Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.4. Convergencia de distribuciones y de funciones características 17Como e itx = cos tx + i sen tx, donde las funciones sen tx, cos tx son continuasy acotadas; y tenemos F n ⇒ F (x) (porque se trata de funciones dedistribución), obtenemos (6.23) aplicando el teorema 6.4 de Helly.Supongamos ahora que se verifica la condición (6.23). En virtud delteorema 6.3 de Helly, la sucesión {F n (x)} contiene una cierta subsucesión{F nk (x)}, que converge débilmente a una cierta función F (x) no decreciente,que verifica 0 ≤ F (x) ≤ 1, y que elegimos continua por la derecha.Demostremos que F (x) es una función de distribución. Para ésto hay quedemostrar que F (−∞) = 0 y F (+∞) = 1, lo que equivale a demostrarque δ = F (+∞) − F (−∞) = 1.Supongamos que δ < 1 y sea ε tal que 0 < ε < 1 − δ. Como f(0) = 1 yf(t) es continua, para γ suficientemente pequeño es válida la desigualdad12γ∫ γ−γf(t)dt > 1 − ε 2 > δ + ε 2 . (6.24)Como F nk → F , podemos elegir un real A > γ/(4ε) que verifique: F (x)es continua en A y en −A; para todo k suficientemente grande δ k (A) =F nk (A) − F nk (−A) < δ + ε/4.Introducimos ahora la funciónB(x) =∫ γ−γe itx dt = 2 x sen(γx)que, como |e itx | ≤ 1, verifica |B(x)| ≤ 2γ. Además, como | sen(γx)| ≤ 1,tenemos |B(x)| ≤ 2/A, si |x| ≥ A.Cambiando el orden de integración y utilizando la función B(x) reciénintroducida, tenemos∫ γ ∫ γ ( ∫ ∞) ∫ ∞f nk (t)dt = e itx dF nk (x) dt = B(x)dF nk (x).−γ−γ −∞−∞Partiendo el intervalo de integración, obtenemos la siguiente acotación:∫ γ∫∣ f nk (t)dt∣ ≤ ∣ B(x)dF nk (x) ∣−γ{|x|≤A}∫+ ∣ B(x)dF nk (x) ∣ ≤ 2γδ k + 2 A .{|x|>A}En vista de la elección de A, dividendo por 2γ, obtenemos1∫ γ∣ f nk (t)dt∣ ≤ δ + ε 2γ2 .−γ