CapÃtulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. TeorÃa de la ...

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34 Capítulo 7. Teorema central del límiteLa desigualdad (7.16) es válida también si E |X n − a n | 2+δ < ∞ (k =1, . . . , n) para algún 0 < δ ≤ 1, definiendo L n (δ) como en (7.15).En el caso particular en el que X 1 , . . . , X n son variables aleatorias idénticamentedistribuidas, con a = E X 1 , σ 2 = var X 1 , y δ = 1, los resultadosanteriores son los siguientes. Si designamosL n =ρ √ n, con ρ = E |X 1 − a| 3σ 3 ,aplicando la desigualdad (7.16) de Esseen, obtenemos|F n (x) − Φ(x)| ≤ Aρ √ n(7.17)para todo x real y todo n = 1, 2, . . . Es posible demostrar (ver por ejemplo§5.2 en [?]), que sin la introducción de condiciones adicionales, estaacotación es óptima en el siguiente sentido: el término √ n en el denominador,a la derecha en (7.17), no se puede sustituir por una función g(n),que verifique g(n)/ √ n → ∞ (n → ∞).7.4. Ejercicios1. Al disparar a un blanco, se obtienen 10 puntos con probabilidad 0,3; 9puntos con probabilidad 0,3; 8 con probabilidad 0,2; 7 con probabilidad 0,1y 6 con probabilidad 0,1. Utilizando el teorema central del límite, estimarla probabilidad de que, al realizar 100 disparos, se obtengan más de 870puntos.2. Se tira un dado 500 veces. Hallar un valor aproximado para la probabilidadde que la suma de puntos obtenidos sea mayor que 1800.3. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, e idénticamentedistribuidas, con E X 1 = a, y var X 1 = σ 2 > 0. Verificar que{Y n }, con Y n = (X n − a)/σ, es una sucesión de variables aleatorias independientes,idénticamente distribuidas, con esperanza nula, y varianzaigual a uno.4. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, que verificanP(X n = n a ) = P(X n = −n a ) = 1/2 para cada n = 1, 2, . . . , dondea > −1/2. ¿Es aplicable el teorema central del límite a esta sucesión?
7.4. Ejercicios 355. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, conesperanza nula. Supongamos que |X n | ≤ C para todo n, donde C es unacierta constante. Sea B n = ∑ nk=1 var X2 k . Demostrar que si B n → ∞ (n →∞), entonces, ( es aplicable el teorema central del límite a esta sucesión, es∑ )1decir Pn√ Bn k=1 X k ≤ x → Φ(x).6. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, queverifican P(X n = −1/ √ n) = P(X n = 1/ √ n) = p, P(X n = 0) = 1 − 2ppara todo n, y algún p en el intervalo 0 del límite a esta sucesión?7. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, talesque, cada variable aleatoria X n , tiene distribución uniforme, en el intervalo(− √ n, √ n). Demostrar que para esta sucesión, es aplicable el teoremacentral del límite.8. Sea µ la cantidad de éxitos, en una serie n experimentos independientes,con dos resultados posibles cada uno (éxito y fracaso). Sea p kla probabilidad de que ocurra un éxito en el k-ésimo experimento, yq k = 1 − p k , la probabilidad de que ocurra un fracaso (k = 1, 2, . . . ).Demostrar que si ∑ ∞k=1 p kq k = ∞, entonces, la función de distribuciónde la variable aleatoria (µ − ∑ nk=1 p k)( ∑ nk=1 p kq k ) −1/2 (cantidad de éxitos,normalizados), converge a la distribución normal estándar, si n → ∞.9. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, queverifica la condición de Lindeberg. Demostrar que B n → ∞. (Sugerencia:Utilizar, que la condición de Lindeberg implica la condición (7.8).)10. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, conesperanza matemática nula. Supongamos que se verifican∑n∑E |X k | 3 ≤ Bn, E |X k | 2 ≥ Ank=1para todo n, donde A y B son constantes positivas. ¿Es aplicable el teoremacentral del límite a esta sucesión?11. Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes, conesperanza matemática nula. Supongamos que se verifican∑ ∣ E |X k | 2 ∣∣ n∑ln |Xk | ∣ 1+δ ≤ Bn, E |X k | 2 ≥ An,k=1k=1k=1
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