Capacidad
Térmica
Aproximada (*)
Resistencia: Ω/km
25 ºC 50 ºC
CC 50 Hz 50 Hz
Componentes de
Conductor
Xa
Reactancia
Serie:
Ω/km
Xa’
Reactancia
Paralelo:
MΩkm
Tola 1750,0 61 38,7 2445 19,10 1470 0,0370 0,0393 0,0429 0,2618 0,2260
Tincal 1700,0 61 38,2 2375 18,51 1450 0,0382 0,0405 0,0442 0,2644 0,2265
Turret 1600,0 61 37,0 2235 17,46 1390 0,0408 0,0430 0,0472 0,2671 0,2283
Tenet 1500,0 61 35,8 2095 17,33 1340 0,0434 0,0458 0,0499 0,2692 0,2302
Tasset 1400,0 61 34,6 1955 16,15 1280 0,0464 0,0487 0,0531 0,2713 0,2321
Taper 1300,0 61 33,4 1816 15,20 1220 0,0500 0,0522 0,0570 0,2735 0,2341
Taker 1250,0 61 32,7 1746 14,61 1190 0,0520 0,0540 0,0591 0,2749 0,2354
Tetro 1200,0 61 32,1 1677 14,06 1160 0,0543 0,0562 0,0614 0,2760 0,2364
Spate 1100,0 37 30,7 1537 12,11 1100 0,0592 0,0610 0,0667 0,2790 0,2390
0Saker 1000,0 37 29,2 1397 11,02 1050 0,0651 0,0669 0,0731 0,2822 0,2418
Greeley 927,2 37 28,1 1295 13,83 990 0,0714 0,0730 0,0800 0,2846 0,2440
Solar 927,2 37 28,1 1295 10,84 1000 0,0701 0,0717 0,0785 0,2846 0,2440
Sora 833,6 37 26,7 1165 9,71 940 0,0780 0,0794 0,0870 0,2878 0,2469
Flint 740,8 37 25,1 1035 11,07 860 0,0895 0,0908 0,0997 0,2917 0,2505
Spar 740,8 37 25,1 1035 8,75 870 0,0878 0,0891 0,0978 0,2917 0,2505
Sural 704,6 37 24,5 984 8,44 840 0,0924 0,0936 0,1027 0,2932 0,2519
Elgin 652,4 19 23,5 911 9,93 790 0,1017 0,1027 0,1128 0,2966 0,2543
Rune 652,4 19 23,5 911 7,35 800 0,0997 0,1007 0,1106 0,2966 0,2543
Ruble 587,2 19 22,3 820 6,62 750 0,1109 0,1120 0,1230 0,2999 0,2573
Darien 559,5 19 21,8 782 8,53 720 0,1184 0,1193 0,1311 0,3014 0,2585
Remex 559,5 19 21,8 782 6,31 730 0,1161 0,1170 0,1286 0,3014 0,2585
Rex 503,6 19 20,7 703 5,67 680 0,1293 0,1302 0,1431 0,3046 0,2615
Cairo 465,4 19 19,9 650 7,08 640 0,1425 0,1433 0,1575 0,3071 0,2638
Ragout 465,4 19 19,9 650 5,53 640 0,1398 0,1406 0,1545 0,3071 0,2638
Rede 419,6 19 18,9 586 5,08 600 0,1550 0,1558 0,1710 0,3103 0,2667
Canton 394,5 19 18,3 551 6,03 570 0,1681 0,1688 0,1855 0,3124 0,2686
Radian 394,5 19 18,3 551 4,76 580 0,1648 0,1655 0,1819 0,3124 0,2686
Radar 355,1 19 17,4 496 4,35 540 0,1833 0,1837 0,2021 0,3155 0,2714
Butte 312,8 19 16,3 437 4,99 490 0,2119 0,2125 0,2336 0,3196 0,2752
Ramie 312,8 19 16,3 437 3,83 500 0,2079 0,2085 0,2292 0,3196 0,2752
Ratch 281,4 19 15,5 393 3,45 465 0,2313 0,2317 0,2549 0,3228 0,2781
Alliance 246,9 7 14,3 345 3,88 420 0,2685 0,2690 0,2959 0,3306 0,2827
Kittle 246,9 7 14,3 345 2,87 425 0,2635 0,2640 0,2904 0,3306 0,2827
Amherst 195,7 7 12,8 273 3,08 365 0,3389 0,3393 0,3732 0,3375 0,2890
Kopeck 195,7 7 12,8 273 2,28 365 0,3323 0,3327 0,3659 0,3375 0,2890
Anaheim 155,4 7 11,4 217 2,44 315 0,4277 0,4280 0,4708 0,3448 0,2956
Kayak 155,4 7 11,4 217 1,94 315 0,4178 0,4180 0,4599 0,3448 0,2956
Azusa 123,3 7 10,1 172 2,02 270 0,5363 0,5365 0,5903 0,3524 0,3026
Kibe 123,3 7 10,1 172 1,56 275 0,5264 0,5266 0,5794 0,3524 0,3026
Ames 77,5 7 8,0 108 1,27 200 0,8554 0,8555 0,9413 0,3671 0,3159
Kench 77,5 7 8,0 108 1,01 205 0,8390 0,8391 0,9232 0,3671 0,3159
Alton 48,7 7 6,4 68 0,80 150 1,3621 1,3622 1,4987 0,3811 0,3287
Kaki 48,7 7 6,4 68 0,65 150 1,3357 1,3358 1,4697 0,3811 0,3287
Akron 30,6 7 5,0 43 0,50 110 2,1681 2,1681 2,3855 0,3966 0,3428
(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

38
Tabla Nº 2.5: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO REFORZADO CON ACERO (ACSR)
Denominación
Comercial
Sección de
Aluminio MCM
Nº de Hebras
Aluminio/Acer
o
Diámetro Total
mm
Peso: kg/km
Resistencia a
la ruptura Ton
Capacidad
Térmica
Aproximada
Resistencia: Ω/km
25 ºC 50 ºC
CC 50 Hz 50 Hz
Componentes de
Conductor
Xa
Reactancia
Serie:
Ω/km
Xa’
Reactancia
Paralelo:
MΩkm
Chukar 1780,0 84/19 40,7 3086 24,31 1440 0,0324 0,0326 0,0372 0,2587 0,2229
Falkon 1590,0 54/19 39,2 3028 25,45 1350 0,0365 0,0367 0,0419 0,2605 0,2250
Parrot 1510,5 54/19 38,2 2877 24,18 1310 0,0384 0,0386 0,0441 0,2623 0,2263
Plover 1431,0 54/19 37,2 2725 22,86 1260 0,0405 0,0407 0,0465 0,2636 0,2281
Martin 1351,5 54/19 36,2 2574 21,60 1220 0,0429 0,0431 0,0492 0,2654 0,2296
Pheasant 1272,0 54/19 35,4 2422 20,32 1170 0,0456 0,0458 0,0522 0,2673 0,2313
Grackle 1192,5 54/19 34,0 2271 19,55 1120 0,0487 0,0488 0,0556 0,2698 0,2333
Finch 1113,0 54/19 32,8 2120 18,24 1070 0,0521 0,0523 0,0595 0,2716 0,2352
Curlew 1033,5 54/7 31,7 1979 16,85 1020 0,0561 0,0564 0,0637 0,2741 0,2373
Cardinal 954,0 54/7 30,4 1826 15,54 990 0,0608 0,0610 0,0695 0,2766 0,2396
Canary 900,0 54/7 29,5 1723 14,65 960 0,0646 0,0646 0,0730 0,2785 0,2412
Crane 874,5 54/7 29,1 1674 14,25 940 0,0665 0,0665 0,0757 0,2791 0,2421
Condor 795,0 54/7 27,8 1522 12,95 880 0,0727 0,0733 0,0844 0,2822 0,2448
Drake 795,0 26/7 28,1 1624 14,18 890 0,0727 0,0727 0,0800 0,2810 0,2439
Mallard 795,0 30/19 29,0 1833 17,44 880 0,0727 0,0727 0,0800 0,2779 0,2423
Crow 715,5 54/7 26,3 1370 11,95 820 0,0814 0,0814 0,0915 0,2853 0,2477
Starling 715,5 26/7 26,7 1462 12,75 830 0,0814 0,0814 0,0896 0,2841 0,2470
Redwing 715,5 30/19 27,4 1648 15,69 820 0,0814 0,0814 0,0896 0,2816 0,2454
Gull 666,6 54/7 25,4 1276 11,14 790 0,0870 0,0876 0,0989 0,2878 0,2499
Flamingo 666,6 24/7 25,4 1277 10,77 790 0,0870 0,0876 0,0989 0,2882 0,2500
Goose 636,0 54/7 24,8 1218 10,73 760 0,0913 0,0920 0,1043 0,2890 0,2512
Grosbeak 636,0 26/7 25,2 1299 11,34 770 0,0913 0,0913 0,1005 0,2884 0,2504
Egret 636,0 30/19 25,9 1466 14,33 760 0,0913 0,0913 0,1005 0,2853 0,2487
Rook 636,0 24/7 24,8 1219 10,27 760 0,0913 0,0913 0,1005 0,2897 0,2514
Duck 605,0 54/7 24,2 1158 10,21 730 0,0957 0,0963 0,1091 0,2909 0,2526
Teal 605,0 30/19 25,2 1397 13,63 730 0,0960 0,0965 0,1075 0,2871 0,2500
Squab 605,0 26/7 24,5 1268 10,95 740 0,0957 0,0957 0,1069 0,2897 0,2518
Peacock 605,0 24/7 24,2 1159 9,80 740 0,0957 0,0963 0,1075 0,2912 0,2527
Dove 556,5 26/7 23,6 1137 10,19 700 0,1044 0,1044 0,1115 0,2921 0,2541
Eagle 556,5 30/7 24,2 1293 12,36 700 0,1044 0,1044 0,1115 0,2897 0,2526
Parakeet 556,5 24/7 23,2 1067 9,00 700 0,1044 0,1051 0,1120 0,2937 0,2550
Heron 500,0 30/7 23,0 1162 11,09 680 0,1162 0,1162 0,1280 0,2928 0,2556
Hawk 477,0 26/7 21,8 975 8,82 640 0,1218 0,1218 0,1342 0,2971 0,2585
Hen 477,0 30/7 22,4 1108 10,59 630 0,1218 0,1218 0,1342 0,2940 0,2570
Flicker 477,0 24/7 21,5 914 7,80 630 0,1218 0,1218 0,1342 0,2987 0,2595
Ibis 397,5 26/7 19,9 812 7,34 560 0,1460 0,1460 0,1609 0,3027 0,2637
Lark 397,5 30/7 20,4 923 9,06 560 0,1460 0,1460 0,1609 0,2996 0,2620
Linnet 336,4 26/7 18,3 687 6,38 510 0,1727 0,1727 0,1901 0,3083 0,2684
Oriole 336,4 30/7 18,8 782 7,74 510 0,1727 0,1727 0,1901 0,3052 0,2670
Ostrich 300,0 26/7 17,3 613 5,73 470 0,1932 0,1932 0,2125 0,3120 0,2718
Piper 300,0 30/7 17,8 697 7,00 480 0,1932 0,1932 0,2125 0,3089 0,2703
Partridge 266,8 26/7 16,3 545 5,10 440 0,2175 0,2175 0,2392 0,3151 0,2751
Penguin 211,6 6/1 14,3 433 3,82 360 0,2745 0,2745 0,3015 0,3755 0,2828
Pigeon 167,8 6/1 12,7 343 3,03 315 0,3460 0,3465 0,3805 0,3959 0,2893
Quail 133,1 6/1 11,3 272 2,43 270 0,4370 0,4375 0,4800 0,4064 0,2959
Raven 105,5 6/1 10,1 216 1,94 235 0,5500 0,5500 0,6050 0,4145 0,3026
Robin 83,7 6/1 9,0 171 1,59 205 0,6960 0,6960 0,7650 0,4189 0,3090
Sparrow 66,4 6/1 8,0 136 1,27 180 0,8550 0,8550 0,9400 0,4190 0,3160
(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

39
Se define un coeficiente “k” que relaciona las resistencias efectiva y óhmica que es función de la
frecuencia, la permeabilidad y las dimensiones del conductor. Se tiene:
k = Re/R ⇒ Re = k R (2.11)
Ejemplo 2.1: Calcular la resistencia óhmica de un conductor de cobre estirado en frío de 33,63 mm 2 de
sección (66,37 MCM) a 25 ºC y 50 ºC; en las siguientes situaciones. Expresar los valores en [Ω /km].
a) El conductor es macizo
b) El conductor es de 3 hilos
c) El conductor es de 7 hilos
Solución: Para cada uno de los conductores, se tendrá:
a) Conductor macizo:
De la tabla 2.1: ρ 20 ºC = 0,01772 [Ω/m/mm 2 ]
0,01772 ∗10
De (2.2): R 20 ºC =
= 0,5269 [Ω /km]
33,63
De (2.6) y de la misma tabla 2.1; con α 0 = 0,00414 [ºC -1 ]
3
R 25 ºC =
1+
0,00414 ∗ 25
1+
0,00414 ∗ 20
∗ 0,5269 = 0,537 [Ω/ km] (*)
1+
0,00414 ∗ 50
R 50 ºC = ∗ 0, 5269
1+
0,00414 ∗ 20
= 0,5873 [Ω /km] (*)
Nota: (*): Se pudo haber calculado con (2.8): Considerando: (T 1 =20 ºC ⇒ α 1 = 0,003823 [ºC -1 ] )
b) Los conductores cableados, aunque tengan igual sección y longitud que uno macizo, presentan una
mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es
mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un
incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el señalado:
- Para conductores de 3 hilos: aumento de 1%
- Para conductores de 7 hilos: aumento de 2%
- Para conductores de más de 11 hebras aumento de 3%
Usando este criterio se tiene:
- Conductor de 3 hebras: R 25 ºC = 0,537 * 1,01 = 0,5424 [Ω/km]
R 50 ºC = 0,5873 * 1,01 = 0,5932 [Ω/km]
- Conductor de 7 hebras: R 25 ºC = 0,537 * 1,02 = 0,5477 [Ω/km]
R 50 ºC = 0,5873 * 1,02 = 0,599 [Ω /km]
Puede apreciarse que estos valores son prácticamente coincidentes con los valores dados por los
fabricantes y contenidos en las tablas anteriores.

