Työ (ht_gradu.pdf, 999 kB) - Helsinki.fi

Pro gradu -tutkielma 

Fysiikan opettaja suuntautumisvaihtoehto 

KOKOJEN JA MUOTOJEN HAHMOTTAMINEN FYSIIKAN OPPIMISEN 

LÄHTÖKOHTANA 

Aulis Mursula 

25.5.2002 

Ohjaajat: 

Prof.emer. Kaarle Kurki-Suonio 

Prof. Heimo Saarikko 

Tarkastajat: 

Prof.emer. Kaarle Kurki-Suonio 

Prof. Heimo Saarikko 

HELSINGIN YLIOPISTO 

FYSIKAALISTEN TIETEIDEN LAITOS 

PL 64 (Gustaf Hällströmin katu 2) 

00014 Helsingin yliopisto

HELSINGIN YLIOPISTO − HELSINGFORS UNIVERSITET 

Tiedekunta/Osasto − Fakultet/Sektion 

Laitos − Institution 

fysiikka 

matemaattis-luonnontieteellinen 

Tekijä − Författare 

Mursula, Aulis Henrik 

Työn nimi − Arbetets titel 

Kokojen ja muotojen hahmottaminen fysiikan oppimisen lähtökohtana 

Oppiaine − Läroämne 

Fysiikan opettajan sv 

Työn laji − Arbetets art 

Pro gradu -tutkielma 

Tiivistelmä – Referat 

Aika − Datum 

25.5.2002 

Sivumäärä − Sidoantal 

60 

Tässä työssä tutkittiin ala-asteen matematiikan oppikirjoja Ahaa 1-6 ja Laskutaito 1-6. 

Tutkimuksessa selvitettiin, kuinka näissä kirjoissa opetetaan kokojen ja muotojen 

hahmottamiseen olennaisesti liittyvät suureet pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma. 

Erityisesti haluttiin selvittää, eteneekö opetus kirjasarjoissa hahmottavan lähestymistavan 

periaatteita noudattaen. 

Tutkimusta varten kehitettiin fysiikan ymmärtämisen peruselementteihin perustuva 

kysymyssarja, jonka avulla on pyritty analysoimaan kirjojen esityksiä hahmottavan 

lähestymistavan näkökulmasta. 

Kouluopetuksen ja erityisesti matematiikan opetuksen on todettu useissa tutkimuksissa 

olevan hyvin oppikirjasidonnaista. Tutkimalla kirjojen esityksiä, saadaan samalla luotettavaa 

tietoa itse opetuksesta. 

Tutkimuksessa selvisi, että kirjasarjat etenevät ko. suureiden opetuksessa hahmottavan 

lähestymistavan suunnassa, tosin aika ”kepeästi”. Aikaa käytetään hyvin vähän niiden 

olioiden ja ilmiöiden tutkimiseen, minkä ominaisuuksia suureet otetaan kuvaamaan. 

Mittaamisen periaatetta harjoitellaan lähinnä pituuden yhteydessä ja silloinkin siirrytään liian 

varhain standardin mukaisiin mittoihin. 

Kirjat eivät juurikaan ohjaa tekemään mittauksia luokka-, koulu- ja kotiympäristössä. 

Kirjasarjoihin liittyvät opettajan oppaat korjaisivat tosin tämän puutteen. 

Kirjojen esityksiä leimaa pintapuolisuus ja käsitteiden sekä niiden ominaisuuksien pitäminen 

itsestään selvänä. 

Tutkimuksen perusteella parannusehdotukseksi voidaan lyhyesti antaa ohje: Opetuksessa on 

oltava enemmän keskustelua ja yhteistä pohdiskelua olioiden ja ilmiöiden ominaisuuksista. 

Lisäksi tarvitaan paljon enemmän omakohtaisia mittauksia, mittaustulosten käsittelyä ja niistä 

johtopäätösten tekoa. 

Avainsanat - Nyckelord 

Hahmottava lähestymistapa, pituus, pinta-ala, tilavuus, kulma 

Säilytyspaikka - Förvaringställe 

Fysiikan laitoksen kirjasto 

Muita tietoja

Sisällysluettelo 

1 Johdanto____________________________________________________________1 

2 Käsitteenmuodostus ja suureet _________________________________________2 

2.1 Fysiikan kieli___________________________________________________________ 2 

2.2 Suureet prosesseina ______________________________________________________ 3 

2.3 Suureiden hierarkia ______________________________________________________ 4 

2.4 Fysiikan oppimisen lähtökohta _____________________________________________ 5 

2.4.1 Suureet pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma peruskoulufysiikassa______________________ 5 

2.4.2 Muita fysikaalisia yhteyksiä __________________________________________________ 6 

3 Hahmottava lähestymistapa ____________________________________________7 

4 Opetussuunnitelma __________________________________________________10 

5 Tutkimusongelmat___________________________________________________13 

5.1 Taustaa tutkimusongelmille ______________________________________________ 14 

6 Tutkimuksen toteutus ________________________________________________18 

6.1 Tutkimuksen työkalu____________________________________________________ 18 

7 Tulokset ___________________________________________________________21 

7.1 Pituus________________________________________________________________ 21 

7.2 Pinta-ala______________________________________________________________ 28 

7.3 Tilavuus______________________________________________________________ 32 

7.4 Kulma _______________________________________________________________ 39 

8 Loppupäätelmät ja suositukset ________________________________________43 

8.1 Kommentit ja parannusehdotuksia _________________________________________ 43 

8.1.1 Ilmiöiden taso ____________________________________________________________ 43 

8.1.2 Suureiden taso ____________________________________________________________ 44 

8.1.3 Lakien taso_______________________________________________________________ 46 

8.1.4 Yksikkömuunnokset _______________________________________________________ 47 

8.1.5 Hahmotusketjun jatkuvuus __________________________________________________ 48 

8.2 Kirjasarjojen vertailua___________________________________________________ 49 

9 Pohdintaa __________________________________________________________52 

LÄHTEET___________________________________________________________54 

LIITE 1 _____________________________________________________________56

1 Johdanto 

Tämä tutkimus kuuluu didaktisen fysiikan alaan ja on jatkoa 20 opintoviikon 

täydennyskoulutukselle, johon osallistuin Helsingin yliopiston fysiikan laitoksella 

29.7.1996-31.12.1997 (ns. DFCL1). Opintokokonaisuus kuului Opetushallituksen 

matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen kehittämisohjelmaan (LUMA). 

Kurssikutsussa todettiin, että kokonaisuuteen kuuluvia kursseja voi välittömästi 

hyödyntää opetuksessa. Tätä olen soveltanut myös tämän tutkimuksenkin suhteen ja 

kirjalliseen muotoon saattaminen on ollutkin toissijainen tavoite ja siksi se on vienyt 

kohtuuttoman paljon aikaa. 

Didaktinen fysiikka tarkoittaa fysiikan opetuksen problematiikkaan suuntautunutta 

fysiikan osa-aluetta. Sen lähtökohtana on fysiikan tietorakenne ja sen merkitys 

opetukselle. Oppikirjojen arviointi on yksi didaktisen fysiikan tutkimuksen kohteista. 

Päätavoite on fysiikan opetuksen kehittäminen. Tutkimuksen liitteenä on kuvaus 

didaktisesta fysiikasta tieteenalana. LIITE 1 

Omien kokemusteni mukaan kokojen ja muotojen hahmottamiseen liittyvät suureet sekä 

niiden mittayksiköiden väliset muunnokset koetaan peruskoulumatematiikassa ja 

fysiikassa erityisen vaikeaksi osa-alueeksi. Näiden asioiden oppiminen tuottaa 

vaikeuksia suurelle osaa ikäluokasta. Erityisesti pinta-ala ja tilavuus suureita ei 

ymmärretä ja eroteta toisistaan eikä myöskään pituutta, kun puhutaan nimenomaan 

tasoalueen piiristä. Yksiköiden välisiä muunnoksia ei hallita riittävän hyvin kuuden 

ensimmäisen kouluvuoden jälkeen, jolloin opetussuunnitelman mukaan ne on käyty 

läpi. Samat ongelmat vaivaavat suurta osaa ikäluokasta vielä peruskoulun päätyttyä ja 

jopa toisen asteen opintojen ajan ja vieläkin myöhemminkin. (Arons 1997, s.2-3) Tämä 

on tullut itselleni hyvin ilmeiseksi lähes kolmekymmentä vuotta kestäneen fysiikan 

opettajan urani aikana. On mielenkiintoista tutkia miksi näin on, ja onko hahmottavalla 

lähestymistavalla jotakin annettavaa tämän ongelman ratkaisemiselle? 

1

2 Käsitteenmuodostus ja suureet 

Luvut 2 ja 3 perustuvat Kaarle ja Riitta Kurki-Suonion kirjaan Fysiikan merkitykset ja 

rakenteet. (Kurki-Suonio, K. & R. 1994) 

2.1 Fysiikan kieli 

Tässä tutkimuksessa käytetään toistuvasti fysiikan termejä olio, ilmiö, ominaisuus ja 

suure. 

