5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES
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MOISES VILLENA Integración Múltiple<br />
π<br />
3 2<br />
∫ ∫<br />
0 0<br />
π<br />
2<br />
0<br />
π<br />
2<br />
0<br />
π<br />
2<br />
0<br />
π<br />
2<br />
3<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
2 3<br />
2 2 8<br />
V = 4 ( 36 − 4x ) dx = 36 −4(<br />
3sent) 3costdt<br />
27 27<br />
Ejemplo 2<br />
8<br />
=<br />
27<br />
16<br />
=<br />
3<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
3 ( 6cos t)( 3costdt)<br />
4 ( cos )<br />
t dt<br />
16 ⎛1+ cos 2t<br />
⎞<br />
= ⎜ ⎟ dt<br />
3 ⎝ 2 ⎠<br />
∫<br />
2<br />
( 1+ 2cos 2 + cos 2 )<br />
16<br />
t t<br />
=<br />
dt<br />
3 4<br />
0<br />
π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
4 ⎢ ( 1+ cos4t)<br />
⎥<br />
= ⎢ dt + 2cos2tdt<br />
+<br />
dt⎥<br />
3⎢∫ ∫ ∫ 2 ⎥<br />
⎢ 0 0 0<br />
⎣ ⎥⎦<br />
4⎡ sen2t1 sen4t<br />
⎤<br />
= t+ 2 + t+<br />
3⎢ 2 2 8 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
4⎡3π⎤ =<br />
3<br />
⎢<br />
2 2<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
3<br />
V = π u<br />
Empleando integrales triples para calcular el volumen de la esfera que tiene por<br />
2 2 2 2<br />
ecuación x + y + z = a .<br />
Solución:<br />
Haciendo un gráfico<br />
Q<br />
x<br />
dz<br />
z<br />
dy<br />
dx<br />
π<br />
2<br />
2 2 2<br />
z = a −x − y<br />
a<br />
a z = 0<br />
0<br />
y<br />
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