Ejemplo 2.2: Calcular la resistencia óhmica en [Ω/km] a 50 ºC de un conductor ACSR (54/7) formado por
54 hilos de aluminio y 7 de Acero 954 MCM de sección. Las hebras de aluminio y acero tienen el mismo
diámetro de 3,38 mm.
Solución: Los conductores de aluminio y acero están en paralelo y tienen resistencias distintas que se
deben evaluar por separado, como se muestra a continuación:
a): Resistencia de la sección de aluminio:
π 2
Area = A 1 = 54 ∗
4 ∗ 3,38 = 484,526 [mm 2 ]
Resistencia a 20 ºC. De la tabla 2.1 y consideración anterior del inciso b) del problema anterior:
0,02781∗10
3 ∗1,03
R 20 ºC =
= 0,0591 [Ω/km]
484,526
De (2.8): R 50 ºC = 0,0591(1 + 0,004027 * 30) = 0,0663 [Ω/km] (*)
b): Resistencia del alma de Acero:
π 2
A 2 = 7 ∗
4 ∗ 3,38 = 62,8089 [mm 2 ]
Resistencia a 20 ºC:
3 ∗
0,14017 ∗10
1,02
R 20ºC =
= 2,2763 [Ω/km]
62,8089
R 50ºC = 2,2763 (1+ 0,004305 * 30) = 2,5703 [Ω/km] (*)
Resistencia equivalente del conductor completo a 50ºC.
0,0663 ∗ 2,5703
R =
= 0,0646 [Ω/km]
0,0663 + 2,5703
(*) Se pudo evaluar usando la expresión (2.6) al igual que en el caso del ejemplo 2.1.
40
2.3: CALCULO DEL PARAMETRO INDUCTANCIA Y DE LA REACTANCIA INDUCTIVA.
2.3.1: Caso de un Sólo Conductor: Para establecer las consideraciones generales que permitan el
cálculo de “L” y “X L ”, se considerará inicialmente el caso de un único conductor recorrido por una
corriente. Instantánea “i”. Su retorno ocurre por un conductor, tan alejado del primero, que su efecto
sobre éste es despreciable. La figura siguiente ilustra esta situación:
i
ϕ e
ϕ i
ϕ e
Figura 2.3: Flujos Interno y Externo Asociados a un Conductor Recorrido por una Corriente
Instantánea “i”.
De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, abreviadamente se puede escribir:

41
dλ
L = di
Ahora bien, si el flujo se establece en un medio lineal, de permeabilidad constante, se tendrá:
(2.12)
λ
L = i
(2.13)
El valor de λ, y por tanto el de la inductancia, depende, como en el caso de la figura anterior, del flujo
interno ϕ i y del flujo exterior ϕ e que rodea al conductor. Por ello, para el cálculo de la inductancia total del
conductor se evaluará el flujo enlazado interno λ i y su inductancia asociada “L i ” y luego la componente
debido al flujo enlazado externo λ e y su inductancia asociada “L e ”. Finalmente como se ha supuesto un
medio lineal, se cumple el principio de superposición y la inductancia total será la suma de ambas
componentes.
a): Cálculo del Flujo Enlazado Interno y su Inductancia Asociada: Considérese la figura siguiente
para graficar la aplicación de la Ley de Ampere:
dx
C
x
r
Figura 2.4: Corte del Conductor para el Cálculo del Flujo Interno.
Si se aplica la ley de Ampere al contorno interior “C” de la fig. 2.4, se puede escribir:
r r
i
H •
x
∫ d l = H x 2π x = i x ⇒ Hx
=
2πx
(2.14)
En que i x es la corriente instantánea que circula por la sección interna de radio x en el conductor.
Si se considera una densidad de corriente uniforme en toda la sección transversal del conductor, se
puede establecer la siguiente proporción:
ix
i
2
2
πx
⎛ x ⎞
= ⇒ ix
= ⎜ ⎟ i
(2.15)
2
πr
⎝ r ⎠
Si se reemplaza esta expresión en (2.14):
x
H x = i
2
2πr
[A/m] (2.16)
Además:
x
B x = µ H x = µ 0 µ r i
2
2πr
[Web./A/m] (2.17)
En que:
µ 0 : permeabilidad absoluta del vacío = 4π ∗10 -7 [Web./A/m]
µ r : permeabilidad relativa del conductor [Adimensional]
Por otro lado:

42
r r
ϕ = B • A ⇒
r r
dϕ = B • dA
(2.18)
Por tanto, escogiendo un elemento de área tal que: dA = 1 dx
d ϕ x = B
r r • dx
= Bx dx = µ µ x
0 r i
2 r
dx 2
π
(2.19)
Este flujo elemental solamente enlaza a la corriente i x , de tal modo que el flujo interno enlazado dλ i ,
resulta igual a:
2
i
dλ i = dϕ
x x
x = d ϕ x
( 2.20)
i
2
r
Entonces:
De donde:
r
∫
r
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
⎝ r ⎠
λ i = d
x i dx = i x dx = i ( r - 0 ) = i
0
λ
i
=
∫
0
µ
µ
0 r
2
2πr
2
λ
µ
µ
0 r
4
2πr
i 0 r
L i = = [ H/m]
i
µ µ
8π
r
∫
0
3
µ
µ
0 r
4
8πr
4
µ
0
µ
8π
r
(2.21)
b): Cálculo del Flujo Externo Enlazado: La figura siguiente, muestra el esquema para el cálculo del
flujo externo.
La intensidad magnética, H, a una distancia “y” del centro del conductor, será
r r
i
∫ H • d l = Hy
2π
y = i ⇒ Hy
= [ A/m]
2πy
r r
Además: d ϕ e = B • dA
Con:
r r
i
B = µ 0 H ⇒ B y = µ 0 Hy
= µ 0
2πy
El elemento de área escogido es: dA = dy * 1 = dy Así se puede escribir:
1
d ϕ y = B y dA = µ o
2πy
i dy
i
dA
(2.22)
(2.23)
l = 1
r
y
dy
D
p
Figura 2.5: Flujo Externo al Conductor
El flujo externo que enlaza el conductor hasta un punto “p” cualquiera ubicado a una distancia “D”, del
centro del conductor, será:
Con lo que:
dλ e = d ϕ e ⇒ λ
e
=
D
∫
r
dλ
e
µ 0i
=
2π
D
∫
r
dy
y
=
µ
0
2π
D
i Ln
r

43
λ
D
r
e 0
L e = = Ln [ H/m]
i
µ
2π
(2.24)
Finalmente la inductancia total, será:
µ 0µ
L= L i + L e =
8π
r
µ 0
+
2π
D
Ln
r
(2.25)
De la expresión anterior, se observa que la inductancia depende de la ubicación del punto “p” (distancia
D). Si este punto se aleja hasta el infinito, la inductancia se hará también infinita. Por lo anterior la
inductancia de un único conductor recorrido por una corriente instantánea “i”, resulta indeterminada, lo
que es consistente con el hecho que físicamente no es posible disponer de un único conductor recorrido
por una corriente, sin que exista retorno para ella. Sin embargo, esta expresión será útil para los cálculos
posteriores.
2.4: FLUJO ENLAZADO POR UN SISTEMA MULTICONDUCTOR.
Consideremos una línea constituida por “n” conductores, cilíndricos y paralelos entre sí, recorridos, cada
uno de ellos por una cierta corriente instantánea, como se muestra en la figura siguiente:
1
i 1
D 1n
2 i 2
D
D 2
12
D 1
k i k
D 1k
D 13
D k
“p”
D n
D3
i n
n
3 i 3
Figura 2.6: Línea Multiconductor.
Como no existen otros conductores en el espacio, se tiene:
n
∑ k
= 0
k=
1
i (2.26)
De esta manera, como el sistema es lineal, se calculará el flujo enlazado por el conductor “1”, debido a su
propia corriente y luego a las restantes n - 1, corrientes que circulan por los otros conductores. El flujo
externo se evaluará hasta el punto “p” que se aprecia en la figura anterior. Por tanto se empleará el
principio de superposición.
Se supondrá que inicialmente sólo existe corriente en el conductor 1 y que en los restantes conductores
ésta es nula y evaluaremos la inductancia hasta el punto “p”. De acuerdo con (2.25), se tiene:
µ 0 µ r µ 0 D1
λ 11(p)
= i1
+ i1
Ln
8π
2π
r1
Si ahora se considera que sólo circula corriente por el conductor 2, el flujo enlazado por el conductor “1”,
será:

λ
12
µ 0
(p) = i
2π
2
D
Ln
D
2
12
Sucesivamente es posible evaluar el flujo enlazado por el conductor “1” debido a la circulación de
corriente en los restantes conductores. Particularmente el efecto de la circulación de corriente por el
conductor “n – ésimo” será:
µ 0 Dn
λ 1n (p) = in
Ln
2π
D1n
Así, el flujo total enlazado por el conductor “1”, debido a la circulación de corriente en todos los
conductores de ésta línea, incluido él mismo, será:
44
λ (p) =
1
n
∑
λ
1k
k=
1
(p)
µ 0 µ
=
8π
r
i
1
µ 0 D
+ i1
Ln
2π
r
1
1
µ 0
+ i
2π
2
D
Ln
D
2
12
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
µ 0
i
2π
n
D
Ln
D
n
1n
(2.27)
Los dos primeros términos del segundo miembro se suelen presentar como:
Donde:
0 r 0 D
⎡ µ
µ µ µ
1 µ
r
0
D
⎤
4
1 µ 0 D1
i1
+ i1
Ln = i ⎢
1 Ln e + Ln ⎥ = i1
Ln
8π
2π
r1
2π
⎢
r1
⎥ 2π
RMG1
⎣
⎦
µ
−
r
RMG 1 = r e
4
1
[m] (2.28)
Se denomina Radio Medio Geométrico del conductor, en este caso “1”, y depende de la permeabilidad
relativa del conductor. En conductores homogéneos, de material no magnético, µ r = 1; y entonces:
1
−
RMG = r e
4
[m]
Esta expresión solamente es válida para conductores macizos.
Bajo estas consideraciones la expresión (2.27), se puede reescribir como:
De (2.26): ∑ − i = -
k=
µ ⎡
⎤
0 D1
D2
Dn-1
Dn
λ1( p) = ⎢i1
Ln + i2
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in-1
Ln + inLn
⎥ =
2π
⎢⎣
RMG1
D12
D1(n-1)
D1n
⎥⎦
µ 0 ⎡ 1
1
⎤
= ⎢i1
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in
Ln + i1
Ln D1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + in-1Ln Dn-1
+ in
Ln Dn
⎥
2π
⎣ RMG1
D1n
⎦
n 1
n i k
1
Por tanto, reemplazando i n en el último término de la expresión anterior, se tiene:
µ 0 ⎡ 1
1 D1
D2
D
λ1(
p) = ⎢i1
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in
Ln + i1
Ln + i2
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in-1
Ln
2π
⎣ RMG1
D1n
Dn
Dn
D
Haciendo tender p → ∝ ⇒ D 1 = D 2 =......... = D n-1 = D n
n-1
n
⎤
⎥
⎦
Por tanto:
µ 0 ⎡ 1
1
1
1 ⎤
λ (p) = λ1
= ⎢i1
Ln + i2
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + ik
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in
Ln ⎥
p 1 (2.29)
→∝ 2π
⎣ RMG1
D12
D1k
D1n
⎦
Si ahora se hace variar el índice de 1 a n, se tendrá el siguiente sistema de ecuaciones:

45
µ 0
⎡ 1 1
1 ⎤
λ1 = ⎢i1
Ln + i2
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in
Ln ⎥
2π
⎣ RMG1
D12
D1n
⎦
µ 0 ⎡ 1
1
1 ⎤
λ 2 = ⎢i1
Ln + i2
Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in
Ln ⎥
2π
⎣ D21
RMG2
D2n
⎦
λ
n
µ 0 ⎡
= ⎢i
Ln
π ⎣
1
D
+ i
Ln
1
D
+ ⋅ ⋅ ⋅ + i
Ln
1
RMG
1
2
n
2 n1
n2
n
⎥
⎦
⎤
(2.30)
Que se puede escribir también en forma matricial como:
⎡λ1
⎤ ⎡ 1 1
1
1 ⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎢Ln
Ln ⋅ ⋅ ⋅ Ln ⋅ ⋅ ⋅ Ln i1
⎥
⎢ ⎥ RMG
⎢ ⎥
⎢
1 D12
D1k
D1n
⎥
⎢λ
⎢ ⎥
2 ⎥ ⎢ 1 1
1
1 ⎥
⎢ ⎥ Ln Ln ⋅ ⋅ ⋅ Ln ⋅ ⋅ ⋅ Ln ⎢i
⎥
⎢
⎥
2
⎢ ⋅
D
⎥
21 RMG2
D2k
D2n
⎢ ⎥
µ 0
⎢
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎥ ⎢⋅
⎢ ⎥ =
⎥
⎢
⎥
⎢
⋅
⎥ 2 π 1 1
1
1 ⎢ ⎥
⎢
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⎥
⎢λ
Ln Ln
Ln
Ln
ik
⎥
⎢ ⎥
(2.30a)
k ⎢ Dk1
Dk2
RMGk
Dkn
⎥ ⎢⋅
⎢ ⎥
⎥
⋅ ⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢
⋅
⎢⋅
1 1
1
1
⎥
⎥
⎢ Ln Ln ⋅ ⋅ ⋅ Ln ⋅ ⋅ ⋅ Ln ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
⎥
⎣λ
i
⎦ ⎣ Dn1
Dn2
Dnk
RMGn
⎦
n ⎦
n
La ventaja que presentan estas expresiones generales, es que a partir de ellas, es posible calcular la
inductancia de líneas de cualquier configuración.
2.4.1: Línea Monofásica de Dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea monofásica:
i 1
i 2
2
1
r r 2
1
Figura 2.7: Línea Monofásica de dos Conductores con Disposición Horizontal.
D
De (2.26): i 1 + i 2 = 0 ⇒ i 1 = - i 2
Además: D 12 = D 21 = D
De (2.30), y haciendo n =2, se puede escribir:
µ 0 ⎡ 1 1 ⎤ µ 0 D
λ 1 = ⎢i1
Ln + i2
Ln ⎥ = i1
Ln
2π
⎣ RMG1
D⎦
2π
RMG1
Con lo que:
λ1
µ 0 D
L1
= = Ln
i 2π
RMG
[ H/m]
(2.31)
1
1

