Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.1. Definiciones y primeras propiedades 3Ejemplo 6.2. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial conparámetros (n, p). Aplicando (6.5), obtenemosf(t) =n∑( ) ne itm p m q n−m =mm=0donde q = 1 − p.n∑m=0( nm)(pe it ) m q n−m = (pe it + q) n ,Ejemplo 6.3. Si X tiene distribución de Poisson con parámetro λ > 0,aplicando la fórmula (6.5), obtenemosf(t) = E e itX =∞∑m=0itm λm∑ ∞em! e−λ = e −λ (e it λ) mm!m=0= e −λ e λeit = e λ(eit −1) .Ejemplo 6.4. Consideremos una variable aleatoria X con distribución normalestándar, con densidad dada por p(x) = e −x2 /2 / √ 2π. Aplicando lafórmula (6.6), tenemosf(t) = E e itX = 1 √2π∫ ∞−∞e itx−x2 /2 dx.Para calcular la integral anterior derivamos con respecto de t, y obtenemosf ′ (t) =√ i ∫ ∞2π−∞xe itx−x2 /2 dx =Luego de integrar por partes, resultaf ′ (t) = −1 √2π∫ ∞−∞√ i ∫ ∞2π−∞te itx−x2 /2 dx = −tf(t).( )e itx d − e −x2 /2.En consecuencia, (ln f(t)) ′ = −t, ln f(t) = −t 2 /2 + C. Como f(0) = 1,obtenemos que C = 0, y en conclusiónf(t) = e −t2 /2 .Si X es una variable aleatoria con distribución normal con parámetros(a, σ), entonces, como veremos en el ejemplo 6.6, su función característicaestá dada porf(t) = e iat−σ2 t 2 /2 .