Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

7.2. Teorema de Lindeberg 31Aplicando ahora la acotación (7.13), tenemos∣ ln f n (t) + t2 ∣ ≤2n∑k=1|I k | + R n (t) ≤ ε|t|36 + t2 Λ n (ε) + R n (t).Como el primer sumando es arbitrariamente pequeño, el segundo convergea cero (aplicando la condición de Lindeberg), y el tercero también tiendea cero (según demostramos en el lema 7.2), obtuvimos (7.12). Con laaplicación del teorema 6.5 concluimos la demostración.El teorema 7.1 de Lindeberg–Lévy, resulta ser un corolario del teoremade Lindeberg, recién demostrado. En efecto, en el caso de variables aleatoriascon distribución común V (x), esperanza matemática a y varianciaσ 2 > 0, obtenemos que B n = nσ 2 , y, para ε > 0 arbitrario, se verificaΛ n (ε) = 1 ∫(x − a) 2 dV (x) → 0 (n → ∞)σ 2{|x−a|≥εσ √ n}porque σ 2 = ∫ ∞(x − −∞ a)2 V (x) < ∞. En conclusión, si se verifican lashipótesis del teorema de Lindeberg–Lévy, también se verifican las del teoremade Lindeberg; mientras que las tesis de estos dos teoremas, en el casoparticular considerado, coinciden.Volvamos ahora al caso general, en el que las distribuciones no necesariamenteson idénticas. Sea {X n } una sucesión de variables aleatoriasque verifica las condiciones del teorema 7.2 de Lindeberg. ConsideremosX nk = X k − a√ kBn(k = 1, . . . , n).Poniendo Z n = ∑ nk=1 (X k − a k )/ √ B n , tenemos Z n = ∑ nk=1 X nk. Demostremosque la condición de Lindeberg implica la condición: Para todoε > 0()P máx |X nk| ≥ ε → 0 (n → ∞). (7.14)1≤k≤nLa fórmula (7.14) significa que las variables aleatorias son uniformemente“pequeñas”. Veamos su demostración. Dado ε > 0, tenemosP(|X nk | ≥ ε) = P(|X k − a k | ≥ ε √ ∫B n ) =dV k (x){|x−a k |≥ε √ B n}≤ 1(x − aε 2 B n∫{|x−a k |≥ε √ k ) 2 dV k (x).B n}