Capítulos 6 y 7 de Petrov. V.V, Mordecki, E. Teoría de la ...

6.1. Definiciones y primeras propiedades 7Observación. El lema recién formulado es válido también en el caso en quelas funciones de u(x) y v(x) de argumento real, tomen valores complejos,es decir, si tenemosu(x) = u 1 (x) + iu 2 (x),v(x) = v 1 (x) + iv 2 (x),donde u k (x) y v k (x) son funciones de argumento real, que toman valoresreales (k = 1, 2). Esto es sencillo de demostrar, aplicando el lema anteriora las partes real e imaginaria del producto u(X)v(Y ).Propiedad 6. Consideremos dos variables aleatorias independientes Xe Y , con funciones características f(t) y g(t) respectivamente. Sea h(t)la función característica de la suma X + Y . Entonces, se verifica h(t) =f(t)g(t).Demostración. Tenemos)h(t) = E e it(X+Y ) = E(e itX e itY = E e itX E e itY = f(t)g(t),en vista de la observación posterior al lema 6.1.Es válida la siguiente generalización de la propiedad recién demostrada:si X 1 , X 2 , . . . , X n es un conjunto de variables aleatorias mutuamente independientes,con funciones características f 1 (t), f 2 (t), . . . , f n (t) respectivamente,entonces, la función característica h(t) de la suma X 1 +X 2 +· · ·+X nes igual al producto de las funciones características de los sumandos:h(t) = f 1 (t)f 2 (t) · · · f n (t).Propiedad 7. Para todo t real, se verifica f(−t) = f(t).La propiedad anterior se obtiene de la igualdadf(−t) = E e −itX = E e itX = E e itX = f(t).Definición 6.1. Una variable aleatoria X y su distribución F (x) se dicensimétricas cuando las funciones de distribución de las variables aleatoriasX y −X son idénticas.Propiedad 8. Si la variable aleatoria X es simétrica, su función característicaf(t) es una función real.