5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

MOISES VILLENA Integración Múltiple
Cambiando a coordenadas cilíndricas.
∫∫ ∫ ∫
π 2senθ
2 2 2
V = 2 4−x− y dA = 2 4−rrdrd
R
= 2
π
∫
0
π
∫
0
0
0 0
( 4 − r )
2
3 −2
3
2senθ
2 2
2
3
2 2
=
⎛
8 ( 4 4sen
θ
⎞
⎜ − − ) ⎟dθ
3 ⎝ ⎠
π
∫
2
= −
3
0
3 ( 8 8cos )
θ dθ
dθ
π π
⎡ ⎤
2 ⎢ ⎥
= dθ − θ θdθ 3
∫ ∫
⎢ 8
⎢
⎣ 0
2
cos
0
cos ⎥
⎥
⎦
⎡
⎢ π
⎢ θ 0
⎢
⎣
π
( ∫0
2
sen θ) ⎤
⎥
θdθ⎥ ⎥
⎦
2
= 8 − 1− cos
3
π π
⎡
⎤
2 ⎢ 2 ⎥
= 8π− cosθdθ + sen θcosθdθ 3
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∫ ∫
⎣ 0 0
⎦
⎡
⎢ π
⎢
π
senθ
0
3
π
sen θ ⎤
⎥
0 ⎥
2
= 8 − + =
3 3
⎣ ⎦
2
= [ 8π− 0+ 0]
3
16
V = π
3
Ejercicios Propuestos 5.3
1. Usando integrales dobles determine el volumen del sólido limitado por :
a)
2
2
z = 5x ; z = 3 − x ; y = 4 ; y el plano xz. Resp. 8 2
b) z =
2 2
x + y
2 2
; z = x + y
π
Resp.
6
c)
2 2
2 2 2
π
x + y = 2z
; x + y − z = 1 ; y, z = 0 Resp.
3
d)
2 2
2 2
z = x + y + 1 ; z = 0 ; x + y = 4 Resp. 12π
2.
2 2 2
Encontrar el volumen de la porción de la esfera x + y + z = 1 situada entre los planos
z = ± 1 .
2
π
Resp. 5 2
6
3.
2 2 2
Calcular el volumen del sólido que está en el interior de la esfera x + y + z = 2z
; y
arriba del paraboloide x + y = z
2 2
. Resp. 7
6 π
θ
175