Oliot ovat luonnon subjekteja, kuten kappaleet ja hiukkaset esim. kenkälaatikko, 

pöytälevy tai jalkapallo. Olioiden malleja puolestaan ovat mm. geometriset objektit, 

kuten suorakulmainen särmiö, suorakulmio, ympyrä tai pallo. 

Ilmiöt ovat luonnon tapahtumia ja niiden malleja. Kaikki mitä oliot tekevät ja miten ne 

käyttäytyvät ovat ilmiöitä. Selvää rajaa todellisuuden ja mallien välillä ei ole. 

Ominaisuudet ovat olioiden ja ilmiöiden havaittavia piirteitä eli kvaliteetteja. 

Suureet ovat ominaisuuksien täsmällisiä abstrakteja vastineita eli kvantiteetteja. Niillä 

on yksikkö ja lukuarvo, joita ei ole ominaisuuksilla. Kvantitatiivisia operaatioita, kuten 

mittaaminen, määrittäminen, verrannollisuus jne. on mahdollista liittää vain 

kvantitatiivisiin käsitteisiin. Kvalitatiiviset operaatiot vuorostaan, kuten havaitseminen, 

tutkiminen, yhdistyminen voimistuminen jne. liittyvät kvalitatiivisen tason käsitteisiin. 

Suureet ja niiden yksiköt ovat abstraktioita eikä niille pidä antaa konkreettisia tehtäviä. 

Arjen puhekielessä ja usein myös opetuksen yhteydessä, jopa oppikirjoissa, käsiteluokat 

sekoittuvat ja aiheuttavat oppijoissa hämmennystä ja väärinymmärrystä. Tämä ilmenee 

erityisesti suureiden muuttumisena olioiksi. Tavallista koulumatematiikassa on myös 

olioiden mallien nimitysten sekoittuminen. Tästä tyypillinen esimerkki on 

tasokuvioiden ja geometristen kappaleiden nimitysten sekoittuminen. 

Edellä mainitun ongelman välttämiseksi opetuksessa on riittävästi tarjottava tilanteita, 

joissa opetellaan käyttämään oikeaa fysiikan kieltä. Tilanteita pitää olla niin sanalliselle 

kuin kirjallisellekin viestinnälle. Käsitteiden oikean käytön kielellisten mallien 

tarjoaminen edellyttää opettajaltakin huolellisuutta ja ammattitaitoa. Erityisesti tätä 

ammattitaitoa tarvitaan luotaessa fysiikan perusterminologiaa ja kieltä havainnoista ja 

mielikuvista lähtien. 

2

2.2 Suureet prosesseina 

Suureiden merkityksen ymmärtäminen on fysiikan ymmärtämisen avainkysymys. Näin 

ollen fysiikan opetuksessa on keskeistä, kuinka suureet määritellään, kvantifioidaan ja 

mitataan. 

Suureen määrittely tarkoittaa sen fysikaalisen merkityksen toteamista. Se ei missään 

nimessä tarkoita monien oppikirjojen tapaa ottaa suure käyttöön muiden suureiden 

avulla ilmaistuna algebrallisena lausekkeena. Suureen luo hahmotusprosessi, joka on 

monen empiirisen ja teoreettisen komponentin yhdistelmä. Suure syntyy aina sen 

merkityksestä ja suureen luo hahmotusprosessi, jossa yhdistyvät empiiriset ja 

teoreettiset komponentit. Hahmotusprosessi etenee fysiikan käsitteiden hierarkisilla 

tasoilla kaavion 3.1 mukaisesti. Tässä prosessissa kvantifiointi rakentaa kvalitatiivista 

ominaisuutta vastaavan suureen. Kvantifiointi perustuu kokeeseen, jossa todennetaan 

suureen määrittelylaki. Laki ilmaisee suureiden välisen riippuvuuden. Kokeen tuloksena 

saadaan menetelmä suureen mittaamiseksi ja voidaan valita suureen yksikkö. 

Kvantifiointi on siis prosessi, joka saattaa ominaisuuden mitattavaan muotoon. 

Kvantifiointia edeltää aina kvalitatiivisen tason esikvantifiointi, joka tarkoittaa 

komparatiivisten hahmojen luomista. Esimerkiksi olioiden pituuksia, tasoalueiden 

suuruuksia ja kappaleiden kokoja vertaillaan termein suurempi, pienempi, pienenee, 

suurenee, mahtuu enemmän, on eri kokoinen, on saman kokoinen jne. Kulman 

esikvantifiointia on esimerkiksi suunnanmuutoksen voimakkuuden toteaminen sekä eri 

suuntien (vasen, oikea, ylös, alas, eteen, taakse jne.) merkitysten hahmottaminen. 

Kvantifioivassa kokeessa olion ominaisuus esiintyy mahdollisimman pelkistettynä ja 

tällainen koe edellyttää aina tarkkaa rajausta ja idealisointeja. Esimerkiksi pinta-alan 

määrittelyssä rajoitutaan ensivaiheessa suorakulmaisen särmiön pinta-alaan. 

Yleistyminen tarkoittaa suureen merkitysten jatkuvaa laajenemista, rakenteistumista ja 

abstrahoitumista. Tässä prosessissa väljennetään ensimmäisen kokeen rajauksia. 

Kuitenkin prosessi palaa aina spiraalisesti kaikkiin suureen määrittelyn vaiheisiin. Näin 

samaa suuretta määritellään yhä uudelleen uusiin olioihin ja ilmiöihin. Tällaisesta 

yleistysprosessista on esimerkkinä pituuden yleistäminen käyrien ratojen pituuksiin ja 

pinta-alan yleistäminen kaareviin pintoihin. 

3

2.3 Suureiden hierarkia 

Suureiden määrittelylait ovat suureiden välisiä relaatioita ja siksi ne luovat suureiden 

välille hierarkkisia suhteita. Suureet kytkeytyvät toisiinsa eri tavoin ja monia reittejä 

pitkin. Yleistysprosessit luovat uusia verkkokytkentöjä, jolloin verkostosta tulee 

kerroksellinen rakennelma. 

Opetuksen ja opetuksen suunnittelun kannalta on tärkeää, että suurejärjestelmän 

hierarkkisuus otetaan huomioon. Suureen käyttöönotto edellyttää aina, että hierarkiassa 

alemmat suureet tunnetaan. Opetuksessa on edettävä tämän verkon osoittamassa 

suunnassa aloittamalla verkon pohjimmaista suureista kohti korkeamman tason 

käsitteitä. Kun opetus noudattaa hahmottavan lähestymistavan periaatteita, tämä 

vaatimus näkyy fysiikan opetuksen kokonaissuunnitelmassa peruskoulun ensimmäiseltä 

luokalta opintojen ylimmille asteille. 

Mistä tämä verkon punonta sitten alkaa? Etäisyyttä (∆s) ja aikaväliä (∆t) pidetään 

yleisesti fysiikan ensimmäisinä perussuureina. Kuitenkin molempien määrittelylait 

perustuvat lukumääräkäsitteeseen (N), jota voidaan siis pitää kaikista pohjimmaisena 

suureena. Pituuden mittaukset mahdollistavat pinta-alan (A), tilavuuden (V) ja kulman 

(φ) määrittelylakien todentamisen. Alla olevaan kaavioon on lisäksi merkitty 

avaruuskulma Ω ja käyrän kaarevuus K. 

A 

V 

∆s 

φ 

Ω 

N 

K 

∆t 

Kaavio 2.1 Suureiden hierarkkisen verkon ”pohja” (Kurki-Suonio, K. & R. 1994, 

s.208) 

4

2.4 Fysiikan oppimisen lähtökohta 

Pieni lapsi hahmottaa heti syntymänsä jälkeen ympäristöään ainakin tunnustelemalla. 

Alussa olioiden ja esineiden kokojen ja muotojen hahmottaminen on hyvin 

kokonaisvaltaista. Hahmojen tunnistaminen perustuu kuitenkin niiden pysyviin 

ominaisuuksiin: pituuksiin, pintojen kokoon ja muotoon, pintojen välisiin kulmiin jne., 

vaikka nämä käsitteet syntyvätkin paljon myöhemmin. ”Merkitykset ovat ensin”. 

Hahmo on merkitys, joka syntyy ennen käsitteitä. 

Siirryttäessä havainnoinnissa kvalitatiiviselta tasolta kvantitatiiviselle tasolle, nousevat 

kokojen ja muotojen hahmottamisessa keskeiseen asemaan suureet pituus, pinta-ala, 

tilavuus ja kulma. Fysiikan suurejärjestelmässä edellä mainitut geometriset suureet ovat 

suureiden hierarkkisen verkon pohjimmaisia suureita. (Kaavio 2.1) Näin ollen on 

tärkeää, että näiden suureiden perushahmotus ensimmäisten kouluvuosien aikana 

onnistuu hyvin. Lähtökohdan on hyvä olla kunnossa, kun eteen tulee tilanteet, joissa 

suureiden käyttöalue laajenee, suureet yleistyvät ja abstrahoituvat. (Kurki-Suonio, K. & 

R. (1994) s. 198) 

Fysiikan opiskelussa hahmottavalla lähestymistavalla on keskeistä oppia tekemään 

havaintoja ja uskomaan niihin sekä tekemään johtopäätöksiä. Tätä voidaan runsaasti 

harjoitella erilaisilla mittaustehtävillä ala-asteen aikana. 