46
Análogamente:
µ 0 ⎡ 1 1 ⎤ µ 0 D
λ 2 = ⎢i1
Ln + i2
Ln ⎥ = i2
Ln
2π
⎣ D RMG2
⎦ 2π
RMG2
Entonces:
λ 2 µ 0 D
L 2 = = Ln
i2
2π
RMG2
Así:
2
µ 0 D
Ln
H/m
π RMG RMG
L T = L 1 + L 2 = [ ]
2 1 2
(2.32)
Si en particular los conductores son idénticos (r 1 = r 2 ), los Radios Medios Geométricos también serán
iguales, es decir: RMG 1 = RMG 2 = RMG; y por tanto:
µ
L T = 0 D
∗10 3 Ln [ H/km]
π RMG
La reactancia inductiva será: X L = ωL; con lo cual:
Y sí r 1 = r 2 :
X
LT
X
L1
X
ωµ
=
X
0
X
L1
ωµ
=
LT
2π
LT
0
ωµ 0
=
2π
∗10
2π
ω µ 0
=
2π
∗10
3
ωµ
=
3
Ln
Ln
D
RMG
D
RMG
1
D
Ln
RMG RMG
1
2
D
Ln
RMG RMG
0
∗10
π
3
1
2
2
D
Ln
RMG
1
2
[ Ω/m]
[ Ω/km]
[ Ω/m]
[ Ω/km]
[ Ω/km]
(2.33)
2.4.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra una línea trifásica de
distribución equilátera:
i 3
2
3
D s
D s
i 1
i 2
1
D s
Figura 2.8: Línea Trifásica de Disposición Equilátera (Simétrica)
Por (2.26): i 1 + i 2 + i 3 = 0; además de la figura D 12 = D 13 = D 23 = D s. Ahora, si en (2.30), se hace n = 3, se
puede escribir:

µ 0 ⎡
λ 1 = ⎢i
π ⎣
De donde:
Además:
λ
2
Ln
1
RMG
+ i
Ln
1
D
+ i
Ln
1
D
⎤ µ 0 ⎡
⎥ = ⎢i
⎦ 2π
⎣
Ln
1
RMG
+ (i
+ i
) Ln
1
D
⎤ µ 0 Ds
⎥ = i1
Ln
⎦ 2π
RMG
1
2
3
1
2 3
2 1
s
s
1
s
1
µ 0 ⎡
= ⎢i
π ⎣
Ln
1
D
+ i
Ln
L
1
1
RMG
µ 0 Ds
= Ln [ H/m]
2π
RMG
(2.34)
+ i
Ln
1
D
1
⎤ µ 0
⎥ = i
⎦ 2π
Ds
Ln
RMG
L
µ 0 Ds
= Ln
2π
RMG
1
2
3
2
2
2 s
2
s
2
2
⇒
[ H/m]
µ 0 ⎡ 1 1
1 ⎤ µ 0 Ds
µ 0 Ds
λ 3 = ⎢i1
Ln + i2
Ln + i3
Ln ⎥ = i3
Ln ⇒ L 3 = Ln [ H/m]
2π
⎣ Ds
Ds
RMG3
⎦ 2π
RMG3
2π
RMG3
Si se cumple que r 1 = r 2 = r 3 ⇒ RMG 1 = RMG 2 = RMG 3 = RMG ⇒ L 1 = L 2 = L 3 = L; De modo que:
µ 0 Ds
ω µ 0 Ds
L= Ln [ H/m] ⇒ XL
= Ln [ Ω/m/fase]
2π
RMG
2π
RMG
(2.35)
µ 0 3 Ds
ω µ 0 3 Ds
L= ∗10
Ln [ H/km] ⇒ XL
= ∗10
Ln [ Ω/km/fase]
2π
RMG
2π
RMG
En que como la línea tiene un solo conductor por fase, a estos valores es usual llamarlos inductancia y
reactancia inductiva “por fase”.
2.4.3: Línea Trifásica con Transposiciones: La disposición equilátera de los conductores en una línea,
es poco frecuente en la práctica por problemas constructivos. Lo habitual es que las líneas de alta tensión
sean de disposición asimétrica. En estas condiciones, los flujos enlazados por cada conductor serán
diferentes entre sí, por lo que la caída de tensión será distinta en cada fase y el sistema operará en
condiciones desequilibradas, generando problemas de interferencia inductiva en líneas de
comunicaciones adyacentes. Sin embargo, es posible determinar una inductancia para cada conductor,
haciendo algunas aproximaciones razonables. Para evitar los trastornos señalados, se recurre al
mecanismo de transposición que consiste en cambiar cíclicamente la posición que ocupan los
conductores a lo largo de toda la línea, de modo de asegurarse que cada uno de los conductores ocupe
las tres posiciones posibles durante un tercio o múltiplo de éste de la longitud total de la línea. La figura
siguiente ilustra este mecanismo.
I II III
2
1
3
47
1
2
3
1
2
3
l/3 l/3 l/3
Figura 2.9: Línea Trifásica con Transposiciones
l = largo total de la línea
Este mecanismo de transponer las líneas permite calcular un valor promedio del flujo enlazado por cada
conductor, evaluándolo, parcialmente, en cada uno de los ciclos de transposición. Así, para el primer
tramo, de (2.30) con n = 3, se tiene:

48
µ 0 ⎡ 1
1 1 ⎤
λ1(
I) = ⎢i1
Ln + i2
Ln + i3
Ln ⎥
2π
⎣ RMG1
D12
D13
⎦
En el segundo tramo del ciclo de transposición, para el mismo conductor “1”, se tiene:
µ 0 ⎡ 1
1 1 ⎤
λ1(
II) = ⎢i1
Ln + i2
Ln + i3
Ln ⎥
2π
⎣ RMG1
D23
D21
⎦
En el tercer tramo, para el mismo conductor “1”, se puede escribir:
µ 0 ⎡ 1
1 1 ⎤
λ1(
III) = ⎢i1
Ln + i2
Ln + i3
Ln ⎥
2π
⎣ RMG1
D31
D32
⎦
Entonces, el promedio del flujo enlazado por el conductor 1, será;
1
λ 1 prom.
= [ λ1(I)
+ λ1(II)
+ λ1(III)
]
3
Reemplazando los valores del flujo enlazado para cada uno de los tres tramos, y considerando que la
distancia entre conductores es un escalar, por tanto D ij = D ji; se tiene:
1 µ 0 ⎡ 1
1
1 ⎤
λ1prom
. = ⎢3i1
Ln + I2
Ln
+ i3
Ln
⎥
3 2π
⎣ RMG1
D12D23D31
D13D21D
32 ⎦
µ 0 ⎡
⎤
λ1
prom 1
1
1
. = ⎢3i1Ln
+ ( i2
+ i3
Ln
⎥
3 2π
⎣ RMG
)
1
D12D13D23
⎦
Pero por (2.26): i 1 +i 2 + i 3 = 0 ⇒ i 1 = -(i 2 + i 3 ). Por lo tanto, reemplazando (i 2 + i 3 ) en la última
expresión, se puede escribir:
3
µ
D D D
0 ⎡ 1 1 1 ⎤ µ 0
12 13 23
λ 1 prom. = i1⎢
Ln - Ln
⎥ = i1
Ln
[ Weber/m]
(2.36)
2π
⎣ RMG1
3 D12D13
D23
⎦ 2π
RMG1
Por lo tanto:
λ1prom.
µ 0 DMG
L1
= = Ln [ H/m]
i1
2π
RMG
(2.37)
1
Donde se ha definido, Distancia Media Geométrica (DMG) entre conductores, como:
DMG = 3 D12D13D23
[m] (2.38)
Realizando el mismo análisis para los conductores 2 y 3, se encuentra que sí: r 1 = r 2 = r 3 = r; entonces
RMG 1 = RMG 2 = RMG 3 = RMG; por tanto: L 1 =L 2 = L 3 = L y con ello, la reactancia inductiva, será:
X
L
ωµ 0 3 DMG
= ω L = ∗10
Ln [ Ω/km]
2π
RMG
(2.39)
Ejemplo 2.3: Calcular la inductancia y reactancia inductiva de la línea que se muestra en la figura. Los
conductores son macizos, de cobre Nº 2 AWG y la línea está convenientemente transpuesta.
1 2 3
0,7 0,7
Figura 2.10: Línea Trifásica de Disposición Horizontal del Ejemplo 2.3.
Solución: De acuerdo con la tabla, el diámetro del conductor es de 6,54 mm. De donde su RMG, será

,54
2
tanto su permeabilidad relativa µ r = 1.
1
6 3
RMG = r e -1/4 −
= e
4
-
= 2,5467 [ mm] = 2,5467 ∗10
[ m]
De la figura: D 12 = D 23 = 0,7 [m]
D 13 =2 * 0,7 =1,4 [m]
Entonces, de (2.37):
−7
3 2
4 0,7 ∗14
,
4
-3
π∗10
2π
L = 1,1695 [mH/km]
3
-
L = ∗10
Ln
= 2∗10
Ln 346,
3118 = 0,0011695 [ H/km]
2,5467 ∗10
49
; ya que el material es cobre, por
-3
Con lo cual, la reactancia inductiva de la línea será: X L = ω L = 2π ∗ 50 ∗1,1695
∗10
= 0,3674 [ Ω/km]
2.4.4: Concepto de Distancia Media Geométrica: En el cálculo de inductancias y capacidades de
líneas, cuyas fases están formadas por varios conductores, resulta práctico emplear los conceptos de
radio medio geométrico y Distancia Media Geométrica (DMG).
- Distancia Media Geométrica de un punto a otros puntos: Se define la DMG de un punto “p” a otros
puntos. 1,2,....,n como la raíz n-ésima del producto de las distancias entre el punto “p” y los restantes n
puntos. Es decir:
DMG = n D D ⋅ ⋅ ⋅
(2.40)
1 2 Dn
La DMG de un punto a una circunferencia, se tiene si los puntos están ubicados sobre ella y su número
tiende a infinito.
- Distancia Media Geométrica de un punto a una superficie: Si se divide la superficie en un gran
número de elementos iguales y se calcula la DMG del punto a cada elemento de superficie, la DMG del
punto a esos elementos de superficie está dado por (2.40). Si el número de elementos tiende a infinito, se
tiene el concepto de DMG de un punto a una superficie; así :
DMG
lim
= n
A la sup. n →∝
D
1
D
2
⋅ ⋅ ⋅
D
n
- Distancia Media Geométrica entre dos superficies: Supongamos dos superficies A 1 dividida en m
elementos y otra A 2 en m’ elementos. La DMG entre ambas superficies, se define como la raíz mm’-ésima
de los mm’ productos de las distancias entre los elementos de A 1 y A 2 , cuando el número de ellos tiende
a infinito. La figura siguiente muestra algunas distancias entre elementos.
1
D 11’
D 12’
D 21’
D 13’
1’
2’
D 22’
D 23’
2
3’
Figura 2.11: Algunas Distancias entre Elementos de dos Superficies.

DMG =
⎡
⎢
lim ⎢
⎢
⎣
m→∝
m' →∝
m,m'
∏
i=
1
i' = 1
D
ii'
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
1
mm'
50
(2.41)
- Distancia Media Geométrica propia de una superficie: Es el límite de la DMG entre todos los pares
de elementos en que se ha dividido la superficie considerada, cuando el número de ellos tiende a infinito.
Se demuestra que para una superficie circular de radio “r”, su distancia media geométrica resulta igual a r
e - 1/4 .
Este valor coincide con la definición de RMG para un conductor cilíndrico de material homogéneo no
magnético. Habitualmente, en el caso de conductores compuestos de varios hilos, la distancia media
geométrica propia, se denomina Radio Medio Geométrico del conductor.
2.4.5: Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y
DMG: En general los conductores de las líneas de transmisión no son macizos sino cableados, formados
por varias hebras trenzadas y en consecuencia no tienen la misma inductancia que uno macizo del
mismo diámetro. Por ello es necesario disponer de un método de cálculo que posteriormente se pueda
aplicar a otras configuraciones de líneas.
2.4.5.1: Línea Monofásica Multifilar: Considérese una línea monofásica multifilar, como la que se
muestra en la figura siguiente. El conductor a, de fase, se supone compuesto de n hebras idénticas entre
sí y el b, de retorno, formado por m hilos iguales entre sí, pero que pueden ser distintos de los que
forman el conductor a. Ambos conductores transportan la misma corriente instantánea “i”.
i b = - i
i a = i
Conductor a: “n hilos
Conductor b: “m” hilos
Figura 2.12. Línea Monofásica Multifilar.
Si se asume una distribución uniforme de corriente, cada hebra del conductor a, transportará una
corriente i/n y cada uno de los hilos de b transportará una corriente i/m.
Usando las ecuaciones (2.30), se tendrá para el hilo “1”, perteneciente al conductor a, que el flujo
enlazado por éste será:
λ
1
µ 0 i ⎡ 1 1
1 ⎤ µ 0 i ⎡ 1 1
1
= ⎢Ln
+ Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln ⎥ - ⎢Ln
+ Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln
2π
n ⎣ RMG1
D12
D1n
⎦ 2π
m ⎣ D11'
D12'
D1m
µ
=
D
D
⋅ ⋅ ⋅
D
m
m
0
11' 12' 1m 0
11' 12'
i Ln
= i Ln
2π
n RMG 2 n
1D12
⋅ ⋅ ⋅ D π
1n
D11D12
⋅ ⋅ ⋅
En que se ha denominado D 11 = RMG 1 Distancia Media Geométrica Propia del hilo “1”
µ
D
D
⋅ ⋅ ⋅
D
D
1m
1n
⎤
⎥ =
⎦

