Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.1. Definiciones y primeras propiedades 5Propiedad 4. Consideremos la variable aleatoria Y = aX + b, donde a, bson constantes. Entonces, la función característica g(t) de la variable a-leatoria Y verifica g(t) = e ibt f(at), donde f(t) es la función característicade la variable aleatoria X.Demostración. Utilizando la propiedad e i(α+β) = e iα e iβ y aplicando ladefinición (6.2), tenemosg(t) = E e itY = E e it(aX+b) = E ( e ibt e iatX) = e ibt E e iatX = e ibt f(at),lo que concluye la demostración.Ejemplo 6.6. Calculemos la función característica g(t) de una variablealeatoria Y con función de distribución normal con parámetros (a, σ).Es claro que la variable aleatoria X = (Y − a)/σ tiene distribuciónnormal con parámetros (0, 1), y por lo tanto función característica f(t) =e −t2 /2 , como vimos en el ejemplo 6.4. Aplicando la propiedad anterior,obtenemosg(t) = e iat f(σt) = e iat−σ2 t 2 /2 .Propiedad 5. Consideremos una variable aleatoria X para la cual existeα k = E(X k ), el momento de orden k, para algun natural k ≥ 1. Entonces,su función característica f(t) tiene derivadas continuas, para todo t real,hasta el orden k inclusive. Ademásdonde α m = E(X m ).f (m) (0) = i m α m (1 ≤ m ≤ k), (6.8)Demostración. Derivando formalmente m veces, con respecto de t, bajoel signo de integración en la fórmula (6.4), obtenemosf (m) (t) =∫ ∞−∞(ix) m e itx dF (x). (6.9)Es claro que como existe el momento de orden m ≤ k (proposición ??),tenemos ∣ ∫ ∞∫ ∞∣∣(ix) m e itx dF (x) ∣ ≤ |x| m dF (x) < ∞.−∞Esto permite demostrar que la derivación bajo el signo de integral es válida,y obtener la fórmula (6.9). Sustituyendo t = 0 en (6.9) se obtiene (6.8).−∞