2.4.1 Suureet pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma peruskoulufysiikassa 

Kuuden ensimmäisen kouluvuoden aikana ko. suureiden käyttö rajoittuu lähinnä 

matematiikan tunneilla geometrisiin merkityksiin, mutta heti seitsemännen luokan 

fysiikan opinnoissa suureiden käyttöalue laajenee ja monipuolistuu. 

Mekaniikassa tilavuutta määritetään tiheys-suureen opiskelun yhteydessä hyvin 

erilaisissa tilanteissa ja samalla varmentuu litra- ja kuutiomittojen yhteys. 

Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden uusia konteksteja ovat mm. nopeuden, työn, tehon ja 

potentiaalienergian määrittäminen, jolloin suureiden mittaamisen palautuu pituuden 

(välimatkan, siirtymän) mittaamiseen sekä paineen ja nosteen yhteydessä pinta-alan ja 

tilavuuden mittaamiseen. Pituuden arvot ovat kokonaan uutta kertaluokkaa, kun 

käsitellään atomifysiikkaa ja tähtitiedettä. 

5

Aaltoliike ja valo-opissa geometrisen optiikan opiskelussa kulmasuure ilmenee 

nimenomaan suuntina, suunnan muutoksissa ja suuntaeroina. Pinta-ala puolestaan 

esiintyy valaistussuureen yhteydessä. Pituus yleistyy, kun määritellään aallonpituus. 

Lämpöopissa ko. suureet ovat esillä lämpölaajenemisen tutkimuksen yhteydessä ja 

sähköopissa metallilangan resistanssia tutkittaessa. 

2.4.2 Muita fysikaalisia yhteyksiä 

Kokojen ja muotojen hahmottamiseen liittyvät oleellisesti verrannollisuus- ja 

symmetriakäsitteet. Kummankin käsitteen perusta luodaan ala-asteen matematiikassa 

erilaisten kappaleiden ja tasokuvioiden havainnoinnissa ja luokittelussa. 

Verrannollisuuskäsitteen ymmärtäminen on fysiikan oppimisessa keskeistä kaikilla 

tasoilla. Suureiden ja lakien empiirinen hahmottaminenhan lepää tällä periaatteella. 

Suureen kvantifiointi tapahtuu kokeella, jossa aina verrataan olioiden tai ilmiöiden 

ominaisuuksien asteita. Kokeella todennetaan suureen määrittelylaki, mikä perustuu 

tunnettujen suureiden verrannollisuuteen. 

Symmetria puolestaan on kaikkialle luonnossa ulottuva periaate, jonka 

itsestäänselvyyden rikkoontuminen eri tilanteissa pistää jo pienen lapsenkin silmään. 

Fysiikassa tämä tulee esiin kappaleiden ja ilmiöiden symmetrisissä ominaisuuksissa 

kvanttimekaniikasta tähtitieteeseen. Symmetrian periaatteeseen palautuvat kaikki 

suureet, lait ja modernin fysiikan teoriat. (Kurki-Suonio, K. & R. 1994, s. 372 ja Enqist 

1996, s. 65) 

Suureiden pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma käyttö yleistyy ja abstrahoituu 

ensimmäisistä hahmotetuista merkityksistä niissä fysiikan osa-alueissa, joissa 

vektorianalyysi ja integraalilaskenta ovat keskeisinä työvälineinä. 

6

3 Hahmottava lähestymistapa 

Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opettamisen didaktinen periaate, jossa 

käsitteiden perustana ovat niiden hahmotetut merkitykset eikä niiden väliset relaatiot. 

Hahmottavan lähestymistavan mukaan oppiminen fysiikassa on sellainen 

hahmotusprosessi, jossa edetään ilmiöistä ja havainnoista kohti teoriaa ja selitystä. 

Prosessi on kuitenkin luonteeltaan spiraalinen. Lakeja ja teorioita tarkennettaessa 

joudutaan aina palaamaan yhä uudelleen ilmiöiden tasolle. Suureet, lait ja teoriat ovat 

avoimia, jatkuvan kehityksen alaisia eikä niitä voi opettaa valmiiksi yhdellä kertaa, jos 

ollenkaan. Oppimista hahmottavalla lähestymistavalla voidaan esittää seuraavalla 

kaaviolla. 

7

Kaavio 3.1: Hahmottava lähestymistapa (Kurki-Suonio, K & R 1994, s.159) 

Kvalitatiivisen tiedon tasolla tehdään havaintoja, tunnistetaan, luokitellaan ja 

luonnehditaan olioita ja ilmiöitä sekä niiden ominaisuuksia. Tämä tarkoittaa kokojen ja 

muotojen hahmottamisessa tuttujen arkipäiväisten esineiden tunnistamista, näiden 

esineiden luokittelua kokojen ja muotojen perusteella suuremmiksi ja pienemmiksi tai 

samanmuotoisiksi ja erilaisiksi. Piirrosten ja kuvioiden luokittelua muotojen ja 

piirrosten kokoa määrittävien pituuksien, tasoalueiden suuruuksien ja kappaleiden 

kokojen mukaan. Tähän perushahmotukseen kuuluu myös suuntien (vasen, oikea, ylös, 

alas jne.) luokittelua erilaisissa yhteyksissä. 

Kvalitatiivisella tasolla luodaan myös mielikuvia suureiden välisistä riippuvuuksista. 

Tämä tarkoittaa mm. sen asian hahmottamista, kuinka tasoalueen suuruus tai kappaleen 

koko riippuvat näiden dimensioista. 

Kvantitatiivisen tiedon tasolla fysiikan opetuksessa kuuluu mittaaminen ja 

mittaustietojen esittäminen numeerisesti, graafisesti ja algebrallisesti. Mittaustulosten 

perusteella muotoiltujen, suureiden välisiä riippuvuuksia esittävät lait ovat ilmiötä 

esittäviä pelkistettyjä malleja. Mallien käyttöönottoon liittyy erottamattomasti niiden 

pätevyysalueen tarkastelu. Suureen merkityksen ymmärtämiseksi on lähdettävä 

liikkeelle ilmiön tai olion ominaisuudesta, jonka esittämiseen suuretta tarvitaan eli 

suureen empiirisistä merkityksistä. 

Tutkimuksen kohteena olevien suureiden yhteydessä edellä oleva tarkoittaa 

ensimmäiseksi mittauksen periaatteen selvittämistä. Kvalitatiivisella tasolla se on 

kahden olion vertaamista keskenään tai useamman olion asettamista konkreettisesti 

järjestykseen. Kvantitatiivisella tasolla olioita mitataan vertaamalla niitä ennalta 

sovittuun mittaan, joka on kaikkien ko. suureiden osalla pitkään jotain aivan muuta kuin 

SI-järjestelmän mukainen yksikkö. Suorakulmion pinta-alan ja suorakulmaisen särmiön 

tilavuuden laskulain määrittelyn yhteyteen kuuluu myös yksiköiden määrittely. 

Geometriset kappaleet ovat ”oikeiden” esineiden ideaalisia malleja. Tästä syystä pintaalojen 

ja tilavuuksien laskemisen yhteydessä on kiinnitettävä huomiota järkevään 

tarkkuuteen tuloksen ilmoittamisessa. 

Teorian taso on fysiikan tietorakenteen ylin hierarkkinen taso. Se on ilmiöiden 

ymmärtämisen ja selittämisen taso. Teorian avulla voidaan tehdä erilaisille systeemeille 

8

uusia ennusteita, joita voidaan testata ja mitata kokeellisesti. Tämä merkitsee 

vuorovaikutusta, joka kytkee yhteen kokeelliset ja teoreettiset prosessit. 

Tätä voidaan kouluopiskelussa konkretisoida mm. määrittämällä suorakulmaisen 

särmiön muotoisen astian tilavuus täyttämällä astia litran mitalla ja toisaalta mittaamalla 

astian dimensiot ja laskemalla tilavuus. Paperille piirretyt suorakulmiot, joissa pituuden 

ja leveyden tulot ovat samat, voidaan leikkelemällä sopiviin osiin saada saman 

muotoisiksi, jolloin nähdään alueiden kokojen yhtäsuuruus. 

9

4 Opetussuunnitelma 

Suomen kouluissa noudatetaan opetussuunnitelmaa, joka on laadittu opettajien toimesta 

omassa koulussa. Vuoden 1994 opetussuunnitelmauudistuksessa annettiin kouluille vain 

valtakunnallinen kehys, Peruskoulun opetussuunnitelman perusteet. Kunkin koulun 

opetussuunnitelma nojaa näihin varsin väljiin perusteisiin. Uudistuksessa lisättiin tällöin 

yksittäisen kunnan, koulun ja opettajan päätösvaltaa ja vastuuta merkittävästi, kun 

lopullisten opetussuunnitelmien laatiminen siirrettiin kouluille. Tässä yhteydessä 

poistettiin myös oppikirjoilta hyväksyttämismenettely. 

Tätä uudistusta aiemmin opetuksen kehittäminen on ollut hallinnollista ja keskitettyä. 

Pikkutarkat opetussuunnitelmat annettiin kaikkiin kuntiin täsmälleen samanlaisina. Nyt 

uudessa lähestymistavassa opetussuunnitelmaa ei nähty valmiina tuotteena vaan 

prosessina, jonka mukana opettaja kehittyy oman työnsä arvioijana. 