51
Con ello:
m
λ1
µ 0
D11'
D12'
⋅ ⋅ ⋅ D1m
L 1 = = n Ln
i 2π
n D11D12
⋅ ⋅ ⋅ D1n
n
Análogamente, para una hebra “j” cualquiera, se tendrá:
λ
m
j µ D j1' D j2' ⋅ ⋅ ⋅ D
0
jm
L j = = n Ln
i 2π
n D j1D
j2 ⋅ ⋅ ⋅ D jn
n
Entonces, la inductancia promedio de cada hebra será
L prom. =
n
∑
j=
1
n
L
j
(2.42)
(2.43)
Adicionalmente, como los n hilos del conductor “a”, están conectados en paralelo, la inductancia total de
dicho conductor, será:
L a =
L prom.
n
n
∑
j=
1
L
j
= (2.44)
2
n
Reemplazando en esta última expresión L j , según (2.42) y teniendo en cuenta que todas las hebras del
conductor cableado “a” son iguales entre sí, (es decir r 1 = r 2 = ... = r n ; por lo cual RMG 1 = ... = RMG n = D jj ), se
tiene:
µ
n m ⋅ ⋅ ⋅
0 1 D j1' D j2' D jm
L a = ∑Ln
=
2π
n n D D ⋅ ⋅ ⋅ D
j=
1
j1
j2
mn
µ
D11'
⋅ ⋅ ⋅ D1m
⋅ ⋅ ⋅ D
0
j1' ⋅ ⋅ ⋅ D jm ⋅ ⋅ ⋅ D
L a = Ln
2π
n
2 n
RMG D12
⋅ ⋅ ⋅ D1n
D21
⋅ ⋅ ⋅ D2n
⋅ ⋅ ⋅ D j1 ⋅ ⋅ ⋅ D jn ⋅ ⋅ ⋅ D
En que se ha retornado a la definición de Radio Medio Geométrico.
L
D
jn
⋅⋅⋅D
⋅⋅⋅D
⋅⋅⋅D
⋅⋅⋅D
⋅⋅⋅D
n1'
⋅ ⋅ ⋅
(n−1)1
⋅ ⋅ ⋅
D
nm
D
(n−1)n
D
n1
⋅ ⋅ ⋅
D
n(n−1)
mn
µ 0
11'
1m j1'
jm n1'
nm
a = Ln
(2.45)
2π
n
2 n 2 2 2 2 2 2 2
RMG D12
⋅⋅⋅D1nD
23 ⋅⋅⋅D2nD34
⋅⋅⋅D3n
⋅⋅⋅D
( n−1)
n
Si en esta expresión, se define como Distancia Media Geométrica entre los conductores “a” y “b”:
DMG ab = mn D
11'
⋅ ⋅ D1m
D21'
⋅ ⋅ ⋅ D2m
⋅ ⋅ ⋅ Dn1'
⋅ ⋅ ⋅ Dnm
⋅ (2.46)
Y al denominador, se le denomina RMG del conductor cableado “a”, o bien DMG propia del conductor
cableado “a”. Es decir:
RMG a = n 2 n 2 2 2
(2.47)
RMG D ⋅ ⋅ ⋅ D ⋅ ⋅ ⋅ D
12
1n
(n−1)n
La expresión (2.45), se puede escribir como:
µ 0 DMGab
L a = Ln [H/m/conductor]
2π RMG
(2.48)
a
Repitiendo el procedimiento para el conductor “b”, se tendrá:
µ 0 DMGab
Lb
= Ln [H/m/conductor]
2π
RMG
(2.49)
b

52
Finalmente la inductancia total será:
2
µ 0 DMGab
Ln
H/m
2π
RMGaRMGb
La reactancia inductiva a su vez, será:
ωµ 0 DMGab
XLa
= Ln
Ω/m/conductor
2π
RMG
L = L a + L b = [ ]
X
L
ωµ 0
=
2π
a
DMGab
Ln
RMG RMG
[ ]
a
2
b
[ Ω/m]
(2.50)
(2.51)
El RMG de los conductores comerciales, se encuentra en algunas tablas y en otras, se establece, en
lugar de éste, la denominada “componente de conductor”, que está directamente ligada con el RMG,
como se aprecia en las tablas 2.2 a 2.5 de este mismo capítulo.
Mediante el empleo de (2.47), se puede encontrar el RMG de conductores cableados homogéneos, en
forma aproximada. En caso de conductores ACSR, es posible obtener un valor aproximado del RMG,
considerando solamente las hebras de aluminio.
Ejemplo 2.4: Calcular el RMG de un conductor de cobre de 7 hebras de igual radio “r” que se muestra en
la figura siguiente:
r
1
6
2
7
Figura 2.13: Disposición de un Conductor Cableado de 7 Hebras.
5
4
Solución: De acuerdo con (2.47), y llamando RMG 1 al radio medio geométrico de cada hebra, se tiene:
3
RMG =
49 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
RMG1D12D13D14D15D16D17D23D24D25D26D27D34D35D36D37D
45 D 46 D 47 D56D57D
67
Como el conductor es de cobre;
µ r = 1; por lo tanto el Radio Medio Geométrico de cada hebra será:
RMG 1 = r e –1/4
= 0,7788 r
Pero de la figura:
D 12 = D 23 = D 34 =D 45 = D 56 = D 61 = D 17 = D 27 = D 37 = D 47 = D 57 = D 67 = 2 r
D 13 = D 24 = D 35 = D 46 = D 51 = D 62 = 2 r 3
D 14 = D 25 = D 36 = 4 r
Entonces:
49 7 24
RMG = (0,7788r) (2r) (2r
12 6
3) (4r)
49 16 49
= 3,56578916 ∗10
r = 2,1767 r
Si se considera el radio exterior del conductor, r e , (que de acuerdo con la figura 2.13 es de 3 r), se puede
establecer:
RMG = 0,7256 r e
Donde, como ya se ha mencionado, r e es el radio exterior del conductor. A modo de ilustración, para
establecer algunas órdenes de magnitud, se han encontrado los siguientes valores de RMG para
conductores de material homogéneo formado por distintos números de hebras, en función del r e .

53
Tabla Nº 2.6: FACTORES EMPIRICOS PARA EL CALCULO DEL RMG DE ALGUNOS
CONDUCTORES.
Conductores Homogéneos
Conductores ACSR
Tipo de Conductor RMG Tipo de Conductor RMG
Macizo 0,7788 r e 30 hebras (2 capas) 0,8257 r e
7 hebras 0,7256 r e 26 hebras (2 capas) 0,8091 r e
19 hebras 0,7576 r e 52 hebras (2 capas) 0,8103 r e
37 hebras 0,7682 r e
61 hebras 0,7721 r e
91 hebras 0,7738 r e
127 hebras 0,7756 r e
Nota Importante: Como todo valor empírico, estos valores son aproximados y se usarán solamente
mientras se encuentra una manera analítica de calcular el RMG de conductores cableados, a partir de las
tablas de conductores, proporcionadas por los fabricantes.
2.4.6: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposiciones: Las líneas que tienen esta
configuración están formados por dos circuitos independientes trifásicos, que van montados sobre la
misma estructura (postación común) o bien que corren paralelamente a corta distancia con estructuras
independientes (ruta común). En cualquiera de ambas alternativas, cada fase está formada por dos
conductores que están conectados en los extremos de la línea. La figura siguiente muestra una
configuración en postación común y una alternativa de transposición. Esta conexión permite,
razonablemente, suponer que la corriente de cada fase, se reparte uniformemente y por tanto es posible
aplicar el método de la DMG y RMG.
Fase a
1
1’
3
3’
2
2’
Fase b 2
2’
1
1’
3
3’
Fase c
3
3’
2
2’
1
1’
1
2
3
1’
2’
3’
l/3 l/3 l/3
Figura: 2.14: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposición en Postación Común
El proceso de cálculo es análogo al caso de un simple circuito y por tanto se evaluará el flujo enlazado
por el conductor 1 en cada tramo y se encontrará su valor promedio, a continuación se repetirá para el
conductor 1’, con la finalidad de encontrar, finalmente la inductancia de la fase “a”. Se tiene:
µ 0 ⎡
λ1(
I) = ⎢i1
Ln
2π
⎣
1
RMG
1
+ i
2
Ln
1
D
12
+ i
3
Ln
1
D
13
'
1
+ i Ln
1
D
11'
+ i
'
2
Ln
1
D
12'
+ i
'
3
Ln
1
D
13'
⎤
⎥
⎦

54
Para los tramos II y III, se tendrá:
µ 0 ⎡
λ1(
II) = ⎢i1
Ln
2π
⎣
µ 0 ⎡
λ1(
III) = ⎢i1
Ln
2π
⎣
1
RMG
2
1
RMG
3
+ i
2
+ i
2
Ln
Ln
1
D
23
1
D
31
+ i
3
+ i
3
Ln
Ln
1
D
21
1
D
32
'
1
+ i Ln
'
1
+ i Ln
En que nótese que se ha asociado el RMG, con la posición que ocupa el conductor en cada uno de los
ciclos de transposición. Además, como los conductores que forman cada fase son iguales entre sí, se
tendrá:
1
D
22'
1
D
33'
+ i
'
2
+ i
'
2
Ln
Ln
1
D
23'
1
D
31'
+ i
'
3
+ i
'
3
Ln
Ln
1
D
21'
1
D
32'
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
Y también: i a + i b + i c = 0
El flujo enlazado promedio será:
i
i 1 = i’ 1 = a
2
i
i 2 = i’ 2 = b
(2.52)
2
i
i 3 =i’ 3 = c
2
1
λ 1prom.
= 1 1 λ1
3
1 µ 0 ⎛ 1
λ1prom.
= ⎜Ln
Ln
3 2
+
π ⎝ RMG1D11'
⎛
+ ⎜
Ln
⎝ D
[ λ (I) + λ (II) + (III)]
13
1
D D
21
32
+ Ln
D
1
RMG
13'
2
D
1
D
21'
22'
D
1
+ Ln
RMG D
32'
⎞ ic
⎟
⎠ 2
3
33'
⎞ ia
⎟
⎠ 2
⎛
+ ⎜
Ln
⎝ D
12
1
D D
23
31
+ Ln
D
12'
1
D D
23'
31'
⎞ ib
⎟
⎠ 2
+
Análogamente para el conductor 1’, se tendrá en cada uno de los tres tramos:
µ 0 ⎡ 1
λ1'
( I) = ⎢i1
Ln
2π
⎣ D
µ 0 ⎡
λ1'
( II) = ⎢i1
Ln
2π
⎣
λ
µ 0 ⎡
III = ⎢i1
Ln
2π
⎣
1' ( )
1'1
1
D
2'2
1
D
3'3
+ i
2
+ i
+ i
2
2
Ln
Ln
Ln
1
D
1'2
1
D
2'3
1
D
3'1
+ i
3
+ i
+ i
Ln
3
3
Ln
Ln
1
D
1'3
1
D
2'1
1
D
El promedio del flujo enlazado por el conductor 1’será:
3'2
+ i
1'
'
1
Ln
+ i Ln
'
1
+ i Ln
1
RMG
1
1
RMG
1
RMG
2
3
+ i
2'
+ i
+ i
'
2
'
2
Ln
Ln
Ln
1
D
1'2'
1
D
2'3'
1
D
3'1'
+ i
3'
+ i
+ i
'
3
'
3
Ln
Ln
Ln
1
D
1'3'
1
D
2'1'
1
D
3'
2'
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
λ prom. =
1'
1
3
µ
0
2π
⎛
+ ⎜
Ln
⎝ D
⎛
⎜
Ln
⎝
1'3
1
D D
2'1
1
RMG D
3'2
1
1'1
+ Ln
D
1
+ Ln
RMG D
1'3'
1
D
2'1'
D
2
3'2'
2'2
⎞ ic
⎟
⎠ 2
1
+ Ln
RMG D
3
3'3
⎞ ia
⎟
⎠ 2
⎛
+ ⎜
Ln
⎝ D
1'2
1
D
2'3
D
3'1
+ Ln
D
1'2'
1
D
2'3'
D
3'1'
⎞ ib
⎟
⎠ 2
+
El flujo enlazado por cualquiera de los conductores de la fase “a”, 1 ó 1’, será
1
λ 1 = [ λ1prom
+ λ1'
prom]
2

Reemplazando en esta relación las expresiones anteriores se puede escribir:
µ 0 1 1 ⎛
1
⎞
1
λ1
= ⎜2 Ln
⎟ ia
+ Ln
ib
+ i
2π
4 3
RMG1D11'
RMG2D22'
RMG3D
⎝
33' ⎠ D12D23D31
1
1
+ Ln
( ib
+ ic
) + Ln
( ib
+ ic
)
D D D
D D D
12'
23'
31'
1'2
2'3
3'1
55
( ) + Ln
( i + i )
Pero como: I b + i c = - i a
⎡
0 1
1
1
1 Ln
Ln
ia
2 3 4 2 2 2 2 2 2 4
RMG1D11'
RMG2D22'
RMG3D
D
33'
12D23D31D12'
D23'
D31'
D1'2D
2'3D3'1D
1'2' D2'3'
D ⎥ ⎥ ⎤
µ
λ = ⎢
−
π ⎢
⎣
3'1'
⎦
Llamando:
4 2 2
RMG a = RMG 1D
11' = RMG1D11'
4 2 2
RMG b = RMG 2D22'
= RMG2D22'
RMG de la fase “a”
RMG de la fase “b” (2.53)
4 2 2
RMG c = RMG 3D33'
= RMG3D33'
RMG de la fase “c”
c
D
1'2'
1
D
2'3'
D
3'1'
b
c
+
DMG ab = 4 D
DMG ac = 4 D
DMG bc = 4 D
12D12'
D1'2D1'2'
13D13'
D1'3D1'3'
23D23'
D2'3D2'3'
DMG entre fases “a” y “b”
DMG entre fases “a” y “c” (2.54)
DMG entre fases “b” y “c”
Se tiene:
DMG DMG DMG
DMGe
λ 1 =
ia
Ln
(2.55)
RMG
3
µ 0
ab ac bc µ 0
iaLn
=
2π
3 RMG
2
aRMGbRMG
π
c
e
Donde: DMG e : Distancia Media Geométrica Equivalente y RMG e : Radio Medio Geométrico equivalente,
definidos como:
DMG e = 3 DMGabDMGacDMGbc
(2.56)
RMG e = 3 RMG RMG RMG
Finalmente:
µ
DMG
DMG
0
e
0
e
L a = Ln
⇒ X Ln [ Ω/m/fase]
La
ωµ
a
2π
RMGe
2π
RMGe
µ 0 DMGe
ωµ 0 DMGe
Ln ⇒ XL1
= Ln Ω/m/conductor
(2.57)
π RMG
π RMG
L 1 = L 1’ = [ ]
e
e
b
c
Si se realiza un análisis similar para los conductores que forman las fases “b” y “c”, se encuentran las
mismas expresiones anteriores.
Nótese que en el cálculo realizado, se ha considerado el efecto mutuo que aparece entre los conductores
de los dos circuitos. Cuando las distancias son grandes entre ambos circuitos (ruta común), es usual
despreciar este efecto de inducción mutua y en ese caso se calcula la inductancia como en el caso de un
circuito simple con transposiciones y luego, para encontrar los valores por fase, obtenerlos como dos
conductores en paralelo.
Ejemplo 2.5: Calcular la reactancia inductiva por fase de la línea de transmisión que se muestra en la
figura. La línea opera a 220 kV, 50 cps y tiene una longitud de 100 km. Los conductores son ACSR 954
MCM 54/7. La línea se supone transpuesta en todo su recorrido y es simétrica con respecto a la vertical.
Las distancias están expresadas en metros.

