CapÃtulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. TeorÃa de la ...

More documents

Recommendations

Info

20 Capítulo 6. Funciones características(denominada condición (C) de Cramér), entonces, para todo ε > 0, existeun real positivo c < 1, tal que |f(t)| ≤ c, cuando |t| ≥ ε. Sugerencia:Utilizar el ejercicio 10.12. Consideremos una variable aleatoria con función característica f(t).Demostrar que si la variable aleatoria es absolutamente continua, entoncesf(t) → 0, si |t| → ∞. (Sugerencia: utlizar el teorema de Riemann-Lebesgue).13. Sea F (x) una función de distribución con función característica f(t).Demostrar la igualdad∫ ∞x 2 ∫ ∞−∞ 1 + x dF (x) = 2 0e −t( 1 − Re f(t) ) dt.14. Una función característica se denomina infinitamente divisible si paracada natural n ≥ 1, existe una función característica f n (t), tal que f(t) =(fn (t) ) n. Demostrar las siguientes proposiciones: (a) Si f(t) y g(t) son funcionescaracterísticas infinitamente divisibles, entonces, f(t)g(t) es unafunción característica infinitamente divisible. (b) Si f(t) es función característicainfinitamente divisible, entonces, f(t) ≠ 0 para todo t real.(Sugerencia: utilizar la desigualdad del ejercicio 3.)15. Si una función característica verifica f(t) = 1+o(t 2 ) (t → 0), entoncesf(t) = 1 para todo t real.16. Sea f(t) la función característica de una variable aleatoria con distribuciónno degenerada. Demostrar que existen reales positivos δ y ε,tales que |f(t)| ≤ 1 − εt 2 para |t| ≤ δ.17. Sea X una variable aleatoria con función característica f(t), con distribuciónlátice, que toma los valores a + hk (k = 0, ±1, ±2, . . . ), dondeh > 0 y a son números reales fijos. El número h se denomina el paso de ladistribución. El paso h se denomina maximal, si no existe un par h 1 , a 1 ,con h 1 > h, tal que ∑ ∞k=−∞ P(X = a 1 + h 1 k) = 1. Demostrar que el pasoh es maximal si y solo si se verifican las condiciones ∣ ∣ f(2π/h) = 1, y|f(t)| < 1 para 0 < |t| < 2π/h.18. Una función de distribución, o su función característica f(t), se denominaestable, cuando para todo par a 1 y a 2 de números reales positivos,
6.5. Ejercicios 21existen a > 0 y b reales, tales que f(a 1 t)f(a 2 t) = e ibt f(at). (a) Demostrarque esta definición es equivalente a la siguiente: la función de distribuciónF (x) es estable, si para todo a 1 > 0, a 2 > 0, b 1 y b 2 , existen a > 0 y breales tales que F (a 1 x + b 1 ) ∗ F (a 2 x + b 2 ) = F (ax + b), donde ∗ designa laconvolución. (b) Determinar si son estables las siguientes distribuciones:(i) degenerada, (ii) normal, (iii) uniforme, (iv) binomial, (v) de Poisson.19. (a) Hallar la función característica de una variable aleatoria con distribuciónGama, con parámetros (α, β). (b) Demostrar que si T 1 , . . . , T nson variables aleatorias independientes con distribución común exponencialde parámetro α, entonces, su suma T 1 + · · · + T n , tiene densidad dadapor p(x) = α n x n−1 e −αx /(n − 1)!.
Page 1 and 2: Capítulo 6Funciones característic
Page 3 and 4: 6.1. Definiciones y primeras propie
Page 9 and 10: 6.2. Fórmula de inversión. Teorem
Page 11 and 12: 6.2. Fórmula de inversión. Teorem
Page 13 and 14: 6.3. Teoremas de Helly 13Considerem
Page 15 and 16: 6.3. Teoremas de Helly 15Como g(x)
Page 17 and 18: 6.4. Convergencia de distribuciones
Page 19: 6.5. Ejercicios 194. Consideremos f
Page 24 and 25: 24 Capítulo 7. Teorema central del
Page 26 and 27: 26 Capítulo 7. Teorema central del
Page 29 and 30: 7.2. Teorema de Lindeberg 291, . .
Page 31 and 32: 7.2. Teorema de Lindeberg 31Aplican
Page 33 and 34: 7.3. Teorema de Lyapunov 33condici
Page 35 and 36: 7.4. Ejercicios 355. Sea {X n } una

CapÃ­tulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. TeorÃ­a de la ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

CapÃtulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. TeorÃa de la ...