Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

7.3. Teorema de Lyapunov 33condición (7.15) para un cierto δ > 0. Dado ε > 0 arbitrario, tenemosΛ n (ε) = 1 B n≤≤n∑∫k=11ε δ B 1+δ/2n1ε δ B 1+δ/2n{|x−a k |≥ε √ B n}n∑∫k=1{|x−a k |≥ε √ B n}∫ ∞n∑k=1−∞(x − a k ) 2 dV k (x)|x − a k | 2+δ dV k (x)|x − a k | 2+δ dV k (x) = 1 ε δ L n(δ) → 0 (n → ∞).De aquí se obtiene la demostración, resultando el teorema de Lyapunovun caso particular del teorema de Lindeberg.Como conclusión de este capítulo haremos algunas consideraciones relativasa la velocidad de convergencia en el teorema central del límite.Lyapunov demostró que si se verifican las condiciones del teorema 7.3con 0 < δ < 1, entonces, existe una constante C tal que, para n suficientementegrande, se verifica|F n (x) − Φ(x)| ≤ CL n (δ),uniformemente en el conjunto de los x reales.En el caso δ = 1 Esseen obtuvo la siguiente desigualdad, válida paratodo natural n = 1, 2, . . . . Sean X 1 , . . . , X n variables aleatorias independientes,con esperanzas a 1 , . . . , a n y varianzas σ 2 1, . . . , σ 2 n, no todas nulas.Supongamos que E |X k − a k | 3 < ∞ (k = 1, . . . , n). DesignemosEntoncesB n =n∑σk,2k=1( 1F n (x) = P √BnL n = L n (1) = 1B 3/2nn∑)(X k − a k ) ≤ x ,k=1n∑E |X n − a n | 3 .|F n (x) − Φ(x)| ≤ AL n para todo x real y todo n = 1, 2, . . . , (7.16)donde A > 0 es una constante absoluta. (Está demostrado que la acotación(7.16) es válida con A = 0,8). De (7.16) se obtiene que si L n → 0 entoncesF n (x) → Φ(x) para todo x real.k=1