CapÃtulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. TeorÃa de la ...

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14 Capítulo 6. Funciones característicasDemostración del teorema 6.3 de Helly. Sea D un conjunto denso numerablede números reales x ′ 1, x ′ 2, . . . . La sucesión numérica {F n (x ′ 1)} es acotada,por lo que contiene una subsucesión {F 1n (x ′ 1)} que converge a uncierto límite, que designamos F (x ′ 1).La sucesión {F 1n (x ′ 2)} también contiene una subsucesión {F 2n (x ′ 2)},convergente a un cierto límite, que designamos F (x ′ 2). Además, se verificalím n→∞ F 2n (x ′ 1) = F (x ′ 1).Continuando este proceso, obtenemos, que para cualquier natural k,existen k sucesiones {F kn (x ′ i)} (i = 1, . . . , k) para las cuales se verificalím n→∞ F kn (x ′ i) = F (x ′ i) (i = 1, . . . , k).Consideremos ahora la sucesión diagonal compuesta por las funciones{F nn (x)}. Sea x ′ k ∈ D. Es claro que lím n→∞ F nn (x ′ k ) = F (x′ k ), dado que{F nn (x ′ k )} es una subsucesión de la sucesión numérica {F kn(x ′ k )}, si n ≥ k.Hemos así definido una función F (x) en el conjunto D. Si x < y son dospuntos de D, entonces F (x) = lím n→∞ F nn (x) ≤ lím n→∞ F nn (y) = F (y),y la función F (x) es no decreciente en D. Es claro también que A ≤F (x) ≤ B. Estas propiedades permiten extender la función F (x) a todala recta real, conservando las propiedades mencionadas. Estamos entoncesen condiciones de aplicar el lema 6.2, para concluir la demostración delteorema.Observación. Se puede ver que la función límite F (x) puede elegirse continuapor la derecha, si definimos F (x) = lím n→∞ F (x n ), donde {x n } ∈ D,x n → x (n → ∞), y x n ≥ x para todo n.Teorema 6.4 (Helly). Consideremos funciones no decrecientes y acotadasF (x), F 1 (x), F 2 (x), . . . tales que F n ⇒ F , y una función g(x) continua yacotada. Entonces∫ ∞−∞g(x)dF n (x) →∫ ∞−∞g(x)dF (x)Demostración. Sea ε > 0 arbitrario. Designemos(n → ∞).G = sup |g(x)|,x∈RC = F (∞) − F (−∞).Como lím x→−∞ F (x) = F (−∞), lím x→∞ F (x) = F (∞), existen a < b,puntos de continuidad de F (x), tales que se verificaF (∞) − F (b) < ε/(3G), F (a) − F (−∞) < ε/(3G). (6.17)
6.3. Teoremas de Helly 15Como g(x) es una función continua, existe una partición del intervalo[a, b], designada a = x 0 < x 1 < · · · < x N = b, formada por puntos decontinuidad de F (x), y tales que se verifica |g(x) − g(x k )| < δ si x ∈(x k−1 , x k ) (k = 1, . . . , N).Consideremos la función auxiliar{g(x k ), si x ∈ (x k−1 , x k ] (k = 1, . . . , N),g 0 (x) =0, en otro caso,que podemos también definir como g 0 (x) = ∑ Nk=1 g(x k)1 (xk−1 ,x k ](x). SeanI =∫ ∞−∞g(x)dF (x), I n =Sumando y restando, obtenemosI n − I =∫ ∞++−∞∫ ∞−∞∫ ∞∫ ∞−∞g(x)dF n (x).(g(x) − g0 (x) ) dF n (x) (6.18)−∞= S 1 + S 2 + S 3 .g 0 (x)dF n (x) −∫ ∞−∞g 0 (x)dF (x) (6.19)(g(x) − g0 (x) ) dF (x) (6.20)Acotemos cada uno de los tres sumandos anteriores. Para S 3 en (6.20),tenemos|S 3 | ≤∫ a−∞∫ ∣ b∣ g(x) ∣dF (x) + ∣ g(x) − g0 (x) ∣ ∫ ∞∣ dF (x) + ∣ g(x) ∣dF (x)a≤ G ( F (a) − F (−∞) ) +δ ( F (b) − F (a) ) +G ( F (∞) − F (b) ) (6.21)≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,en vista de (6.17) y la desigualdad F (b) − F (a) ≤ C.Para S 1 en (6.18), cambiando F n por F , obtenemos|S 1 | ≤ G ( F n (a) − F n (−∞) )+ δ ( F n (b) − F n (a) ) +G ( F n (∞) − F n (b) ) < ε, (6.22)si n es suficientemente grande, dado que, por la convergencia completaF n ⇒ F , la cota obtenida en (6.22) converge a la cota en (6.21).b
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