Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

26 Capítulo 7. Teorema central del límitepara todo x real si n → ∞, dado que {Y n } verifica las condiciones de laprimer etapa de la demostración. Esto es la tesis del teorema.Observación. Es posible demostrar que la convergencia en (7.1) es uniformeen el conjunto de los x reales. No es difícil verificar esta afirmacióndirectamente; es consecuencia del teorema de Pólya: si una sucesión defunciones de distribución {G n (x)} converge a una función de distribucióncontinua G(x) para todo x, entonces, esta convergencia es uniforme en larecta real (ver ejercicio ??, capítulo 5).Veamos que el teorema límite integral de De Moivre–Laplace de la sección2.3, es un corolario del teorema de Lindeberg–Lévy recién demostrado.Consideremos entonces una serie de n experimentos independientes,con dos resultados posibles cada uno (éxito y fracaso), y probabilidadde éxito igual a p en cada experimento (0 < p < 1). Sea µ la cantidadde éxitos en n experimentos. Veamos como se formula el teorema límiteintegral de De Moivre–Laplace en términos de variables aleatorias. Paraésto consideremos una sucesión de variables aleatorias X 1 , X 2 , . . . , cadauna de las cuales toma el valor 1 con probabilidad p (si ocurre un éxito) y elvalor 0 con probabilidad q = 1−p (si ocurre un fracaso). Tenemos E X k =p, var X k = pq > 0 para cada i = 1, 2, . . . . Además, µ = ∑ nk=1 X k, porquela suma contiene tantos sumandos iguales a uno como éxitos ocurren en losprimeros n experimentos, siendo nulos los sumandos restantes. La sucesión{X n } es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamentedistribuidas, por lo que es aplicable el teorema de Lindeberg–Lévy. De(7.1) obtenemos, que( µ − np)P √ ≤ x − Φ(x) → 0 (n → ∞), (7.5)npquniformemente en el conjunto de los x reales, en vista de la última observación.Poniendo entonces en (7.5) primero x = b, luego x = a, y restando,obtenemos(P a < µ √ − np )≤ b − 1 ∫ b√ npq 2πae −x2 /2 dx → 0(n → ∞),uniformemente, en el conjunto de los reales a < b, que es el contenido delteorema límite integral de De Moivre–Laplace.