Opetussuunnitelman perusteiden mukaan (Opetushallitus 1994, s.75) ala-asteella 

matematiikan opiskelussa on keskeistä, että oppilas: 

• tottuu ympärillä olevan maailman havainnointiin ja sen tulkitsemiseen matematiikan 

keinoin sekä ongelmatilanteiden tunnistamiseen ja niissä toimimiseen 

• ymmärtää luonnollisen luvun sekä murto- ja desimaaliluvun käsitteet ja oppii 

peruslaskutaidot päässä, paperilla ja laskimilla ja näiden käyttämisen arkielämän 

ongelmien ratkaisemisessa sekä tottuu arvioimaan suuruusluokkia ja tulosten 

oikeellisuutta 

• oppii arvioimaan ja mittaamaan pituutta, massaa, pinta-alaa, tilavuutta, kulmaa ja 

aikaa sekä oppii näiden suureiden tavallisimmat mittayksiköt ja niiden muunnokset 

• ymmärtää mittakaavan käsitteen ja oppii käyttämään sitä piirrosten ja karttojen 

tulkinnassa 

• oppii tunnistamaan ja piirtämään tavallisimpia geometrisia kappaleita ja kuvioita, 

kuvaamaan niiden perusominaisuuksia ja laskemaan näiden pinta-aloja ja 

tilavuuksia sekä tutustuu symmetriaan 

• perehtyy asioiden ja esineiden lajitteluun ja luokitteluun, säännönmukaisuuksien 

löytämiseen ympärillä olevasta maailmasta ja näiden kuvaamiseen sekä tottuu 

laatimaan, lukemaan ja tulkitsemaan yksinkertaisia taulukoita ja diagrammeja. 

10

Matematiikan opiskelun luonteesta ja opetuksen lähtökohdista opetussuunnitelman 

perusteissa todetaan mm. (Opetushallitus 1994, s.76): 

Matematiikan opiskelussa oppilas nähdään aktiivisena tiedon hankkijana, käsittelijänä 

ja tallentajana, jolle oppiminen on opittavien asioiden liittämistä hänen aiempiin 

tietoihinsa sekä hänen aikaisempien ajatus- ja toimintamalliensa uudelleenrakentamista 

ja täydentämistä. Näin tähdätään siihen, että pitkäjännitteisen työskentelyn tuloksena 

tiedot ja taidot vähitellen jäsentyvät ja tarkentuvat oppilaalle käyttökelpoiseksi 

rakennelmaksi. 

Oppimistilanteet tulisi rakentaa keskustelunomaisiksi, kokeileviksi ja 

ongelmakeskeisiksi pitäen lähtökohtana mahdollisimman usein oppilaille tuttua 

konkreettista arkielämän tilannetta. Alusta alkaen matematiikan opiskelussa tähdätään 

ymmärtämään käsitteitä. Se tapahtuu konkreetin toiminnan kautta ja pitkään askartelua 

ja leikinomaisuutta korostaen. Lukujen numeeriset merkinnät sekä niiden 

peruslaskutoimitukset otetaan vähitellen käyttöön vasta käytännön ongelmatilanteiden 

tutkimisen, oppilaiden sanallisten tulkintojen ja mittaamisen kautta. 

Ongelmanratkaisu on matemaattis-loogisten vaatimusten ohella opetuksen keskeinen 

periaate. 

Kaikenikäisten ja tasoisten oppilaiden tulisi saada rakennella ja tehdä käsillään malleja 

kyetäkseen luomaan oikeita mielikuvia ja muodostamaan käsitteitä. Matemaattisen 

ajattelun kehittymistä tuetaankin usein parhaiten silloin, kun ei liian nopeasti kiirehditä 

abstraktiin symboliesitykseen. 

Desimaaliluku kytkettynä mittaamiseen, yksikönmuunnokset ja prosenttikäsitteen 

syventäminen muodostavat yhden keskeisen oppimiskokonaisuuden. 

Realistisen kuvan saaminen matematiikan käyttökelpoisuudesta edellyttää opetuksen 

integroimista monipuolisesti koulun muuhun työskentelyyn ja ulkopuoliseen maailmaan. 

Tutkimusten mukaan tämä vuonna 1994 toteutettu opetussuunnitelmauudistus ei 

kuitenkaan suuresti ole muuttanut luokkahuoneessa tapahtuvaa opetusta. Kouluissa 

laaditut opetussuunnitelmat eivät suuresti ohjaa opetuksen suunnittelua tai 

opetustapahtumaa, vaan tärkein oppituntia ohjaava tekijä on oppikirja. Tämän takia 

opetussuunnitelman perusteiden ihanteisiin on vielä valtakunnallisesti pitkä matka. 

(Korkeakoski ym.2001 s.174 ja Vaahtokari ym.1998 s.213-214, 230) 

11

Opetussuunnitelman perusteet korostavat ansiokkaasti fysiikan opiskelussa tärkeiden 

perustaitojen opettelua: havaintojen tekoa ja tulkitsemista, arviointia ja mittaamista, 

luokittelua ja säännönmukaisuuksien löytämistä, taulukoiden ja diagrammien laatimista 

ja tulkintaa. Matematiikan opetuksen luonteesta todetaan juuri niitä asioita, mitkä ovat 

keskeisiä myös fysiikan oppimisen lähtökohtana. 

Kokojen ja muotojen käsittelyä matematiikan opetussuunnitelman perusteissa sivutaan 

useammassa kohdin. Oppilaita ohjataan havaitsemaan säännönmukaisuuksia 

ympäristöstä ja nimeämään ja luokittelemaan näitä ominaisuuksia. 

12

5 Tutkimusongelmat 

Opetussuunnitelman ja arkipäivän havaintojen välillä vallitsee aikamoinen ristiriita. 

Fysiikan suureiden verkon pohjimmaiset suureet opetetaan perusopetuksen luokilla 1-6 

matematiikan tunneilla. Jos opetus etenee, niin kuin edellä opetussuunnitelman 

perusteisiin on kirjattu, kuvittelisin että pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulmakäsite 

ymmärrettäisiin huomattavasti paremmin kuin mitä seitsemännen luokan matematiikan 

ja fysiikan tunneilla olen havainnut. 

Oppimisprosessi on hyvin monimutkainen ja siihen vaikuttavia tekijöitä on useita. 

Kuitenkin hyvän opetuksen yksi tunnusmerkki on mielestäni se, että opetus noudattaa 

hahmottavan lähestymistavan periaatteita. Katson tarpeelliseksi selvittää, onko näin 

luokkien 1-6 matematiikan kirjasarjojen osalta, kun pyritään hahmottamaan muotoja ja 

kokoja. Tähän kuuluu silloin tutkia suureiden pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma 

opettaminen. Tutkimuksen ulkopuolelle olen jättänyt verrannollisuus- ja 

symmetriakäsitteiden tarkastelun oppikirjoissa, vaikka ne kuuluvatkin läheisesti 

kokojen ja muotojen hahmottamisen problematiikkaan. En ole myöskään käynyt 

tarkkailemassa opetusta luokkahuoneissa tai tehnyt kyselytutkimusta, vaan olen rajannut 

tutkimuksen pelkästään oppikirja-analyysiin. 

Oletan, että tutkimalla oppikirjasarjoja, matematiikan opetuksesta saa kohtuullisen 

oikeansuuntaisen kuvan. Erityisesti oletan sen pätevän suureiden pituus, pinta-ala, 

tilavuus ja kulma opettamiseen. Näin ajattelen siksi, että oletan matematiikan opetuksen 

etenevän ala-asteella pääsääntöisesti oppikirjan mukaan. Opettajien harrastuneisuus 

painottuu enemmän liikuntaan ja taideaineisiin, jolloin mielenkiinto matematiikan 

oppituntien opetusjärjestelyjen kehittelyyn on vähäisempää. Opetusmateriaalit ovat 

nykyään laaditut niin selkeästi tunnista toiseen saman kaavan mukaan eteneväksi, että 

oppilaat pystyvät suoriutumaan matematiikan tunnista jopa aivan itsenäisesti. 

Opettajanoppaita hyödynnetään lähinnä vastauskirjana ja lisätehtäväpankkina. 

Tätä oletustani oppikirjasidonnaisuudesta tukee (Vaahtokari ym. 1988 s.214), jonka 

mukaan opetusta selvittäneet tutkijat ovat esittäneet, että kirjat ja alun pitäen opetusta 

helpottamaan syntyneet aineistot ovat alkaneet ohjata oppitunnin kulkua, läksyjen tekoa 

ja oppilaiden ajankäyttöä. Oppikirjat ovat siis toiminnan kohteena. Oppikirjoista on näin 

ollen tullut noudatettava opetussuunnitelma ja oppikirja on yksi tärkeimmistä 

13

matematiikan oppimis- ja opiskeluympäristön määrittäjistä. Oppimateriaalipaketit on 

laadittu niin, että oppitunnin kulkua etukäteen suunnittelemattakin tunnin voi pitää 

sujuvasti tämän materiaalin avulla tunnista toiseen lähes samaa kaavaa noudattaen. 