56
1 1’ Fase a
D 11’ = 10,82 [m]
D 12 = 6,74 [m]
D 23 = 6,74 [m]
D 12’ = 12,75 [m]
D 13’ = 17,29 [m]
2
3
2’
5,41 3’
Fase b
Fase c
Circuito A
Circuito B
Figura 2.15: Línea de Transmisión de Simetría Vertical en Doble Circuito del Ejemplo 2.5.
ωµ
DMG
0 3
e
Solución: De (2.57): X L = ∗10
Ln [ Ω / km / fase]
DMG e = 3 DMG
ab
2π
RMGe
DMG
ac
DMG
bc
DMG ab = 4
4 2 2
D D D = D D = D D = 6,74 ∗12,75
9,27 [ m]
D12 12' 1'2 1'2' 12 12' 12 12'
=
DMG bc = DMG ab = 9,27 [m]
DMG ac = 4 D 13 D13'
D1'3D
1'3' = D13D13'
= 17,29 ∗13,48
= 15,27 [ m]
DMG e = 3 9,27 ∗ 9,27 ∗15,27
= 10,95 [ m]
De (2.5 3): RMG a = RMG 1 D 11'
El radio medio geométrico, se obtendrá, por ahora, de la expresión empírica de la tabla 2.6, en tanto
encontremos una expresión analítica para calcularlo. De acuerdo a lo allí indicado, para un conductor
ACSR, 54 hebras el RMG = 0,8103 r e .
De la tabla de conductores ACSR, el “Cardinal” corresponde al de la línea del ejemplo, con un diámetro
de 30,4 [mm], por lo cual su radio es de 15,2 [mm]. Entonces: RMG = 0,8103 * 15,2 * 10 -3 = 0,0123 [m]
Así, de la simetría de la línea, se tiene:
RMG a = RMG b = RMG c = D = 0,0123 ∗10,82
0,3651 [m]
RMG 1 11'
=
De (2.56): RMG e = 3 RMG aRMGbRMGc
= 0,3651 [m]
De (2.57): X La =
X
La
= 200π ∗10
−
ωµ 0 3 DMGe
2π ∗ 50 ∗ 4π ∗10
* 10 Ln =
2π
RMG
2π
−4
10,95
Ln
0,3651
e
= 0,2137
[ Ω/km/fase]
7
∗10
3
Ln
10,95
0,3651

2.47: Línea Trifásica en Circuito Simple con un Haz de dos Conductores: La figura siguiente muestra
una línea con estructura tipo portal, de dos conductores por fase:
57
1 1’
s
fase “a”
2
s
fase “b”
2’
3 3’
s
fase “c”
Figura 2.16. Línea trifásica con dos Conductores en Haz.
Como la línea es similar al caso de una línea en doble circuito, se usarán las expresiones encontradas en
el apartado anterior, con las particularizaciones del caso.
Los conductores que constituyen el haz están fijados a la misma cadena de aisladores y conectados
eléctricamente en paralelo en cada una de las estructuras. En general estas líneas operan en EAT (sobre
220 kV) y se asumirá que están transpuestas en la misma forma ya revisada.
Entonces se tiene; de (2.54)
RMG a =
4 RMG D
2 11 = RMG s
'
Donde: RMG: Radio Medio Geométrico de los conductores.
2
(2.58)
Por la simetría de la línea: RMG a = RMG b = RMG c ;
Luego:
RMG e = 3 RMG RMG = ( RMG ) RMG s
RMG
3 3
a b c
a =
(2.59)
De (2.54)
DMG ab = 4 D 12 D12'
D1'2D1'2'
=
4
D (D + s) (D - s)D
(2.60)
Pero considerando que D >> s
Entonces:
DMG ab = D
DMG bc = D
DMG ac = 2 D
Así:
DMGe = 3
3 3 3
abDMGbcDMGac
= 2D D 2
DMG =
D − s ≈ D + s ≈ D
(2.61)
Recordando que en el caso de una línea en doble circuito se tenía para la reactancia inductiva:
(2.62)

58
µ
DMG
0 3
e
X L = ωL = 2π f L = 2 πf
∗10
Ln
[ Ω/km/fase]
X
L
2π
= 4π ∗10
−4
DMG
f Ln
RMG
RMG
e
e
e
[ Ω/km/fase]
(2.63)
Por tanto, para el caso de dos conductores por fase será:
DMGe
−
X L = 4π ∗10 4 f Ln
[ Ω/km/fase]
RMG s
(2.64)
En ésta, como en las anteriores relaciones encontradas para la inductancia como para la reactancia
inductiva, tanto la DMGe, como el RMGe están expresados en las mismas unidades, metro en el caso del
Sistema MKS Racionalizado. .
2.4.8. Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en el vértice de un
triángulo equilátero como se muestra en la figura siguiente, separados entre sí una distancia “s”.
1
s
s
Figura 2.17: Haz de Tres Conductores:
1’’ s 1’
Si recordamos que según (2.47) el RMG está dado como: RMG =
De acuerdo a la figura 2.17, se tiene: D 11’ = D 11’’ = D 1’1’’ = s
n
2 n 2 2 2
RMG 1 D12...D1n...
D(n-1) n
Así: RMG e =
9 3 6
3 2
RMG s = RMG s ; con lo cual, según (2.63)
DMG
DMG
− 4
e
−4
e
X L = 4 π ∗10
f Ln = 4π ∗10
f Ln
[ Ω/km/fase]
RMG
e
3 2
RMG s
(2.65)
2.4.9: Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores se ubican en los vértices de un
cuadrado de lado “s”. Como se muestra en la figura siguiente, donde análogamente el caso de tres
conductores por fase, se tiene:
D 11’ = D 1’1’’ = D 1’’1’’’ = D 1’’’1 = s
D 11’’ = D 1’1’’’ = s 2
1 s 1’
s
s 2
s
Figura 2.18: Haz de Cuatro Conductores
1’’’
s
1’’
Entonces: RMGe =
16 4 8 4
4 3
RMG s (s 2) = RMGs 2 Reemplazando en (2.64):
DMG
− 4
e
X L = 4 π ∗10
f Ln
[ Ω/km/fase]
4 3
RMGs
2
(2.66)

2.4.10: Uso de Tablas para el Cálculo de la Reactancia Inductiva: La reactancia inductiva por
conductor de una línea monofásica o por fase de una línea trifásica de configuración simple, simétrica o
asimétrica transpuesta, se puede escribir en general como:
59
ωµ
DMG
RMG
0
X L = Ln [ Ω/unidad de longitud]
2π
(2.67)
En que la unidad de longitud dependerá del sistema de medida empleado y debe ser consistente con el
valor de la contante µ 0 . Esta expresión se puede escribir también como:
X L = Xa + Xd [Ω/unidad de longitud] (2.68)
Donde :
ωµ 1
2π
RMG
ωµ 0
Ln DMG
2π
0
Xa = Ln [ Ω/unidad de longitud]
Xd = [ Ω/unidad de longitud]
(2.69)
- Xa: Se interpreta como la reactancia por unidad de longitud, debida al flujo interno del conductor,
hasta una distancia igual a la que se ha expresado el RMG. (Pié, cm, m, etc.) y depende de la
frecuencia y del RMG del conductor y en algunas tablas se le denomina “Componente de Conductor”.
- Xd: Representa la reactancia inductiva del conductor, debido al flujo externo, desde una distancia
entre la unidad de medida del RMG y DMG hasta el valor de la DMG. Este término se conoce como
“factor de separación y depende de la frecuencia y distancia entre conductores.
En los desarrollos realizados anteriormente se ha empleado el sistema MKS racionalizado con la
salvedad de amplificar, la constante por 10 3 para expresar los resultados en [Ω/km] en lugar de [Ω/m]. Por
tanto en general se ha expresado la reactancia inductiva como:
ωµ 0 3 DMG
-4 DMG
XL
= ∗10
Ln = 4π ∗10
f Ln
2π
RMG
RMG
Entonces los valores de Xa y Xd, serán respectivamente:
[ Ω/km]
1
RMG
−
Xa = 4 π ∗10 4 f Ln [ Ω/km]
−4
Xd = 4π ∗10
f Ln DMG [ Ω/km]
(2.70)
Los valores de Xa se encuentra en la tabla de características de los conductores y los valores de Xd, se
encuentran en la tabla de componente de distancia o factor de separación. De (2.70): Se puede despejar
el valor del RMG, tal que:
1
Ln
RMG
Xa ∗10
4
Xa
-
= ⇒ RMG = e
4πf
[ m]
(2.71)
−4
4πf
∗10
Nota: Esta será la expresión analítica para encontrar el RMG de los conductores.
- Caso de dos Conductores por Fase: En el evento que la línea este formado por un haz de dos
conductores. De ( 2.64):
−4
DMGe
-4 ⎡ 1 1 1 1
⎤
X L = 4π ∗10
f Ln = 4π ∗10
f Ln ⎢ Ln + Ln + Ln DMGe
⎥ =
RMG s
⎣2
RMG 2 s
⎦
X L = 4 π ∗10
−4
⎡ 1
f ⎢ Ln
⎣2
1
RMG
1
- Ln s
2
+ Ln DMG
e
⎥ ⎦
⎤

60
Con:
1
2
1
2
X L = Xa - Xs Xd [ Ω/km/fase]
+ (2.72)
1
RMG
-4
Xa = 4 πf
∗10
Ln [ Ω/km]
-4
Xs = 4 πf
∗10
Ln s [ Ω/km]
-4
Xd = 4 πf
∗10
Ln DMG [ Ω/km]
e
(2.73)
Así se puede escribir, análogamente a (2.72)
1 ⎛ 1 ⎞
X L = Xa + ⎜ Xd - Xs ⎟ [ Ω/km/fase]
(2.74)
2 ⎝ 2 ⎠
- Caso de Tres Conductores por Fase: Esta situación, considera que cada una de las fases está
formado por un haz de tres conductores, como se estableció en 2.4.8. De (2.65):
X L = 4
πf
∗10
−4
Ln
DMG
e
3 2
RMG s
= 4πf
∗10
−4
⎡ 1
⎢ Ln
⎣3
1
RMG
2
- Ln s
3
+ Ln DMG
e
⎥ ⎦
⎤
1
3
⎛ 2 ⎞
+ (2.75)
⎝ 3 ⎠
X L = Xa ⎜ Xd - Xs⎟
[ Ω/km/fase]
- Cuatro Conductores por Fase: Esta situación se ilustró en el apartado 2.4.9. Así de (2.66):
-4 DMGe
−4
⎡ 1 1 3 1
⎤
X L = 4π
f ∗10
Ln
= 4πf
⋅10
⎢ Ln - Ln s - Ln 2 + Ln DMGe
⎥ =
4 3
RMG s 2
⎣4
RMG 4 4
⎦
1 ⎛ 3
⎞
X L = Xa + ⎜ Xd - Xs - 0,0054⎟
[ Ω/km/fase]
(2.76)
4 ⎝ 4
⎠
-4 1
En que el valor constante: 0,0054 = 4 π ∗ 50 ∗10
∗ Ln 2
4
Nota: Si se conoce el valor de Xa en el sistema inglés y se trata de llevar este valor al sistema MKS
racionalizado, con además un cambio de frecuencia desde f 1 (60 cps) a f 2 (50 cps) por ejemplo, se puede
aplicar la relación:
⎛ f ⎞
2
XA = ⎜0 ,6214 ⎟ Xa + 0,00149 f2
⎜ f ⎟
⎝
1 ⎠
[Ω/km] (2.77)
En general el valor de la reactancia inductiva para líneas de alta tensión, fluctúa entre 0,38 y 0,46 [Ω /km],
debido a la poca sensibilidad del factor logarítmico a la variación de magnitudes.
En la página siguiente, Tabla 2.7, se muestra los valores de Xd calculados para distintas distancias:

