Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.2. Fórmula de inversión. Teorema de unicidad 9Aplicando la definición (6.4), e intercambiando el orden de integración(dado que el integrando es una función continua y acotada), tenemosI ==== 2∫ T−T∫ ∞−∞∫ ∞−∞∫ ∞−Tt∫ Te −itx 2− e −itx 1e −itx 2− e −itx 1 ( ∫ ∞f(t)dt =−it−T −it−∞( ∫ Te it(y−x2) − e it(y−x 1) )dt dF (y)−T −it( ∫ Tsen ( t(y − x 2 ) ) − sen ( t(y − x 1 ) ) )dt dF (y)−∞(R(y − x2 , T ) − R(y − x 1 , T ) ) dF (y).)e ity dF (y) dtdonde utilizamos que ∫ T( )−T cos(αt)/t dt = 0 para todo α real, para obtenerla última igualdad. Respecto del comportamiento asintótico del últimointegrando, tomando por ejemplo x 1 < x 2 , en vista de (6.12), tenemos⎧⎪⎨ 0, si y < x 1 ,lím R(y − x 2, T ) − R(y − x 1 , T ) = π, si x 1 < y < x 2 , (6.13)T →∞ ⎪⎩0, si x 2 < y.La última etapa de la demostración consiste en verificar que el límite deI cuando T → ∞ es la integral del límite obtenido en (6.13). Para éstoelegimos δ > 0, de forma que x 1 + δ < x 2 − δ, y consideramos la integralI como la suma de cinco integrales, designadas I k (i = 1, . . . , 5), en losintervalos de integración (−∞, x 1 − δ], (x 1 − δ, x 1 + δ], (x 1 + δ, x 2 − δ],(x 2 − δ, x 2 + δ], y (x 2 + δ, ∞). Tenemos entonces I = ∑ 5i=1 I k.Sea ε > 0 arbitrario. Tenemos∫(I 1 = 2 R(y − x2 , T ) − R(y − x 1 , T ) ) dF (y).(−∞,x 1 −δ]Como, en vista de (6.13), el integrando converge uniformemente a cero,obtenemos que |I 1 | < ε si T es suficientemente grande. Una situaciónanáloga ocurre con T 5 , por lo que, |I 5 | < ε si T es suficientemente grande.Para la segunda integral, tenemos∫(|I 2 | ≤ 2R(y − x2 , T ) − R(y − x 1 , T ) ) dF (y)(x 1 −δ,x 1 +δ]≤ 4C ( F (x 1 + δ) − F (x 1 − δ) ) < ε,