Koululaitoksen säästöpaineiden vaikutus näkyy oppimisolosuhteiden heikentymisenä. 

Opetusryhmien koon kasvaessa on kouluissa ehkä jouduttu luopumaan monista 

pienempien ryhmien mahdollistamista opetusratkaisuista ja ehkä on jouduttu palaamaan 

”vanhaan”: enemmän esittävää opetusta, vähemmän materiaalivaihtoehtoja, lisää 

tilanahtautta ja ilmapiirin kireyttä. (Kupari 1998, s.234 ja Linnanmäki 1998, s.293) 

Määrittelen tämän tutkimuksen tutkimusongelmat ja tavoitteet seuraavasti: 

1. Sellaisen sisällön analysointitavan kehittäminen, jolla voidaan arvioida hahmottavan 

lähestymistavan toteutumista. 

2. Onko pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulmakäsitteen opettamisessa käytetty 

hahmottavaa lähestymistapaa ala-asteen matematiikan oppikirjasarjoissa? 

3. Ohjaavatko opettajan oppaat käyttämään menetelmäohjeissaan hahmottavaa 

lähestymistapaa? 

4. Onko kirjasarjojen välillä oleellista eroa? 

5. Sellaisten opetusjärjestelyjen, työtapojen ja materiaalien kehittäminen, että opetus 

olisi hahmottavan lähestymistavan mukainen. 

Oppikirjoja arvioidaan mielestäni koulun tasolla useimmin ns. ”mututuntumalla”. Usein 

kirjat teilataan joko käyttökelvottomaksi tai kehutaan ylisanoin hyviksi, mutta perustelut 

tälle arvioinnille ovat yleensä kovin niukat tai ne voivat kuulijasta tuntua opetuksen 

kannalta epäoleellisilta. Tässä tutkimuksessa arvioitaessa kirjoja hahmottavan 

lähestymistavan näkökulmasta, oli ensin määriteltävä kriteerejä, mitä kirjojen tulisi 

täyttää. Tämä pohdinta on ollut tutkimuksessa hyvin keskeisessä asemassa eikä se ole 

ollut ollenkaan helppoa. 

5.1 Taustaa tutkimusongelmille 

Edellä kirjattuihin tutkimusongelmiin päädyin pohdittuani niitä vaikeuksia, jotka 

toistuvat vuodesta toiseen lähes samanlaisina uusien ikäluokkien kanssa fysiikan ja 

14

matematiikan tunneilla. Impulssin ja valmiuksia tällaiseen pohdintaan antoi 

johdantokappaleessa mainitsemani täydennyskoulutus. 

Esittelen seuraavassa muutaman tyypillisimmän esimerkin tehtävistä, joissa mielestäni 

selvästi näkyy puutteet suureiden oppimisessa. Tehtävät ovat yläasteen matematiikan 

kirjasta (Heinonen ym.1995) tai tehtävä on usein käyttämäni testi- tai koetehtävä. 

E1 Yläasteen Plussa 2 tehtävä 74 sivu 107 

Uima-altaaseen pumpataan vettä 50 litraa minuutissa, jolloin se täyttyy 12 tunnissa. 

a) Kuinka paljon vettä tulee altaaseen tunnissa? 

b) Mikä on altaan tilavuus? 

c) Mikä olisi altaan täyttöaika, jos veden virtaamisnopeutta nostetaan 80 litraan 

minuutissa? 

Tehtävän b – kohta tuottaa monille vaikeuksia. Oppilaat alkavat ensimmäiseksi pohtia 

mitkä voisivat olla altaan pituus, leveys ja korkeus? Kun näitä ei tehtävästä löydy, jää 

koko ongelma ratkaisematta. Jonnekin oli unohtuneet ensimmäiset tilavuuden 

määritykset erilaisilla astioilla ja litramitoilla. Ehkä uutta tilannetta ei osata yhdistää 

ensimmäiseksi opittuun, kun välissä on opittu suorakulmaisen särmiön tilavuuden 

laskualgoritmi. Selityksenä voisi olla myös se, että kirjojen mukaan etenevässä 

opiskelussa ei ole juurikaan konkreettista toimintaa, vaan askarrellaan kirjan pieniin 

kuviin liittyvillä tehtävillä. 


Kun pitkä luotilanka laitetaan riippumaan Pisan tornin huipusta, ”luoti” jää 4,3 metrin 

etäisyydelle tornin juuresta. Laske tällä perusteella tornin kallistuma, kun tornin korkeus 

on 55 metriä. 

15


Rinteeseen on rakennettu kuvan mukaiset portaat. Laske rinteen kaltevuus. 

E4 Testi Purjeveneen suunnanmuutos poijulla. 

Olen usein testannut seitsemäsluokkalaisten kulmakäsitteen ymmärtämistä geometrian 

jakson alkaessa seuraavalla tehtävällä. 

Purjehduskilpailussa veneet 

purjehtivat 

ensimmäiselle 

kääntöpoijulle suoraan pohjoiseen ja 

kääntyvät poijulla A piirroksen 

esittämään suuntaan. Kuinka monta 

astetta on kulkusuunnan muutos? 

Merkitse kuvaan käännöksen 

suuruutta osoittava kulma. 

A 

Esimerkkien 2, 3 ja 4 tehtävissä tuli selkeästi esiin vaikeus hahmottaa suuntia ja 

suuntaeroja, kun on totuttu kulmaan oliona. Käsitteet vaakasuora, pystysuora, luotisuora 

ja poikkeaminen näistä suunnista (kallistuminen, kääntyminen, jne.) eivät juurikaan tule 

esiin tutkimuksen kohteena olevissa kirjoissa. 

Esimerkeissä 2 ja 3 oppilaita houkutteli paljon enemmän laskea kolmioon syntyvä 

suurempi terävä kulma ja esimerkissä 4 valtaosa mittaa piirroksessa olevan terävän 

kulman eikä suuntien välistä eroa. 

16

E5 Testi: Piirrä paperille luonnollisessa koossa suorakulmio, jonka pinta-ala on 

150 cm 2 . 

Edellä esitettyä testiä olen käyttänyt usein luokilla 5-9. Kokemukseni mukaan 5.-7.- 

luokkalaisista piirroksen saa oikein vain 5-10 prosenttia oppilaista ja vasta 

yhdeksännellä luokalla tehtävä onnistuu lähes kaikilta. Suorakulmion pinta-ala 

opiskellaan kuitenkin viidennellä luokalla ja tuoreeltaan vain noin puolet oppilaista 

piirtää jonkinlaisen suorakulmion, loput suoran kulman tai jotain muuta epämääräistä. 

Tyypillinen piirros on myös pieni suorakulmio, johon kuitenkin on sivujen pituuksiksi 

merkitty esim. 15 cm ja 10 cm. 

E6 Fysiikan koetehtävä: Mittaa ja laske työpisteessä olevan laatikon tilavuus. 

Annetun kaltainen tehtävä onnistuu erittäin harvalta 7. luokan oppilaalta. 

Suorakulmaisen särmiön tilavuutta on opeteltu laskemaan pienistä kirjan kuvista 

matematiikan tunneilla kuudennella luokalla ja pienistä puupalikoista tiheyden 

määrittämisen yhteydessä seitsemännen luokan fysiikan tunneilla. Opittua ei osata 

siirtää tilanteeseen, jossa sylissä on suuri pahvilaatikko ja välineenä rullamitta. 

Tyypillinen virhe on mitata yksi särmä kahteen kertaan, jolloin jokin särmistä jää 

kokonaan mittaamatta. Jos särmät saadaankin oikein, niin tilavuuden laskeminen ei 

onnistu. Niistäkin oppilaista, jotka ymmärtävät kertoa särmien pituudet keskenään, osa 

ei osaa käyttää tilavuuden yksiköitä. Vielä seitsemännellä luokalla yksiköt 1 m 3 , 1 dm 3 

ja 1 cm 3 ovat vaikeita. Erityisesti eksponentti 3 on hämmentävä ilmestys. 

17

6 Tutkimuksen toteutus 

Tutkimusmateriaalina on ollut kaksi WSOY:n kustantamaa matematiikan kirjasarjaa: 

Ahaa 1-6 ja Laskutaito 1-6. Kirjasarjojen valintaan vaikutti se, että omassa koulussani 

kaikki luokilla 7-9 opettamani oppilaat ovat lukeneet juuri näitä kirjoja. Tutkimuksen 

aikana Ahaa sarja on jäänyt kokonaan pois käytöstä ja tällä hetkellä (vuosi 2002) kaikilla 

meille siirtyvillä oppilailla on ollut käytössään Laskutaito sarja ainakin luokilla 5-6. 

Olen käynyt aluksi molemmat kirjasarjat läpi rivi riviltä ja kirjannut ylös kaikki tehtävät 

ja opetusvinkit, mitkä liittyvät suureiden pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma 

opettamiseen. Tämän jälkeen ryhmittelin aineiston suureiden mukaan ja tästä aineistosta 

analysoin kirjaamani muistiinpanot. Pyrkimyksenä oli tiivistää kirjaukset ja kommentit 

mahdollisimman lyhyeen ja luettavaan muotoon. Arviointini yhteenvedon ja 

parannusehdotukseni olen kirjannut kappaleeseen 8. 