61
Tabla 2.7: COMPONENTE DE DISTANCIA Xd EN [Ω/km] PARA 50 cps.
Centímetros
Metros 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 --- -0,2894 -0,2458 -0,2203 -0,2022 -0,1882 -0,1768 -0,1671 -0,1587 -0,1513
0,1 -0,1447 -0,1387 -0,1332 -0,1282 -0,1235 -0,1192 -0,1151 -0,1113 -0,1077 -0,1043
0,2 -0,1011 -0,0981 -0,0951 -0,0923 -0,0897 -0,0871 -0,0846 -0,0823 -0,0800 -0,0778
0,3 -0,0756 -0,0736 -0,0716 -0,0697 -0,0678 -0,0660 -0,0642 -0,0625 -0,0608 -0,0592
0,4 -0,0576 -0,0560 -0,0545 -0,0530 -0,0516 -0,0502 -0,0488 -0,0474 -0,0461 -0,0448
0,5 -0,0436 -0,0423 -0,0411 -0,0399 -0,0387 -0,0376 -0,0364 -0,0353 -0,0342 -0,0332
0,6 -0,0321 -0,0311 -0,0300 -0,0290 -0,0280 -0,0271 -0,0261 -0,0252 -0,0242 -0,0233
0,7 -0,0224 -0,0215 -0,0206 -0,0198 -0,0189 -0,0181 -0,0172 -0,0164 -0,0156 -0,0148
0,8 -0,0140 -0,0132 -0,0125 -0,0117 -0,0110 -0,0102 -0,0095 -0,0088 -0,0080 -0,0073
0,9 -0,0066 -0,0059 -0,0052 -0,0046 -0,0039 -0,0032 -0,0026 -0,0019 -0,0013 -0,0006
1,0 0 0,0006 0,0012 0,0019 0,0025 0,0031 0,0037 0,0043 0,0048 0,0054
1,1 0,0060 0,0066 0,0071 0,0077 0,0082 0,0088 0,0093 0,0099 0,0104 0,0109
1,2 0,0115 0,0120 0,0125 0,0130 0,0135 0,0140 0,0145 0,0150 0,0155 0,0160
1,3 0,0165 0,0170 0,0174 0,0179 0,0184 0,0189 0,0193 0,0198 0,0202 0,0207
1,4 0,0211 0,0216 0,0220 0,0225 0,0229 0,0233 0,0238 0,0242 0,0246 0,0251
1,5 0,0255 0,0259 0,0263 0,0267 0,0271 0,0275 0,0279 0,0283 0,0287 0,0291
1,6 0,0295 0,0299 0,0303 0,0307 0,0311 0,0315 0,0318 0,0322 0,0326 0,0330
1,7 0,0333 0,0337 0,0341 0,0344 0,0348 0,0352 0,0355 0,0359 0,0362 0,0366
1,8 0,0369 0,0373 0,0376 0,0380 0,0383 0,0387 0,0390 0,0393 0,0397 0,0400
1,9 0,0403 0,0407 0,0410 0,0413 0,0416 0,0420 0,0423 0,0426 0,0429 0,0432
Centímetros
Metros 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1,0 0 0,0060 0,0115 0,0165 0,0211 0,0255 0,0295 0,0333 0,0369 0,0403
2,0 0,0436 0,0466 0,0495 0,0523 0,0550 0,0576 0,0600 0,0624 0,0647 0,0669
3,0 0,0690 0,0711 0,0731 0,0750 0,0769 0,0787 0,0805 0,0822 0,0839 0,0855
4,0 0,0871 0,0887 0,0902 0,0916 0,0931 0,0945 0,0959 0,0972 0,0986 0,0999
5,0 0,1011 0,1024 0,1036 0,1048 0,1060 0,1071 0,1082 0,1094 0,1104 0,1115
6,0 0,1126 0,1136 0,1146 0,1156 0,1166 0,1176 0,1186 0,1195 0,1204 0,1214
7,0 0,1223 0,1232 0,1240 0,1249 0,1258 0,1266 0,1274 0,1283 0,1291 0,1299
8,0 0,1307 0,1314 0,1322 0,1330 0,1337 0,1345 0,1352 0,1359 0,1366 0,1374
9,0 0,1381 0,1387 0,1394 0,1401 0,1408 0,1415 0,1421 0,1428 0,1434 0,1440
10,0 0,1447 0,1453 0,1459 0,1465 0,1471 0,1477 0,1483 0,1489 0,1495 0,1501
11,0 0,1507 0,1512 0,1518 0,1524 0,1529 0,1535 0,1540 0,1545 0,1551 0,1556
12,0 0,1561 0,1567 0,1572 0,1577 0,1582 0,1587 0,1592 0,1597 0,1602 0,1607
13,0 0,1612 0,1616 0,1621 0,1626 0,1631 0,1635 0,1640 0,1645 0,1649 0,1654
14,0 0,1658 0,1663 0,1667 0,1671 0,1676 0,1680 0,1685 0,1689 0,1693 0,1697
15,0 0,1702 0,1706 0,1710 0,1714 0,1718 0,1722 0,1726 0,1730 0,1734 0,1738
16,0 0,1742 0,1746 0,1750 0,1754 0,1758 0,1761 0,1765 0,1769 0,1773 0,1776
17,0 0,1780 0,1784 0,1788 0,1791 0,1795 0,1798 0,1802 0,1806 0,1809 0,1813
18,0 0,1816 0,1820 0,1823 0,1826 0,1830 0,1833 0,1837 0,1840 0,1843 0,1847
19,0 0,1850 0,1853 0,1857 0,1860 0,1863 0,1866 0,1870 0,1873 0,1876 0,1879
20,0 0,1882 0,1885 0,1889 0,1892 0,1895 0,1898 0,1901 0,1904 0,1907 0,1910
21,0 0,1913 0,1916 0,1919 0,1922 0,1925 0,1928 0,1931 0,1934 0,1936 0,1939
22,0 0,1942 0,1945 0,1948 0,1951 0,1953 0,1956 0,1959 0,1962 0,1965 0,1967
23,0 0,1970 0,1973 0,1976 0,1978 0,1981 0,1984 0,1986 0,1989 0,1992 0,1994
24,0 0,1997 0,1999 0,2002 0,2005 0,2007 0,2010 0,2012 0,2015 0,2017 0,2020
25,0 0,2022 0,2025 0,2027 0,2030 0,2032 0,2035 0,2037 0,2040 0,2042 0,2045

62
2.5. CALCULO DE CAPACIDADES Y REACTANCIAS CAPACITIVAS.
Otro de los parámetros relevantes de las líneas de transmisión, es la reactancia capacitiva, que ofrece un
camino de fuga a las corrientes que circulan por la línea y que es el parámetro dominante de la
admitancia shunt. Para determinarla, es preciso evaluar primeramente la capacidad entre conductores.
Recordemos que al aplicar una diferencia de potencial instantánea a dos conductores separados por una
cierta distancia, éstos adquieren una carga +q(t) y -q(t). El valor absoluto de la carga dependerá de la
diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad “C”, tal que:
C =
q (t)
v(t)
(2.78)
Esta capacidad depende de las dimensiones y configuración geométrica de los cuerpos cargados, de la
posición de ellos respecto a otros cuerpos conductores, de la naturaleza del medio que los separa, es
decir del dieléctrico y de la distancia o posición relativa de un cuerpo con respecto al otro. Un
condensador elemental está constituido por dos cuerpos, tales, que todas las líneas de fuerza comienzan
en uno y terminan en el otro. Así se tiene una capacidad única y ambos cuerpos tienen la misma carga
pero con signos distintos.
Si se tiene un conjunto de cuerpos cargados, no existe una única capacidad y se tendrá un condensador
compuesto y por tanto existirán capacidades parciales. Como ejemplo, considérese el conjunto de
cuerpos cargados que se muestra en la figura siguiente:
+
+
+
+
a
+
+
+
+
-
-
-
-
2
+
+
+
+
+
+
+
+
1
+
+
+
+
c
b
-
-
-
-
3
+
+
+
+
Figura 2.19. Sistema de Cuerpos Cargados y Líneas de Fuerza.
Si se emplea la definición de capacidad y expresión (2.78), se puede escribir:
C 12 =
v
1
q
12
− v
2
C
13
q13
=
v - v
1
3
⋅ ⋅ ⋅
C
1n
q1n
=
v - v
1
n
(2.79)
Donde: q 12 = q ab : Carga en el sector superficial ab del conductor “1”
q 13 = q bc : Carga en el sector superficial bc del conductor “1”
En el caso de las líneas de transmisión, el concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la
figura siguiente:

63
1
+q 1
+ + +
2
-q 2
1
C 12
2
C 10 C 20
- - -
Figura 2.20.
Línea de dos Conductores en Presencia de Tierra y Capacidades Parciales que
Presenta.
En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y
tierra. Estas son:
q12
q10
q20
C 12 = ;
C 10 = ;
C 20 =
v − v
v
v
1
2
2.5.1: Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra: Esto implica considerar
nulos C 10 y C 20 en la figura 2.20. Es decir, se supone que los conductores están ubicados en un medio
dieléctrico de extensión infinita, por tanto se calculará el potencial en un punto “p” debido a la presencia
de “n” conductores cargados en su espacio cercano en relación a un origen arbitrario “O” y que además,
son cilíndricos.
1
2
1
q 1
2 q 2
D
D 2
12
D 1
k q k
d 20
“p”
D 1n
D 13
D k
D n D3
d 10
q n
n
3 q 3
d 30
d n0
O
Figura 2.21. Sistema de “n” Conductores Cargados.
Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanías, se tiene:
n
∑
k=
1
q k = 0
(2.80)
Además, la diferencia de potencial entre los puntos “p” y “O” debida a la presencia de un conductor
cilíndrico cargado uniformemente con “q” [Coulomb/m] y de extensión infinita, está dado como:

64
(v p – v o ) 1 =
D 1
∫
d10
r r q1
E • d l =
2π ε
0
d
Ln
D
Con ε o = 8,85 * 10 - 12 [F/m] : constante de permitividad del vacío.
Asimismo, la presencia de los restantes conductores hará que:
q2
d20
(v p -v o ) 2 = Ln
2π ε0
D2
.
.
qn
dn0
(v p -v o ) n = Ln
2π ε D
0
10
1
n
(2.81)
(2.82)
Finalmente, la diferencia de potencial entre los ptos. “p” y “O”, debido a la presencia de los “n”
conductores cargados ubicados en ese espacio será:
v p – v 0 =
1
2π ε
d
n
k0
∑ qkLn
0 k = 1 Dk
(2.83)
Esta expresión se puede reescribir como:
1
v p - v 0 =
2π
ε
0
⎡
⎢
⎢⎣
n
∑
k = 1
q Ln
k
1
D
k
⎤
⎥
⎥⎦
+
1
2π ε
0
⎡
⎢
⎢⎣
n
∑
k = 1
q Ln
k
d
k0
⎤
⎥
⎥⎦
(2.84)
Se aprecia que el segundo término es constante para una elección fija del punto “O”, por tanto:
1 ⎡ n
1 ⎤
v p - v 0 = ⎢∑
qkLn
⎥ + Constante
2π ε0
⎣k
= 1 Dk
⎦
Si se considera que el potencial del punto “p” está referido al “O” y que la constante se eliminará en cada
cálculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente:
1
2π ε
n
1 ⎤
Dk
⎦
v p = ⎢∑
qkLn
⎥ [ volts]
0
⎡
⎣
k = 1
(2.85)
Se debe recalcar que los conductores son cilíndricos, paralelos entre sí y uniformemente cargados en
toda su superficie, lo que es razonable para líneas aéreas.
2.5.1.1: Línea Monofásica: Considérese una línea monofásica, como la que se muestra en la figura
siguiente:
p
r 1
q 1
v 1
D
D 1 D 2
p
r 2
q 2
v 2
Figura 2.22: Línea Monofásica de dos Conductores.

65
Aplicando la ecuación (2.85), el potencial en el punto “p”, será:
v p =
q
1
2π ε
0
Ln
1
D
1
q2
+
2π ε
0
Ln
1
D
2
(2.86)
Trasladando el punto “p” a la superficie de cada uno de los conductores 1 y 2 y considerando que q 1 + q 2
= 0:
q1
⎛ 1 1 ⎞ q1
D
v 1 = Ln - Ln
Ln
2
⎜
0 r1
D
⎟ =
π ε ⎝
⎠ 2π ε0
r1
q2
⎛ 1 1 ⎞ q2
D q1
r2
v 2 = Ln - Ln
Ln
Ln
2
⎜
r D
⎟ =
=
π ε0
⎝ 2 ⎠ 2π ε0
r2
2π ε0
D
Nótese que se ha considerado que como D >> r i ; se tiene D - r 1 ≈ D – r 2 ≈ D. Entonces:
2
q1
D q1
D
v 1 – v 2 = Ln = Ln
2π ε r r π ε r r
0
1
2
0
1
2
(2.87)
Así la capacidad de la línea será:
Si r 1 = r 2 = r, se puede escribir:
0
C = =
[ F/m]
v
1
q
1 π ε
− v
2
Ln
r
D
1
r
2
π ε 0
D
Ln
r
C = [ F/m]
(2.88)
(2.89)
Y la reactancia capacitiva total de la línea será:
1 1 1 D
XC
= = = Ln
ωC
2π
f C
2
2π
f ε r
[ Ωm]
(2.90)
0
Recuérdese que ε o es la permitividad del vacío, de valor 8,85 x10 -12 [Coulomb/volt] en el Sistema MKS.
En el caso de conductores cableados “r” corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor
de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la línea.
Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como:
1
C = C 12
2
1
C n C
n
n
2
Figura 2.23 Capacidades Parciales Equivalentes.
En que el punto “n”, es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a
ambos conductores. Se tiene:
2 0
π ε
D
Ln
r
C n = 2 C = [ F/m/conductor]
(2.91)
Normalmente, atendiendo al gran tamaño del Farad, la capacidad se expresa en µF/km, por lo que:

66
2π
ε
D
Ln
r
Con lo que:
10
2π ε ∗10
D
Ln
r
0
0
C n = =
[ µ F/km/conductor]
10
6
-3
1
X Cn = Ln [ MΩ
km/conductor]
2
4π
ε
0
∗10
9
f
9
D
r
(2.92)
(2.93)
2.5.1.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra esta disposición para
una línea de transmisión:
q 3
2
3
p
D 3
D D 2
1
D s
D s
q 1
q 2
1
D s
Figura 2.24: Línea Trifásica de Disposición Equilátera
Se cumple que D 12 = D 13 = D 23 = D s ; r 1 = r 2 = r 3 = r ; q 1 + q 2 + q 3 = 0
De (2.85), se puede escribir:
1 ⎡ 1 1 1 ⎤
v p = ⎢q1
Ln + q2
Ln + q3
Ln ⎥
2πε0 ⎣ D1
D2
D3
⎦
Trasladando el punto “p” a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r.
v
1
=
1
2π ε
0
⎡ 1
⎢q1
Ln + q
⎣ r
2
Ln
1
D
s
+ q
3
Ln
1
D
s
⎤
⎥
⎦
1
=
2π ε
0
Ds
q1
Ln
r
Análogamente el potencial para los conductores 2 y 3, será:
v
v
2
3
1
=
2π ε
1
=
2π ε
De allí, se tiene:
0
0
⎡
⎢q
⎣
1
⎡
⎢q
⎣
1
Ln
Ln
1
D
s
1
D
s
+ q
+ q
2
2
1
Ln + q
r
Ln
1
D
s
3
+ q
Ln
3
1
D
s
⎤
⎥
⎦
1
=
2π ε
1⎤
1
Ln ⎥ =
r ⎦ 2π ε
0
0
q
q
2
3
D
Ln
r
s
D
Ln
r
s
2π
D
Ln
r
ε 0
C 1 = C 2 = C 3 = C n = [ F/m]
s
(2.94)

Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con respecto a un punto de potencial cero, que en
este caso, por la disposición de la línea está ubicado en el centro del triángulo equilátero, como se
muestra en la figura siguiente.
3
67
C 3 = C n
C 1 = C n
O
C 2 = C n
Figura 2.25: Diagrama de Capacidades
1 2
Esta capacidad en la nomenclatura de USA, se llama “capacidad al neutro” y en Europa, “capacidad de
servicio”.
Se aprecia que (2.94) es idéntica a (2.91), por tanto si se expresa en [µF/km/fase], se tendrá (2.92) y la
reactancia capacitiva estará dada por (2.93).
2.5.1.3: Línea Trifásica con Transposiciones: Asumiendo la línea convenientemente transpuesta como
se muestra en la figura siguiente
I II III
3
2
1
1
2
3
1
2
3
Figura 2.26: Línea Trifásica con Transposiciones:
Usando la expresión (2.85) y de la figura 2.26, se puede escribir:
v
v
1
2
l/3 l/3 l/3
1
=
2π ε
1
=
2π ε
1
=
2π ε
0
0
⎡
⎢q
⎣
1
⎡
⎢q1
Ln
⎣
⎡
⎢q
⎣
1
Ln + q
r
1
D
21
1
Ln
D
2
Ln
+ q
+ q
2
1
D
12
+ q
1
Ln + q
r
1
Ln
D
3
3
Ln
Ln
+ q
v 3
1
2
3
0
31
32
l = largo total de la línea
1
D
13
1
D
23
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
1⎤
Ln ⎥
r ⎦
Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se
debe considerar que si se asume que la tensión permanece contante, el valor de las cargas debe variar

dada la diferente posición que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece
constante son las cargas, variará el potencial. Esta última suposición es la que se hará y en ese caso el
potencial del conductor “1” en cada tramo será:
1
v 1(I)
=
2π ε
0
1
v 1(II)
=
2π ε
0
1
v 1(III)
=
2π ε
0
⎡
⎢q
⎣
⎡
⎢q
⎣
1
1
⎡
⎢q
⎣
1
Ln + q
r
1
Ln + q
r
1
2
2
1
Ln + q
r
2
Ln
Ln
Ln
1
D
12
1
D
23
1
D
31
La tensión promedio en todo el ciclo de transposiciones será:
1
1 1 ⎛ 1
1
v1 ( v1(I)
v1(II)
v1(III)
)
3 q1
Ln (q2
q3
) Ln
3
3 2 0 r
D12D13D
⎟ ⎞
= + + = ⎜
+ +
π ε ⎝
23 ⎠
+ q
+ q
3
3
+ q
3
Ln
Ln
Ln
1
D
13
1
D
21
1
D
32
3
1 D12D13D23
1 DMG
v1
= q1
Ln
= q1
Ln
2π ε0
r 2π ε0
r
Entonces:
q1 2π
ε0
C 1 = = [ F/m]
v1
DMG
(2.95)
Ln
r
Si se repite el proceso para los otros 2 conductores, se comprueba que C 1 = C 2 = C 3 = C n , por tanto la
capacidad por fase de la línea será:
2π ε0
C n = [ F/m]
DMG
Ln
r
(2.96)
O bien:
9
2π ε0
∗10
C n = [ µ F/km]
DMG
Ln
r
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
68
Y la reactancia capacitiva será a su vez:
1 1 DMG
= Ln
2π
f C
2
4π
ε f r
X Cn = [ Ω m]
n
X Cn = Ln [ MΩ
km]
4π
2
ε
0
1
f ∗10
9
0
DMG
r
(2.97)
2.5.14: Uso de Tablas: Para calcular la reactancia capacitiva y entrar directamente a las tablas, se puede
escribir, en forma análoga al cálculo de la reactancia inductiva:
Donde:
X Cn = X’a +X’d [MΩ km] (2.98)
10
1
r
X’a = Ln [ MΩ
km]
10
2
−9
4π
ε
0
X’d = Ln DMG [ MΩ
km]
2
−9
4π
ε
0
f
f
(2.99)

2.5.1.5: Cálculo de la Capacidad y Reactancia Capacitiva de Líneas Trifásicas en Doble Circuito: Es
posible hacer un desarrollo igual al del caso de la inductancia y reactancia inductiva de líneas en doble
circuito. La diferencia se presenta que en lugar de emplear el RMG de cada conductor, se emplea “r”,
radio exterior del conductor, dado que la carga eléctrica está distribuida en la periferia de éstos. En
general la disposición de los conductores es asimétrica, por lo que se debe asumir que la línea está
convenientemente transpuesta. Además se supone que las cargas por unidad de longitud se mantienen
constantes en todo el ciclo de transposiciones y los conductores que forman una fase tienen igual carga
por unidad de longitud.
69
1
2
3
Circuito A
1’
3’
2
’
Circuito B
Fase “a”
Fase “b”
Fase “c”
Figura 2.27: Línea Trifásica en Doble Circuito
En este caso se tiene:
2π
ε ∗10
DMGe
Ln
RMGe
La reactancia capacitiva será:
1
ωC
0
C n = [ µ F/km]
10
e
X Cn = = Ln [ MΩ
km]
n
4π
2
-9
ε
0
f
9
DMG
RMG
e
(2.100)
(2.101)
Donde:
DMG e = 3 DMG DMG DMG
(2.102)
ab
bc
ac
DMG ab = 4 D D D DMG entre fases “a” y “b”
12 12' 1'2D1'2'
DMG ac = 4 D D D DMG entre fases “a” y “c” (2.103)
13 13' 1'3D1'3'
DMG bc = 4 D D D DMG entre fases “b” y “c”
23 23' 2'3D2'3'
y:
2
4 2
RMG a = r 1 D 11' = r D11'
RMG de la fase “a”
4 2 2
RMG b = r 1 D22'
= r2
D22'
RMG de la fase “b” (2.104)
4 2 2
RMG c = r 3 D33'
= r3D33'
RMG de la fase “c”
Con lo que:

RMG e = 3 RMG RMG RMG
(2.105)
a
b
c
2.5.1.6: Conductores Fasciculados: Se analizarán los casos de dos, tres y cuatro conductores por fase:
- Dos conductores por Fase: Si se considera la línea mostrada en la figura 2.16. y considerando que la
separación entre los conductores se designará por “s”, se tiene D 11’ = s = D 22’ = D 33’ , de donde, para los
Radios Medios Geométricos de cada fase se cumplirá que: RMG a = RMG b = RMG c = r s
Entonces, reemplazando en la expresión (2.105)
RMG e =
3 3
RMG a =
r s
Reemplazando en (2.101), se tiene:
−9
−9
10 DMGe
10
Ln =
2
2
4π
ε f r s 4π
ε f
X Cn = Ln - Ln s + Ln DMG [ MΩ
km]
En que:
0
X Cn
0
⎡ 1
⎢
⎣2
1
r
1
2
e
1 ⎛ 1 ⎞
= X' a + ⎜ X' d − X' s⎟
[ MΩ
km]
(2.106)
2 ⎝ 2 ⎠
10
1
r
X’a = Ln [ MΩ
km]
10
4π
2
−9
ε
0
X’d = LnDMG [ MΩ
km]
4π
2
−9
ε
0
f
10
f
X’s = Ln s [ MΩ
km]
4π
2
−9
ε
0
f
e
⎤
⎥
⎦
70
(2.107)
- Caso de Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en los vértices
de un triángulo equilátero de lado “s”, como se muestra la figura 2.28.
1
s
s
1’’ s 1’
Figura 2.28: Haz de Tres Conductores por Fase
Si en (2.101) se reemplaza la expresión del RMG e según (2.47); es decir,
RMG e = 2 n
RMG D
n 2 2 2
12 ⋅ ⋅ D1n
⋅ ⋅ ⋅ D(n−1)n
⋅ y considerando, según la figura 2.28 que: D 11’ = D 11’’ = D 1’1’’ = s
El RMG e , en particular, resulta igual a: RMG e =
9 3 6
3 2
r s = r s ; por tanto,
X
Cn
=
10
4π
2
− 9
ε
0
DMG
Ln
f 3 2
r s
e
=
−9
10 ⎡ 1 1 2
⎤
Ln - Ln s Ln DMG
2 ⎢
+
e
4 f 3 r 3
⎥
π ε ⎣
⎦
0
[ MΩ
km]
(2.108)
Con:
1
3
⎛ 2 ⎞
+ (2.109)
⎝ 3 ⎠
X Cn = X' a ⎜ X' d − X' s⎟
[ MΩ
km]

71
10
1
r
X’a = Ln [ MΩ
km]
4π
2
−9
ε
10
f
0
-9
X’s = Ln s [ MΩ
km]
10
4π
2
ε
X’d = Ln DMG [ MΩ
km]
4π
2
-9
ε
0
f
0
f
e
(2.110)
- Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores están en el vértice de un cuadrado de
lado “s”, como se indica en la figura siguiente:
1 s 1’
D 11’ = D 1’1’’ = D 1’’1’’’ = D 1’’’1 = s
D 11’’ = D 1’1’’’ = s 2
s
s 2
s
1’’’
s
1’’
Figura 2.29: Haz de Cuatro Conductores
Reemplazando en (2.47), se tiene;
16 4
4 8
RMG e = r s ( 2 s)
=
4 3
r s
Introduciendo esta relación en (2.101)
−9
−
10 DMGe
10
Ln =
2
2
4π
ε f 4 3
0 r s 2 4π
ε
2
9
⎡ 1
⎢
⎣4
X Cn = Ln + Ln DMG − Ln s - Ln 2 [ MΩ
km]
X Cn
0
f
1
r
1 ⎛ 3
⎞
= X' a + ⎜ X' d - X' s - 0,00496⎟
[ MΩ
km]
(2.111)
4 ⎝ 4
⎠
e
3
4
1
4
⎤
⎥
⎦
Con:
1
r
X’a = Ln [ MΩ
km]
4π
10
2
−9
ε
0
X’d = Ln DMG [ MΩ
km]
4π
10
2
−9
ε
0
f
f
X’s = Ln s [ MΩ
km]
4π
10
−9
2
ε0
−9
0,00496 = Ln 2 [ MΩ
km]
4π
10
2
ε
0
f
f
e
(2.112)
En la página siguiente se muestra la tabla Nº 2.8, que incluye los valores calculados para X’d y X’s. Los
valores de X’a se obtienen directamente de la tabla de características de los conductores en la columna,
“componentes de conductor”

72
Tabla 2.8: COMPONENTE DE DISTANCIA X’d EN [MΩ km] PARA 50 cps.
Centímetros
Metros 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 --- -0,2636 -0,2239 -0,2007 -0,1843 -0,1715 -0,1610 -0,1522 -0,1446 -0,1378
0,1 -0,1318 -0,1264 -0,1214 -0,1168 -0,1125 -0,1086 -0,1049 -0,1014 -0,0982 -0,0951
0,2 -0,0921 -0,0893 -0,0867 -0,0841 -0,0817 -0,0794 -0,0771 -0,0750 -0,0729 -0,0709
0,3 -0,0689 -0,0670 -0,0652 -0,0635 -0,0618 -0,0601 -0,0585 -0,0569 -0,0554 -0,0539
0,4 -0,0525 -0,0510 -0,0497 -0,0483 -0,0470 -0,0457 -0,0445 -0,0432 -0,0420 -0,0408
0,5 -0,0397 -0,0385 -0,0374 -0,0363 -0,0353 -0,0342 -0,0332 -0,0322 -0,0312 -0,0302
0,6 -0,0292 -0,0283 -0,0274 -0,0264 -0,0255 -0,0247 -0,0238 -0,0229 -0,0221 -0,0212
0,7 -0,0204 -0,0196 -0,0188 -0,0180 -0,0172 -0,0165 -0,0157 -0,0150 -0,0142 -0,0135
0,8 -0,0128 -0,0121 -0,0114 -0,0107 -0,0100 -0,0093 -0,0086 -0,0080 -0,0073 -0,0067
0,9 -0,0060 -0,0054 -0,0048 -0,0042 -0,0035 -0,0029 -0,0023 -0,0017 -0,0012 -0,0006
1,0 0 0,0006 0,0011 0,0017 0,0022 0,0028 0,0033 0,0039 0,0044 0,0049
1,1 0,0055 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0080 0,0085 0,0090 0,0095 0,0100
1,2 0,0104 0,0109 0,0114 0,0119 0,0123 0,0128 0,0132 0,0137 0,0141 0,0146
1,3 0,0150 0,0155 0,0159 0,0163 0,0168 0,0172 0,0176 0,0180 0,0184 0,0189
1,4 0,0193 0,0197 0,0201 0,0205 0,0209 0,0213 0,0217 0,0221 0,0224 0,0228
1,5 0,0232 0,0236 0,0240 0,0243 0,0247 0,0251 0,0255 0,0258 0,0262 0,0265
1,6 0,0269 0,0273 0,0276 0,0280 0,0283 0,0287 0,0290 0,0294 0,0297 0,0300
1,7 0,0304 0,0307 0,0310 0,0314 0,0317 0,0320 0,0324 0,0327 0,0330 0,0333
1,8 0,0336 0,0340 0,0343 0,0346 0,0349 0,0352 0,0355 0,0358 0,0361 0,0364
1,9 0,0367 0,0370 0,0373 0,0376 0,0379 0,0382 0,0385 0,0388 0,0391 0,0394
Centímetros
Metros 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1,0 0 0,0055 0,0104 0,0150 0,0193 0,0232 0,0269 0,0304 0,0336 0,0367
2,0 0,0397 0,0425 0,0451 0,0477 0,0501 0,0525 0,0547 0,0569 0,0589 0,0609
3,0 0,0629 0,0648 0,0666 0,0683 0,0701 0,0717 0,0733 0,0749 0,0764 0,0779
4,0 0,0794 0,0808 0,0821 0,0835 0,0848 0,0861 0,0874 0,0886 0,0898 0,0910
5,0 0,0921 0,0933 0,0944 0,0955 0,0965 0,0976 0,0986 0,0996 0,1006 0,1016
6,0 0,1026 0,1035 0,1044 0,1054 0,1063 0,1071 0,1080 0,1089 0,1097 0,1106
7,0 0,1114 0,1122 0,1130 0,1138 0,1146 0,1153 0,1161 0,1168 0,1176 0,1183
8,0 0,1190 0,1197 0,1204 0,1211 0,1218 0,1225 0,1232 0,1238 0,1245 0,1251
9,0 0,1258 0,1264 0,1270 0,1277 0,1283 0,1289 0,1295 0,1301 0,1307 0,1312
10,0 0,1318 0,1324 0,1329 0,1335 0,1341 0,1346 0,1351 0,1357 0,1362 0,1367
11,0 0,1373 0,1378 0,1383 0,1388 0,1393 0,1398 0,1403 0,1408 0,1413 0,1418
12,0 0,1422 0,1427 0,1432 0,1437 0,1441 0,1446 0,1450 0,1455 0,1459 0,1464
13,0 0,1468 0,1473 0,1477 0,1481 0,1486 0,1490 0,1494 0,1498 0,1502 0,1507
14,0 0,1511 0,1515 0,1519 0,1523 0,1527 0,1531 0,1535 0,1539 0,1543 0,1546
15,0 0,1550 0,1554 0,1558 0,1562 0,1565 0,1569 0,1573 0,1576 0,1580 0,1584
16,0 0,1587 0,1591 0,1594 0,1598 0,1601 0,1605 0,1608 0,1612 0,1615 0,1618
17,0 0,1622 0,1625 0,1629 0,1632 0,1635 0,1638 0,1642 0,1645 0,1648 0,1651
18,0 0,1655 0,1658 0,1661 0,1664 0,1667 0,1670 0,1673 0,1676 0,1679 0,1682
19,0 0,1686 0,1689 0,1691 0,1694 0,1697 0,1700 0,1703 0,1706 0,1709 0,1712
20,0 0,1715 0,1718 0,1721 0,1723 0,1726 0,1729 0,1732 0,1735 0,1737 0,1740
21,0 0,1743 0,1746 0,1748 0,1751 0,1754 0,1756 0,1759 0,1762 0,1764 0,1767
22,0 0,1769 0,1772 0,1775 0,1777 0,1780 0,1782 0,1785 0,1787 0,1790 0,1792
23,0 0,1795 0,1797 0,1800 0,1802 0,1805 0,1807 0,1810 0,1812 0,1814 0,1817
24,0 0,1819 0,1822 0,1824 0,1826 0,1829 0,1831 0,1833 0,1836 0,1838 0,1840
25,0 0,1843 0,1845 0,1847 0,1849 0,1852 0,1854 0,1856 0,1858 0,1861 0,1863

