5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

MOISES VILLENA Integración Múltiple
Haciendo un análisis vectorial:
��
P= ( x( u+Δ uv , ) −x( uv , ) ; y( u+Δuv , ) − y(
uv , ) )
��
Q= x( uv , +Δ v) −x( uv , ) ; y( uv , +Δv)
− y(
uv , )
( )
Dividiendo y multiplicando al vector P �� para Δ u y tomando límite:
�� ⎛ x( u+Δ uv , ) −x( uv , ) y( u+Δuv , ) − y( uv , ) ⎞ ⎛∂x ∂y⎞
P = ⎜ lim ; lim ⎟Δ u = ⎜ ; ⎟du
Δu→0 u Δu→0 ⎝ Δ Δu ⎠ ⎝∂u ∂u⎠
Dividiendo y multiplicando al vector Q �� para Δ v y tomando límite:
�� ⎛ x( uv , +Δ v) −x( uv , ) y( uv , +Δv)
− y( uv , ) ⎞ ⎛∂x ∂y⎞
Q= ⎜lim ; lim ⎟Δ v= ⎜ ; ⎟dv
Δ→ v 0 v Δ→ v 0
⎝ Δ Δv ⎠ ⎝∂v ∂v⎠
El área de la región R está dada por:
El producto cruz será:
�� ��
dA = P × Q
i j k ∂x ∂y
�� �� ∂x P × Q = du
∂u ∂y du
∂u
∂u 0 =
∂x ∂u
dudv kˆ
∂y
∂x dv
∂v ∂y dv
∂v
0
∂v ∂v
Al determinante menor resultante se lo denomina JACOBIANO y se lo
denota por:
Por tanto:
Finalmente
∂x ∂ ( xy , ) ∂u =
∂ ( uv , ) ∂x ∂y
∂u
∂y
∂v ∂v
( xy , )
( uv , )
�� �� ∂
P × Q = dudv kˆ
∂
( xy , )
( uv , )
∂
dA = dudv
∂
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