Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

24 Capítulo 7. Teorema central del límiteentes e idénticamente distribuidas, con esperanza matemática E X 1 = a yvarianza var X 1 = σ 2 > 0. DesignemosEntonces,( X1 + · · · + X n − naF n (x) = Pσ √ n)≤ x .F n (x) → Φ(x) (n → ∞) para todo x real, (7.1)donde Φ(x) = 1 √2π∫ x−∞ e−t2 /2 dt es la distribución normal estándar.Demostración. La primer etapa consiste en demostrar el teorema en elcaso particular en el que E X 1 = a = 0 y var X 1 = σ 2 = 1.Consideremos entonces para cada n = 1, 2, . . . la variable aleatoriaZ n = 1 √ n(X1 + · · · + X n).Como a = 0 y σ 2 = 1, tenemos P(Z n ≤ x) = F n (x). La demostraciónse basa en la aplicación del teorema 6.5. Calculemos f n (t), la funcióncaracterística de Z n , en términos de v(t), la función característica de X 1 :f n (t) = E e itZn = E e i(t/√ n) P nk=1 X k= E=n∏E e i(t/√ n)X k=k=1n∏k=1e i(t/√ n)X k[ ( t)] n,v √ (7.2)ndonde utilizamos que las variables aleatorias son idénticamente distribuidasen la última igualdad, y que son independientes en la ante última.Como α 2 = var X 1 = 1 < ∞, aplicando el desarrollo de Taylor (6.10) deorden k = 2 para la función característica de X 1 , tenemosv(u) = 1 − u22 + o(u2 ) (u → 0), (7.3)dado que α 1 = E X 1 = 0. Consideremos un real t arbitrario y fijo. Queremoscalcular lím n→∞ f n (t). Si en (7.3) ponemos u = t/ √ n, tenemos( t)(v √ = 1 − t2 1)n 2n + o ndado que 1/n → 0 si y solo si u → 0.(n → ∞),