Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.2. Fórmula de inversión. Teorema de unicidad 11Ejemplo 6.7. Consideremos dos variables aleatorias independientes X 1y X 2 , cada una de las cuales tiene distribución normal con parámetros(a 1 , σ 1 ) y (a 2 , σ 2 ) respectivamente. Con la ayuda del teorema de unicidades sencillo demostrar que la suma X 1 +X 2 tiene distribución normal (comovimos en la sección 3.4).La función característica de X k es f k (t) = e ia kt−σ 2 k t2 /2 (k = 1, 2). Comolas variables aleatorias son independientes, la función característica de lasuma X 1 + X 2 esg(t) = E e it(X 1+X 2 ) = E e itX 1E e itX 2= f 1 (t)f 2 (t) = e i(a 1+a 2 )t−(σ 2 1 +σ2 2 )t2 /2 .Es claro que la función g(t) coincide con la función característica de unavariable aleatoria con distribución normal, con parámetros ( a 1 + a 2 , (σ 2 1 +σ 2 2) 1/2) . Aplicando el teorema 6.2 se deduce que la suma X 1 + X 2 es unavariable aleatoria con distribución normal con éstos parámetros.Ejemplo 6.8. Consideremos dos variables aleatorias independientes X e Y ,cada una de las cuales tiene distribución exponencial con parámetros α > 0y β > 0 respectivamente. Veamos que la variable aleatoria Z = X − Ytiene densidad, dada por{αβα+βp(x) =e−αx si x > 0,αβα+β eβx si x ≤ 0.Por una parte, utilizando el ejemplo 6.5, tenemosE e itZ = E e itX E e −itY =α βα − it β + it . (6.15)Por otra parte,∫ ∞−∞e itx p(x)dx =αβ ( ∫ ∞)e (it−α)x dx + e (it+β)x dxα + β 0−∞= αβ ( 1α + β α − it + 1 )= α ββ + it α − it β + it . (6.16)Como los resultados en (6.15) y (6.16) coinciden, del teorema de unicidadse deduce que p(x) es la densidad de Z.∫ 0