Tutkimuksen ensisijainen tarkoitus on kuvata miten ko. suureet tulee opetetuksi, jos 

opetuksessa edetään pääasiassa oppilaankirjojen mukaan. Olen arviointiosuudessa 

kuitenkin ottanut mukaan myös opettajan oppaiden materiaalia. 

6.1 Tutkimuksen työkalu 

Opetuksessa, jossa jokainen uusi käsite rakentuu aikaisemmalle, on käsitteiden 

käyttöönotossa noudatettava oikeaa järjestystä, on otettava huomioon suurejärjestelmän 

hierarkkinen luonne. Edelleen käsitteiden prosessiluonteesta seuraa, ettei 

matematiikassa ja fysiikassa voi mitään opettaa kerralla valmiiksi, vaan aiheen käsittely 

palautuu aina uudelleen alemmille tasoille ja johtaa siellä laajennuksiin, yleistyksiin ja 

täsmennyksiin. Käsitteet ovat avoimia ja jatkuvan kehityksen alaisia. 

Käsitteitä ei voida ottaa käyttöön valmiina tuotteina, vaan käsitteet opitaan niiden 

hahmotettujen merkitysten kautta. Käsitteet on hahmotettava itse. Ymmärtäminen on 

mahdollista vain omakohtaisen havainnoinnin kautta. Hahmottava lähestymistapa 

korostaa empirian primaarisuutta käsitteenmuodostuksen perustana. 

Hahmottavan lähestymistavan toteutumista kirjasarjoissa olen arvioinut analysoimalla 

tutkimuksessa olevien suureiden opettamista alla olevan jäsentelykaavion periaatteisiin 

nojautuen. 

18

7. 

JÄTTILÄISEN 

HARTIAT 

JÄSENTELYN PERUSKAAVIO 

1. ILMIÖT 

2. SUUREET 

3. LAIT 

4. TEORIAT 

5. SOVELLUKSET 

6. 

TARKENNUKSET 

YLEISTYKSET 

Kavio 6.1 Fysiikan ymmärtämisen peruselementit, Kurki-Suonio K & R 1994, s.287 

Kaavion kohdat 1-7 edustavat fysikaalisen käsitteenmuodostuksen peräkkäisiä vaiheita. 

Vaiheiden järjestys on sitova ja ilmaisee kunkin suureen käsittelyssä etenemissuunnan 

hahmottavassa lähestymistavassa. Peruskoulun luokkien 1-6 matematiikan oppikirjoissa 

korostuvat kolme ensimmäistä vaihetta. Myöhempien vaiheiden käsittely perustuu aina 

edeltävien vaiheiden hallintaan. Yhdenkin vaiheen väliin jättäminen olisi siis varsin 

vahingollista käsitteenmuodostukselle. 

Kirjasarjojen esityksiä olen pyrkinyt arvioimaan kolmella alimmalla tasolla seuraavien 

kysymysten avulla: 

Ilmiöiden taso: 

• Minkälaisiin ilmiöihin ja olioihin uudet käsitteet liitetään ja mitä näiden 

ominaisuuksia niillä kuvataan. Onko niitä kattavasti? 

• Onko suureen käyttöönotto perusteltu? 

• Onko suureen ominaisuuksia tunnistettu ja luonnehdittu vertailemalla ja 

luokittelemalla riittävän suurella ja monipuolisella tehtävämäärällä ja omakohtaisilla 

tutkimuksilla? 

Suureiden taso: 

• Onko mittaamisen periaate ollut esillä riittävästi ennen SI-järjestelmän mukaisten 

yksiköiden käyttöönottoa? 

• Onko mittauksia tehty kattavasti erilaisissa tilanteissa? 

• Onko mittausharjoitusten yhteydessä opiskeltu yksikköjärjestelmän yksiköitä 

(pituuden yksiköt, litramitat, kulman yksikkö aste)? 

• Kuinka käsitteen käyttöalue laajenee ja kiinnitykset monipuolistuvat kuuden vuoden 

aikana kirjasarjoissa? 

Lakien taso: 

19

• Onko pinta-alojen ja tilavuuksien määrittelylakien käyttöönotto perusteltu sopivilla 

kokeilla tai esimerkeillä niin, että oppilaat itse keksivät suureiden väliset 

riippuvuudet vai onko malli (suorakulmion ala tai suorakulmaisen särmiön tilavuus) 

annettu ensin? 

• Onko määrittelylakien käyttöaluetta korostettu riittävästi (rajaukset tasoalueen 

suuruuden määrityksessä ja kappaleen koon määrityksessä)? 

• Onko standardin mukaisten pinta-alan yksiköiden ja kuutiomittojen käyttöönotto 

tapahtunut lakien määrittelyn yhteydessä? 

• Onko laskualgoritmin käyttöä harjoiteltu monipuolisesti erilaisissa konteksteissa? 

Edelleen on tärkeää todeta teksteistä lepääkö ylempien tasojen käsittely aina alemmilla 

vai hypätäänkö opetuksessa jonkin vaiheen yli tai unohdetaanko jossakin vaiheessa 

aiemmin tehty perushahmotus kokonaan. 

20

7 Tulokset 

Tutkimustuloksissa selvitetään suureiden pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma 

opettaminen tutkimuksen kohteena olevissa kirjasarjoissa. Kunkin suureen kohdalla 

käydään sen esiintyminen kirjasarjassa kronologisessa järjestyksessä kirjan osasta 1 

osaan 6. Tässä yhteydessä olen pyrkinyt kuvaamaan kirjojen esitykset mahdollisimman 

tiivistetysti. Varsinaisesti olen kerännyt kommentit ja parannusehdotukset kappaleeseen 

8, mutta myös tulosten yhteydessä on kommentteja silloin, kun niitä on tuntunut 

luontevalta jo tässä yhteydessä esittää. 

7.1 Pituus 

7.1.1 Laskutaito 

Pituuden perushahmotus tapahtuu ensimmäisen kouluvuoden aikana kahdella sivulla 

pituuden arvioimistehtävillä. Laitetaan kengännauhat pituusjärjestykseen, väritetään 

yhtä pitkät sauvat samalla värillä. Tämän jälkeen viivoittimen kuvan avulla määritellään 

senttimetri ja pyydetään mittaamaan kynien, sauvojen ja reittien pituuksia viivoittimella. 

Harjoituksia on kahden sivun verran. 

Laskutaito sarjan oppilaan kirjaa käytettäessä mittaamisen periaate ei oppilaille selviä. 

Suureen hahmotus aloitetaan oikein luokittelutehtävillä vertailemalla sauvojen 

pituuksia, mutta jo seuraavalla aukeamalla otetaan käyttöön senttimetri. Vain oppikirjaa 

käytettäessä käsitteen opetteluun varattu aika olisi luvattoman lyhyt eikä käsitettä pituus 

tässä aloitusjaksossa esitellä riittävän kattavasti erilaisissa yhteyksissä. 

Opetuksen edetessä opettajan oppaan mukaan, noudatetaan pitkälti hahmottavan 

lähestymistavan periaatteita. Opas ohjaa perustelemaan mittaamisen tarpeen, 

käyttämään ensin konkreettisia mittoja (lyijykynä, naru, keppi, ruumiinosat) sekä 

huomaamaan mittaamiseen liittyvän epätarkkuuden. Opas myös mainitsee tämän 

harjoittelun keskeisen tavoitteen: Ohjata oppilaat ymmärtämään, että vain samalla 

mitalla mitattuja tuloksia voidaan verrata keskenään. 

Toisella luokalla kirjassa on kolme sivua pituuksien vertailutehtäviä ja kaksi sivua 

yhteen ja vähennyslaskua pituuksilla, kun yksikkönä on senttimetri. 

21

Opetellaan pyöristämään pituus kuvasta täysille senttimetreille ja otetaan käyttöön metri 

mallina tauluviivain. Todetaan 1 m = 100 cm. 

Opetellaan merkitsemään pituuksia metrien ja senttimetrien avulla, vertailemaan eri 

tavalla merkittyjä pituuksia ja muuntamaan senttimetreinä esitetty pituus metreinä ja 

senttimetreinä ja päinvastoin sekä laskemaan taulun kehyslistan pituus ja tontin aidan 

pituus. Termiä piiri ei kuitenkaan käytetä. Harjoituksia on kirjassa neljä aukeamaa. 

Kolmannen luokan syksyllä harjoitellaan erilaisten pituuksien vertailua, kun siltojen, 

tunneleiden, jokien jne. pituudet on annettu metreinä. Arvioidaan matkoja erilaisista 

aarrekartoista. Yksikölliset luvut ovat mukana yhteen-, vähennys- ja 

kertolaskuharjoitteissa. Yhdessä tehtäväsarjassa pyydetään pyöristämään jokien 

pituuksia kymmenien ja satojen kilometrien tarkkuudella. Yksikkö kilometri opetetaan 

kuitenkin kirjasarjassa vasta kolmannen kevään kirjassa. Pyöristyssäännöstä kirjasarja 

kertoo ensimmäisen kerran 3. kevätosan kirjassa. 

