Mantenimiento en Latinoamerica Volumen 7 N° 1

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CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL Este artículo presenta, paso a paso, el método de los Mínimos Cuadrados para calcular los parámetros de forma y escala de la distribución de Weibull. Para el cálculo del parámetro de localización se emplea el complemento Solver de Excel. También se presentan dos ecuaciones para calcular el estimador Rango de mediana (ecuaciones 5 y 6), siendo esta última una forma aproximada y la que generalmente se usa en la literatura técnica. Ya que la ecuación (5) es más exacta, ésta es la que se emplea; para ello, y debido a su complejidad, se presenta el código fuente — en el lenguaje VBA (Visual Basic para Aplicaciones) — para crear una función definida por el usuario en Excel. Igualmente se usan las funciones PENDIENTE e INTERSECCIÓN.EJE, de Excel, para calcular la pendiente y el intercepto de la línea de regresión. Por: Luis Hernando Palacio Ingeniero Mecánico. Diplomado en Finanzas y Proyectos Certificado en programación VBA para Excel Profesional de Planeación y Programación de mantenimiento en Cementos Argos, Planta Nare luherpa67@hotmail.com Colombia ¿Cómo se calculan los parámetros y ¿por qué se omite el cálculo del tercer parámetro El tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, el parámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución. www.mantenimientoenlatinoamerica.com 42
INTRODUCCIÓN La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está completamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la confiabilidad. A pesar de la popularidad de esta distribución, en la revisión bibliográfica efectuada, la mayoría de los artículos y literatura técnica consultados se remiten a una distribución biparamétrica y, más aún, los ejemplos allí desarrollados presentan como datos conocidos los dos parámetros, generándose, así, las siguientes preguntas: ¿Cómo se calculan los parámetros y ¿por qué se omite el cálculo del tercer parámetro El tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, el parámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución. El objetivo de este trabajo es responder a las dos preguntas anteriores, presentando una de las cinco metodologías — analíticas — existentes para el cálculo de los parámetros y algunos criterios para determinar si es necesario tener en cuenta el tercer parámetro. El método que se presenta es el método de los Mínimos Cuadrados, por tres razones: la primera, es un método simple y expedito de aplicar; la segunda, la gráfica de los datos sirven como una prueba de bondad de ajuste de la distribución y, la tercera, da un indicio sobre si se debe calcular o no el parámetro de localización. Para una metodología gráfica, la cual hace uso del papel especial llamado papel de probabilidad de Weibull, véanse las referencias [5], [6] EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA DISTRIBUCIÓN La función de densidad de la distribución de Weibull para la variable aleatoria t está dada por la siguiente expresión: 1 t t f t exp , t (1) El parámetro delta indica, en el tiempo, el momento a partir del cual se genera la distribución. Una distribución biparamétrica está completamente definida por los parámetros de forma y de escala. La función confiabilidad R (t) de Weibull se determina por la siguiente expresión: El parámetro beta, como su nombre indica, determina la forma — o perfil— de la distribución, la cual es función del valor de éste. El parámetro theta indica la escala de la distribución, es decir, muestra que tan aguda o plana es la función. También se conoce como vida característica. El parámetro delta indica, en el tiempo, el momento a partir del cual se genera la distribución. Una distribución biparamétrica está completamente definida por los parámetros de forma y de escala. La función confiabilidad R (t) de Weibull se determina por la siguiente expresión: R t s t f ( t ) dt e (2) La función distribución acumulativa F (t) es el complemento de la función confiabilidad y se define de la siguiente manera: t t F 1 R 1 e t De la expresión anterior, se concluye que la función distribución acumulativa se puede interpretar como la probabilidad de falla. La relación entre la función confiabilidad y la función probabilidad de falla se muestra en la figura 1. Donde: t: Variable aleatoria que, para el caso de la confiabilidad, representa el tiempo entre fallas. β: Parámetro de forma (0
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