2.5.2: Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra: Se considera en el caso
de líneas que operan en Extra Alta Tensión (EAT), ya que la separación entre conductores es
comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el análisis se harán las siguientes
consideraciones:
- La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensión infinita.
- La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida.
- Los conductores se suponen ubicados a una altura “h” constante sobre el plano de tierra, cilíndricos,
paralelos entre sí y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores.
Se empleará el método de imágenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen
ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra.
Las cargas de los conductores imágenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores
reales. Es decir:
73
q’ k = - q k
Así el cálculo del potencial en un punto “p” respecto a tierra, debido a la presencia de “n” conductores
cargados, se transforma en un problema de “2n” conductores (los “n” conductores reales y sus “n”
imágenes).
q 1
1
q 2 2
D 12 D 2
D 1
D
H 12’
1
D 21’
D 22’
H 1
D 1’
D 11’ D 2’
p
D k’
k
q k
D n
n
q n
V = 0
D k
D n’
k’ q’ k
1’ q’ 1
n’
2’ q’ 2
q’ n
Figura 2.30 Línea de “n” Conductores y sus Imágenes Respectivas.
Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que:
n
∑ ( + q' k )
k=
1
Según (2.85), el potencial en el punto “p” será:
q k = 0
(2.113)

v p =
1
2π ε
n
∑
⎡
⎢q
Ln
⎣
1
D
+ q'
Ln
k
k
0 k = 1
k Dk'
1
⎤
⎥
⎦
74
(2.114)
2.5.2.1: Línea Monofásica: Este caso, se considerará como una situación particular del caso general. En
efecto, si se hace en (2.114), n = 2 y de acuerdo con la figura 2.30, se tiene:
v p =
1 ⎛ 1 1 1 1
⎜q1
Ln + q2
Ln + q' 1 Ln + q' 2 Ln
2π ε 0 ⎝ D1
D2
D1'
D2'
1 ⎛ D D ⎞
v p = ⎜ 1'
2'
q + ⎟
π ε
1 Ln q2
Ln
2
0 ⎝ D1
D2
⎠
Trasladando el punto “p”, sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene:
⎞
⎟
⎠
v 1 =
v 2 =
1 ⎛ 2H D
⎜
1
12'
q +
π ε
1 Ln q2
Ln
2 0 ⎝ r1
D12
1 ⎛ D 2H
⎜ 12'
q +
π ε
1 Ln q2
Ln
2 0 ⎝ D12
r2
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Considerando que q 1 = -q 2 y que D 12 = D 12’ (diagonales de un cuadrilátero simétrico), se tiene:
q1
⎡ 2H1D
12 D12'
r2
v 1 – v 2 = ⎢Ln
- Ln
2π ε0
⎣ r1
D12'
2 D12
H
Por tanto; la capacidad total de la línea será:
2
⎤ q1
⎥ =
⎦ 2π ε
0
4H H
Ln
r
2
1 2D12
2
1 r2D12'
q1
=
π ε
0
2D
Ln
D
12
12'
H H
r
1
1
r
2
2
1
0
C = =
[ µ F/km]
v
1
q
− v
2
π ε
2 D
Ln
D
∗10
12
12'
H
r
1
9
1
r
H
2
2
(2.115)
Si en particular r 1 = r 2 = r ; H 1 = H 2 = H y D 12 = D; Se tiene
π ε ∗10
2 D H
Ln
D r
0
0
C = =
[ µ F/km]
12'
9
π ε
Ln
r
∗10
2 DH
4H
2
9
+ D
2
(2.116)
Nótese que si H >> D, esta expresión es igual a la línea monofásica sin considerar el efecto de tierra.
En términos de capacidades parciales “C” corresponde a la combinación en paralelo de C 12 y la rama
serie C 10 y C 20 .
1
C 12
2
C 10 C 20
C
C = C 12 +
C
10
10
C
20
+ C
20

75
Figura 2.31: Capacidades Parciales de la Línea Monofásica
Análogamente al caso en que no se consideró el efecto de tierra:
2π
ε ∗10
2 D H
Ln
2 2
r 4 H + D
A su vez, la reactancia capacitiva:
9
0
Cn = [ µ F/km/conductor]
(2.117)
10
2 D H
X Cn = Ln
[ MΩ
km/conductor]
2
− 9
(2.118)
4π
ε f
2 2
0 r 4 H + D
Considerando que la altura H no es constante, debido a la catenaria o parábola que describe el conductor
entre las estructuras vecinas, se realiza la siguiente corrección empírica:
Donde H: Altura del conductor sobre tierra en la torre
F: Flecha del conductor
H m = H – 0,7 F (2.119)
2.5.2.2: Línea Trifásica con Transposiciones: La figura siguiente muestra la distribución de los
conductores.
2
1
3
H 1
H 2 H 3
H 1 H 2 H 3
1’
3’
Figura 2.32. Línea Trifásica Asimétrica
2’
Asumiendo que la línea está convenientemente transpuesta, se pueden hacer las siguientes
consideraciones:
- La distancia D, se reemplaza por la DMG entre los conductores.
- La altura H, por la altura media geométrica HMG; considere la corrección empírica señalada en
(2.119)
- En el caso que la línea esté formada por conductores fasciculados, se reemplaza r por RMG de los
conductores que forman la fase.
Así se tiene:

76
2π
ε ∗10
2 DMG HMG
Ln
2
RMG 4 HMG + DMG
0
C n = [ µ F/km/fase]
9
2
(2.120)
X
Cn
=
10
4π
2
− 9
ε
0
2 DMG HMG
Ln
f
2
RMG 4 HMG + DMG
2
[ MΩ
km/fase]
(2.121)
En el caso de la figura anterior:
HMG = 3 H1
H2H3
[ m]
DMG = 3 D D D [ m]
RMG = r
12
13
23
(para el caso de un solo conductor por fase)
Dada la característica del término logarítmico, la variación de la capacidad es reducida y para líneas
trifásicas aéreas la capacidad por fase, varía entre 0,008 [µF/Km/Fase] y 0,009 [µF/Km/fase].
2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS.
2.1. Determinar el área, en [ mm 2 ], para los siguientes conductores:
a) Nº 2 AWG, de 66,37 MCM, 7 hebras
b) Nº 4 AWG, de 211,6 MCM, 12 hebras, 3 capas
c) 250 MCM, 19 hebras
2.2. Determine al radio de cada hebra de los mismos conductores del problema Nº 2.1
2.3. Un conductor de aluminio está compuesto por 37 hilos, cada uno de los cuales tiene un diámetro
de 0,333 cm. Calcular la resistencia óhmica en [Ω/km], a 75 ºC.
2.4. El conductor Marigold, de 61 hebras, 1.113 MCM, tiene una resistencia óhmica de 0,0513 [Ω/km] a
25 ºC y una resistencia efectiva de 0,0578 [Ω/km] a 50 ºC. Verificar el valor de la resistencia
óhmica dada por la tabla y calcular el valor del coeficiente de efecto superficial K = Ref/R
2.5. Los datos de un cierto conductor de aluminio son ρ = 0,02828 [Ω/mm 2 /m] a 20 ºC;
α 0 = 0,00438 (ºC) -1 ; coeficiente de efecto superficial K = 1,1; diámetro, 15 [mm]. Calcular las
resistencia óhmica y efectiva a 50 ºC en [Ω/km].
2.6. Verifique que el valor de la resistencia óhmica para el conductor ACSR de 500 MCM, 30/7, Heron,
es de 0,1162 [Ω/km]. Determine su diámetro y la sección en [mm 2 ] . Calcule además el diámetro de
cada una de las hebras, asumiendo que tanto las de aluminio como las de acero son idénticas.
2.7. Un cable ACSR, tiene una resistencia efectiva de 0,66 [Ω/km] a 50 ºC. Se desea reemplazar la
línea construida con este cable, por otra formada por dos conductores de cobre estirado en frío,
ambos de igual sección y conectados en paralelo. Calcular la sección de cada conductor de cobre,
de modo que la línea tenga la misma resistencia, en [Ω/km], que la original. Los valores medidos,
para el cobre, ambos a 20 ºC, son: ρ = 0,01772 [Ω/mm 2 /m] y α = 0,00382 (ºC) -1 .
2.8. Calcular el RMG de los conductores que se muestran en la fig. siguiente, en función del radio “r” de
cada una de las hebras, que es igual para todas ellas.
a) b) c)
r
r
r

77
2.9. El RMG de un conductor de 3 hebras iguales
que se muestra en la figura siguiente, es de
0,05 [m]. Determinar el radio de cada uno de
los hilos.
r
2.10. Una línea monofásica opera a 50 cps. y tiene una separación de tres metros entre conductores. El
conductor y su retorno son de aluminio con σ = 62 %, macizos y su diámetro es de 0,412 [mm].
Calcular el valor de la inductancia y reactancia inductiva de la línea por conductor y total.
2.11. Una línea trifásica de disposición horizontal está compuesta por conductores de material no
magnético, de tres hebras, con una separación entre las fases D ab = D bc = 3,5 [m]. El radio de cada
hilo es de 3 [mm]. Calcular el RMG y determinar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la
línea.
2.12. Una línea monofásica tiene las siguientes
características: Conductor de fase, formado por dos
cables, retorno, por uno sólo, todos de aluminio y
de iguales características (σ = 62 %, 266,8 MCM 7
hebras). Calcular la reactancia inductiva, en [Ω/km],
de la línea, cuya configuración se muestra en la
figura. Las distancias están expresadas en metros
y el gráfico no está dibujado a escala.
1
1,
1,0
2
3,0
1’
2.13. Una línea monofásica, tiene la disposición
mostrada en la figura. La fase está formada por 3
conductores de 2 [mm] de diámetro y el retorno, por
dos conductores de 4 [mm] de diámetro cada uno.
Calcular la inductancia de la línea en [H/km]. Las
distancias están expresadas en metros y todos los
conductores son macizos.
F 2
a
s
e 2
5
2
Retorno
2.14. Una línea trifásica de disposición equilátera, tiene una separación entre conductores de 2 metros
entre ellos. Se ha decidido rediseñar la línea, empleando el mismo conductor, pero con disposición
horizontal, tal que D 13 = 2D 12 = 2d23. ¿Cuál deberá ser la separación entre conductores
adyacentes, para tener la misma inductancia que en el diseño original?
2.15. Una línea trifásica en simple circuito,
convenientemente transpuesta, tiene la
configuración mostrada en la figura y está
operando a 50 cps. El diámetro de cada uno de
los conductores, que son macizos, es de 5,83
[mm]. Evaluar la inductancia y reactancia
inductiva por fase de la línea. Las distancias
están expresadas en metros.
b
2
a
5
2
c
2.16. Determinar la reactancia inductiva de la línea en doble circuito, que opera a 50 cps. cuya
disposición se muestra en la figura. La línea está convenientemente transpuesta y el conductor es
de cobre 250 MCM y 12 hebras.
a
5,0 m
a’
3,0 m
b
7,5 m
b’
4,5 m
c
5,0 m
c’

78
2.17. Calcular la reactancia inductiva en [Ω/km/fase] y [Ω/m/fase] de la línea, en doble circuito, que
opera a 50 cps, con la disposición mostrada en la figura y que está formada por conductor ACSR
Ostrich.
a
b
c
a’
b’
c’
1,8 m 1,8 m 1,8 m 1,8 m 1,8 m
2.18. Una línea trifásica en doble circuito es simétrica con respecto a la vertical y está construida con
conductor Drake. La línea está convenientemente transpuesta y tiene la disposición que muestra la
figura. Calcular la reactancia inductiva, si la línea opera a 50 Hz.
a
3m
b
6 m
a’
b’
3 m
c
c’
2.19. Calcular la reactancia inductiva de la línea con conductores fasciculados que se muestra en la
figura. Los subconductores son ACSR 27/6 de 795 MCM. Las distancias están medidas en metros.
1 1’
2
1
0,1
2
2’
2
4
3
3 3’
2.20. La línea de la figura está construida con 3 conductores por fase que forman un triángulo equilátero
entre sí, con separación de 45 cm entre sub conductores. La línea está operando a 440 kV, 50 cps
y está formada por conductores de Al σ = 62 %, 795 MCM, 37 hebras. Calcular L y X L . Verifique
además que el radio de un sub conductor es de 13,1 mm.
Fase a
12 m
8 m
Fase b
9 m
Fase c

79
2.21. Calcule las reactancias inductiva y capacitiva para la línea fasciculada de la figura, cuyos cuatro
subconductores están ubicados en los vértices de un cuadrado de lado 0,4 [m]. La línea opera a
500 kV, 50 cps y está formada por cables ACSR 27/6 de 795 MC
7,5 m
7,5 m
Fase a
Fase b
Fase c
2.22. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de las líneas correspondientes a los problemas 2.10 al
2.20. No considere para ellos la presencia del plano de tierra.
2.23. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de la línea del problema Nº 2.15 considerando la
presencia del plano de tierra. Las distancias entre conductores y tierra son: H a = 12 [m], H b = H c =
10 [m]. Flecha máxima 80 [cm].
2.24. Calcule la capacidad y reactancia capacitiva de la línea del problema Nº 2.11, considerando la
presencia del plano de tierra y en que la distancia a tierra de uno cualquiera de los conductores es
de 12,56 [m] y la flecha máxima es de 0,8 [m]
2.25. Demuestre que para una línea trifásica con transposiciones y considerando el efecto del plano de
tierra, la capacidad está dada como:
C =
Ln
RMG
2πε0
2 HMG ∗ DMG
4HMG
2
+ DMG
2