Laskutaito 3 kevätosassa mittaamisen ja arvioinnin jakso alkaa tehtävillä, joissa 

mitataan kuvioista pituuksia ja tulos pyöristetään senttimetrien tarkkuuteen. 

Uusina yksikköinä otetaan käyttöön millimetri ja desimetri. Yksiköt määritellään 

kuvateksteillä: ”Pienten viivojen väli on yksi millimetri. Se merkitään 1 mm. 1 cm = 10 

mm, 2 cm 5 mm = 25 mm”. Kuvassa on viivoitin, jonka viereen on piirretty janat 10 

mm ja 25 mm. ”10 cm = 1 desimetri. Se merkitään 1 dm. 1 dm = 10 cm, 1 dm = 100 

mm”. Kuvassa on viivoitin, jonka viereen on piirretty jana 1 dm. Molempia uusia 

yksiköitä harjoitellaan käyttämään kirjassa aukeaman verran. 

Tämän jälkeen harjoitellaan samanaikaisesti yksiköillä metristä millimetriin. 

Yksiköiden suhteita havainnollistetaan paikkajärjestelmätaulukolla. 

Yksikkömuunnostehtäviä, joissa on mukana metrit ja senttimetrit tehdään aukeaman 

verran. 

Mittaustuloksen pyöristäminen metreiksi opetellaan seuraavan ohjeen mukaan. 

”Kuvassa mitan vieressä eriväriset sauvat, jotka on piirretty 1 m 40 cm, 1 m 50 cm ja 1 

m 65 cm mittaisiksi. Sinisen sauvan pituus on lähempänä yhtä kuin kahta metriä. 1 m 40 

cm ≈1 m. Keltaisen sauvan pituus on lähempänä kahta kuin yhtä metriä. 1 m 65 cm ≈ 2 

m. Punaisen sauvan pituus on yhtä lähellä yhtä ja kahta metriä. On sovittu, että 1 m 50 

cm pyöristetään kahdeksi metriksi. 1m 50 cm ≈ 2 m.” Asiaan liittyvät harjoitukset ovat 

yhdellä aukeamalla. 

22

Viimeisenä pituuden yksikkönä esitellään kolmannen luokan kirjassa kilometri. 

”Jokaisella pituuden yksiköllä on mittaluvussa oma paikkansa. Jos jotain yksikköä ei 

ole, sen paikalle merkitään nolla. 1 km = 1000 m”. Mallina on taulukko jossa on 

sarakkeet kilometrit, sadat metrit kymmenet metrit ja metrit. Muunnos- ja laskutehtäviä 

sekä taulukoiden ja kaavioiden tulkintaa edellä määritellyillä yksiköillä on tässä 

yhteydessä kolmen aukeaman verran. 

Nelikulmioiden piirin pituuteen liittyviä piirtämis- ja laskutehtäviä teetetään sivun 

verran. Kuitenkaan termiä piiri ei ole aikaisemmin eikä tässä yhteydessä mitenkään 

määritelty. 

Myöskään toisen ja kolmannen luokan oppilaankirjat eivät opeta mittaamisen 

periaatetta. Aiheet aloitetaan kuitenkin hahmottavan lähestymistavan mukaisesti 

luokittelemalla ja arvioimalla erilaisten esineiden pituuksia. Oppaatkin keskittyvät 

lähinnä eri pituuden mittayksiköiden opettamiseen sekä mittavälineiden käytön 

harjoitteluun. 

Pienenä lapsuksena voi mainita, että pituuden yksikkö kilometri otetaan käyttöön ihan 

yllättäen kolmannen syksyn kertaus- ja sovellustehtävissä. Kirja opettaa yksikön 

kuitenkin vasta kevään kirjassa. 

Laskutaito 4 syysosan kirjassa pituuden yksiköitä käytetään yhteen - ja vähennyslaskun 

kertauksen yhteydessä. Kirjassa on seitsemän sivua tehtäviä, joissa lasketaan erilaisia 

välimatkoja tai pituuksia, yksikköinä on metrit ja kilometrit. 

Laskutaito 4 kevätosassa tutustutaan desimaalilukukäsitteeseen. Tässä yhteydessä 

harjoitellaan päässälaskua yksidesimaalisilla luvuilla ja allekkain laskemista 

kaksidesimaalisilla luvuilla. Tavoitteena on myös oppia käyttämään mittayksiköitä 

desimaaliluvuissa. 

Metrit ja sentit desimaalimerkinnässä opetetaan ohjeilla: ”100 cm = 1,00 m = 1 m, 

10 cm = 0,10 m = 0,1 m, 1 cm = 0,01 m, 40 cm = 0,4 m, 2 m 15 cm = 2,15 m, 1m 5 cm 

= 1, 05 m”. Esimerkin pituiset janat on myös piirretty mittanauhan viereen. 

Harjoituksina on yksikön muunnostehtäviä, pituuksien järjestämistä sekä yhteen ja 

vähennyslaskuharjoituksia, joissa mittaustulokset muunnetaan desimaaliluvuiksi ja 

merkitään allekkain. Näitä tehtäviä on yhteensä kuudella sivulla. 

Kuvion piirin laskemiseen liittyviä tehtäviä on sivun verran kirjan kertausosastossa. 

Piiri mainitaan edelleen itsestään selvänä käsitteenä. 

23

Laskutaito 5 kirjassa varmennetaan peruslaskutoimitusten hallintaa ja siinä yhteydessä 

tehtävissä käsitellään mm. etäisyyksiä, tunturien korkeuksia ja käytetään lähinnä 

pituuden yksiköitä metri ja kilometri. 

Kirjassa on myös sivun verran pituuden yksikkömuunnostehtäviä ja vertailutehtäviä. 

Mittaaminen määritellään kirjassa seuraavasti: ”Mittaaminen on vertaamista. Mitattavaa 

kohdetta verrataan mittaan. Mittaustuloksessa ilmoitetaan, kuinka monta kertaa mitta 

sisältyy mitattavaan kohteeseen.” Esim. Sokeria on 3 kg (nuolilla osoitetaan, että 3 on 

mittaluku ja kg on mittayksikkö). 

Pituuden osalta asiaa harjoitellaan kuudella (6) tehtävällä. Esim. ”Mitä mittavälinettä 

käytät, kun mittaat matkan Lahdesta Helsinkiin? Mitä mittayksikköä käytät, kun 

ilmoitat oman pituutesi. Päättele puuttuva mittayksikkö. a) Kirjan paksuus on 19___ .” 

Mittayksiköiden etuliitteet kilo, hehto, deka, desi, sentti, milli esitellään pituus, massa ja 

tilavuus (litra) -suureiden yhteydessä. Käyttöä harjoitellaan aukeaman verran. Ensin 

harjoitellaan kaikkia yksiköitä yhdessä ja myöhemmin yksikkömuunnoksia 

pituusmitoilla kahden aukeaman verran. Tässä yhteydessä varmennetaan erikoisesti 

desimaaliluvun käsitettä, kun mittoja muunnetaan suuremmaksi yksiköksi. 

Kuudennen luokan kirjassa varmennetaan pituusmittojen hallintaa monissa 

sovellutustehtävissä. (yhteen -, vähennys-, kerto- ja jakolaskuissa) 

Pituuden yksiköt kerrataan vielä yhdellä aukeamallisella ohjeita ja muunnos- ja 

laskutehtäviä. 

Opettajan kirjat 1,2,3,5 korostavat mittauksen käsitteen opettamista. Oppilaan kirjassa 

siitä mainitaan viidennen luokan kevään osassa. 

7.1.2 Ahaa 

Pituuden perushahmotukseen ensimmäisen luokan keväällä kirjasarjassa on varattu 

kuusi kirjan aukeamaa. Pituuksien vertailutehtävissä pyydetään värittämään 

samanmittaiset madot samalla värillä, piirtämään samanlaisiksi (kuvassa on janoja, 

kolmioita ja nelikulmioita), etsimään yhtä pitkät sukset, piirtämään samanlainen reitti 

ruudukkoon. Senttimetriviivaimen kuvan avulla näytetään kuinka pitkä on yksi 

senttimetri. 

24

Ensimmäisessä harjoituksessa pyydetään ilmoittamaan kolmen viivoittimen viereen 

piirretyn esineen pituus. Seuraavissa pyydetään mittaamaan ja piirtämään annettujen 

janojen pituisia janoja ja arvioimaan esineiden pituuksia, kun vaihtoehdot on annettu. 

Laskutaito sarjassa mittaamisen periaatteen opetus jää myöskin puutteelliseksi. 

Senttimetri pituuden mittana otetaan heti alussa käyttöön. Opettajan opas selvittää 

nytkin mittaamisen periaatteen ja ohjaa tekemään runsaasti omakohtaisia mittauksia 

kotitekoisilla mitoilla. 

Toisen luokan kevään kirjassa kerrataan piste, jana, kolmio sekä nelikulmio piirtämällä 

kuvioita mallin mukaan samanlaisiksi. Tehtäviä on kolmen sivun verran. 

Kerrataan pituuksien mittaaminen senttimetreinä ja piirretään mallin mittaisia janoja. 

Tehtäviä on yksi aukeama. 

Monikulmion piiri määritellään sivujen pituuksien summana. Piiriä opetellaan 

laskemaan kolmioista ja nelikulmioista mittaamalla kuvasta ensin sivut. Tällaisia 

tehtäviä on kahdeksan. 

