Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.5. Ejercicios 194. Consideremos funciones características f 1 (t), . . . , f n (t), y constantespositivas b 1 , . . . , b n , que verifican b 1 +· · ·+b n = 1. Demostrar que b 1 f 1 (t)+· · · + b n f n (t) es una función característica.5. Determinar si las siguientes son funciones características: (a) sen t;(b) cos t; (c) cos 2 t; (d) sen t + cos t; (e) ( e it + e 2it) 3/8; (f) Re f(t), dondef(t) es una función característica; (g) Im f(t) donde f(t) es una funcióncaracterística.6. Calcular la varianza var X, de una variable aleatoria X, con funcióncaracterística f(t) = ( 1 + e 3it) 2/4.7. Sea X una variable aleatoria con distribución discreta. Esta distribuciónse denomina látice, si existen dos reales h > 0 y a, tales que se verifica∑ ∞k=−∞P(X = a + hk) = 1. (a) Encontrar una distribución discreta queno sea látice. (b) Demostrar que una distribución con función característicaf(t) es látice si y solo si existe t 0 ≠ 0 tal que |f(t 0 )| = 1.8. Sea X una variable aleatoria con distribución látice, que toma losvalores a+hk (k = 0, ±1, ±2, . . . ), con probabilidades p k = P(X = a+kh).Demostrar que se verificap k = h ∫e −it(a+kh) f(t)dt2π {|t|< π h }para todo k entero, donde f(t) es la función característica de X.9. Utilizando el teorema 6.2 de unicidad, demostrar: si X e Y son variablesaleatorias independientes, con distribución de Poisson con parámetrosλ 1 y λ 2 respectivamente, entonces X + Y tiene distribución de Poissoncon parámetro λ 1 + λ 2 .10. Consideremos una función característica f(t) y dos constantes b, c,que verifican 0 < c < 1, b > 0. Demostrar que si |f(t)| ≤ c, cuando |t| ≥ b,entonces |f(t)| ≤ 1 − (1 − c 2 )t 2 /(8b 2 ), si |t| < b.11. Demostrar que si una función característica verifica la condiciónlím sup |f(t)| < 1|t|→∞