5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES
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MOISES VILLENA Integración Múltiple<br />
160<br />
Ejemplo 3<br />
∫∫<br />
2<br />
2 y<br />
⎪⎧<br />
3<br />
y = x<br />
Calcular 12 x e dA donde R : ⎨ en el primer cuadrante.<br />
⎪⎩ y = x<br />
R<br />
SOLUCIÓN:<br />
La región R es:<br />
Aquí es mejor primero un barrido horizontal ¿Por qué? ¿Observe qué ocurre si hacemos<br />
primero un barrido vertical?<br />
Planteando la integral doble con límites y calculándola, tenemos:<br />
1<br />
∫∫<br />
0<br />
3 y<br />
y<br />
2<br />
12x<br />
e<br />
2<br />
y<br />
dxdy<br />
=<br />
2<br />
y<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
0<br />
12e<br />
4e<br />
2<br />
y<br />
4ye<br />
2<br />
y<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
y<br />
3 y<br />
3<br />
x<br />
3<br />
( 3 y )<br />
dy −<br />
y<br />
3<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
dy<br />
3<br />
− y<br />
⎞<br />
⎟dy<br />
⎠<br />
3<br />
4y<br />
e<br />
Haciendo cambio de variable t = . De aquí tenemos: dt = 2ydy<br />
Reemplazando y resolviendo:<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
y<br />
3 y<br />
t ⎛ dt ⎞ 3 t ⎛ dt ⎞<br />
4ye<br />
dy − 4y<br />
e dy = 4ye<br />
⎜ − 4<br />
2 ⎟ y e<br />
⎜<br />
2 ⎟<br />
∫ ∫ ⎝ y ⎠ ∫ ⎝ y ⎠<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1 1<br />
∫<br />
= 2<br />
∫<br />
t<br />
e dt − 2<br />
0<br />
1<br />
t<br />
= 2e<br />
− 2<br />
0<br />
= 2e<br />
− 2 − 2<br />
= 2e<br />
− 4<br />
∫<br />
0<br />
2<br />
y<br />
t t [ te − e ]<br />
1<br />
0<br />
dy<br />
t<br />
te dt<br />
[ 0 − ( −1)<br />
]
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