Tämän jälkeen kirjassa esitellään uudet yksiköt millimetri ja metri. ”Tämän janan pituus 

on yksi senttimetri (kuva)” Tämän janan pituus on yksi millimetri” ”Yhdessä 

senttimetrissä on 10 millimetriä, 1 cm = 10 mm”. 

Yksiköiden käyttöä harjoitellaan tehtävillä: ”Kuinka monta millimetriä on 3 siementä, 2 

leppäkerttua jne.” (mitat on annettu) ”Kuinka monta senttimetriä on 3 mittarimatoa.” 

(mitaksi on annettu 2 cm) 

Metri määritellään ilmoittamalla puhekuplassa kuvan tauluviivoittimesta: ”Tämä pituus 

on metri, yhdessä metrissä on 100 senttimetriä, 1 m = 100 cm.” 

Arviointi- ja vertailutehtävillä varmennetaan uusien yksiköiden ymmärtämistä. Tässä 

yhteydessä on myös tehtäviä, joissa opetellaan muuttamaan annettuja mittoja 

senttimetreistä millimetreiksi ja päinvastoin sekä samanlaisia tehtäviä metreillä ja 

senttimetreillä. 

Kolmannen luokan syysosan kirjan viisi lukua käsittelee luonnollisten lukujen 

laskutoimituksia. Pituuden yksiköistä lähinnä metri on erilaisissa sovellustehtävissä, 

joissa tarkoituksena on kerrata yhteen - ja vähennyslaskuja luvuilla 0 – 100, harjoitella 

kertotaulua sekä harjoitella yhteen - ja vähennyslaskua allekkain lukualueella 0 – 9999. 

Kuudes ja viimeinen luku käsittelee pituuden ja massan mittayksiköitä sekä niiden 

muunnoksia 

25

Kilometri määritellään kuvatekstillä: ”Yhdessä kilometrissä on tasan 1000 metriä” ja 

1 kilometri = 1 km, 1 metri = 1 m. Sivun mittaisessa harjoituksessa opetellaan 

valitsemaan sopiva yksikkö 1 m tai 1 km annetuille kohteiden pituuksille tai 

korkeuksille. 

Kilometrin käyttöä harjoitellaan laskemalla matkoja eri paikkakuntien välillä. 

Lähtökohtana on Suomen kartta, johon merkitty paikkakuntien välimatkoja 

kilometreissä. 

Pituuden yksiköiden muunnoksia harjoitellaan kaksi aukeamaa. Tehtävissä on metrit 

muunnettava kilometreiksi ja metreiksi tai kilometrit ja metrit pelkiksi metreiksi. 

Lisäksi harjoitellaan allekkain laskemista erityisesti pituuksilla, joista puuttuvat sadat ja 

kymmenet metrit. Näitä on yksi aukeama. 

Kolmannen luokan kevään kirjassa mainitaan tavoitteeksi mm. oppia soveltamaan 

kertolaskua käytännön elämän tilanteisiin lukualueella 0 –9999. Tässä yhteydessä 

kertautuvat pituuden yksiköt kilometri, metri ja senttimetri. 

Desimaalilukujen (vain kymmenesosat) harjoittelun yhteydessä yhdellä sivulla 

kerrataan yllättäen senttimetrin ja millimetrin yhteys ja mittaillaan kirjan sivulla olevia 

toukkien pituuksia. Opastuksena ovat tekstit: ”Yhdessä senttimetrissä on tasan 10 

millimetriä. 1 cm = 10 mm, yksi millimetri on yksi kymmenesosa senttimetristä 1 mm = 

0,1 cm.” 

Geometrian osuudessa määritellään jana, ja piiri sekä opetellaan mittaamaan janojen ja 

sivujen pituuksia sekä laskemaan piirin pituus kolmiosta ja nelikulmiosta. Aihetta 

käsitellään kolmen aukeaman verran. 

Peruslaskutoimitusten kertauksen ja täydennyksen yhteydessä neljännen luokan 

oppikirjan alkuosassa kertautuvat pituuden yksiköt kilometri, metri ja senttimetri. Erona 

edellisiin sarjan kirjoihin on, että nyt voi samassa osiossa olla laskutoimitusten 

harjoittelua useammalla suureella. Pituusyksiköiden muunnoksia kerrataan kolmen 

sivun verran. Tehtävät ovat samanlaisia kuin kolmannen luokan syysosan kirjassa, jossa 

kilometri opetettiin ensimmäisen kerran. 

Desimaalilukujen opiskelun jälkeen on aukeaman verran tehtäviä, joissa opetellaan 

merkitsemään senttimetrit metrin sadasosina sekä ilmaisemaan pituus desimaalilukuna, 

kun se on esim. 1m 2 cm. 

26

Kirjan loppupuolella kerrataan pituuden yksiköt millimetri, senttimetri, desimetri, metri 

ja kilometri ja harjoitellaan yksiköiden välisiä muunnostehtäviä pareittain vierekkäisillä 

yksiköillä. Kustakin yksikköparista on aukeaman verran harjoituksia. 

Viidennen luokan kirjan ensimmäisessä luvussa on aiheena luonnolliset luvut, 

päässälaskujen kertaus ja täydennys. Tässä kolmenkymmenen sivun mittaisessa osiossa 

on vaihtelevasti tehtäviä, joissa lasketaan pituuksia sekä pyöristetään tulos, esim. 16772 

km on pyöristettävä tuhansien tarkkuuteen. 

Kappaleessa suureet ja mittayksiköt käydään pituusyksiköidenkin osalta läpi koko 

mittayksikköjärjestelmä etuliitteineen (milli-, sentti-, desi-, deka-, hehto-, kilo-) ja 

opetellaan pitkillä tehtäväsarjoilla käyttämään mittayksikköjärjestelmää 

yksikkömuunnoksissa. Tehtäväsarjoissa on usein apuna yksikköruudukko, jossa on 

sarakkeet kaikille yksiköille. Näin harjoitellaan muuntaminen erikseen suuremmasta 

pituusyksiköstä pienempään ja pienemmästä pituusyksiköstä suuremmaksi. Lisäksi 

muunnostehtävien lomassa on vertailutehtäviä, joissa verrataan pituuksia käyttäen 

yhtäsuuruus- ja erisuuruusmerkkejä. 

Osion lopuksi on kirjassa mekaanisia peruslaskutoimituksia luvuilla, joissa on 

pituusyksiköt, ja sanallisia ongelmanratkaisuja. 

Kirjan loppuosassa on kappaleet murtolukujen, desimaalilukujen ja kokonaislukujen 

laskutoimituksista. Näiden yhteydessä kertautuvat myös usein pituuden yksiköt 

sovellustehtävissä. 

Kuudennen luokan kirjassa neljässä ensimmäisessä kappaleessa kerrataan 

laskutoimitukset luonnollisilla luvuilla, murtoluvuilla, desimaaliluvuilla ja 

kokonaisluvuilla. Tässä yhteydessä pituusmitat kertautuvat mm. yksikköhintalaskujen, 

matkantekoon liittyvien laskujen ja pyöristystehtävien yhteydessä. 

Suureita ja mittayksiköitä käsittelevässä kappaleessa pääpaino on tilavuusmitoissa, 

mutta mittayksikköjärjestelmä pituuden yksiköillä käydään läpi hyvin samalla tavalla 

kuin viidennellä luokalla. Kirjassa tähän käytetään kaksi aukeamaa. 

Aihepiirejä, joissa pituus ja pituuden yksiköt tulevat esille loppuosassa kirjaa ovat 

suunnikkaan piiri, kolmion piiri, ympyrän säde ja halkaisija sekä mittakaava. 

Harjoitustehtävissä mitataan kuvista janojen pituuksia ja välimatkoja tai käytetään 

valmiina annettuja mittoja ja lasketaan piirejä, halkaisijoita sekä välimatkoja. 

27

7.2 Pinta-ala 


Ensimmäisen luokan kirjoissa hahmotetaan tasokuvioiden muotoja ja kokoja. 

(samankokoinen neliö, kolmio, ympyrä, kuusikulmio tai muu kuvio) Kuvioita ei vielä 

nimetä. 

Toisen vuosiluokan kirjoissa jatketaan muodon ja koon hahmottamista. Nyt otetaan 

käyttöön nimitykset kolmio ja nelikulmio sekä niiden osat sivu, kulma ja kärkipiste. 

Pinta-alan suuruutta hahmotetaan ruutujen määrällä. Nimitystä pinta-ala ei käytetä, vaan 

puhutaan pinnan peittämisestä. 

Kolmannen luokan kirjoissa määritellään tasokuviot suunnikas, suorakulmio, neliö ja 

puolisuunnikas. Harjoitellaan näiden kuvioiden tunnistamista erilaisilla 

luokittelutehtävillä. 

Syksyn kirjassa on yksi aukeama tehtäviä, joissa pitää vertailla alueiden suuruuksia, kun 

4x4 ruudukko on jaettu murtoviivalla kahteen tai kolmeen eriväriseen osaan. 

Pinta-alamallia on käytetty murtoluvun havainnollistamiseen. 

Neljännellä vuosiluokalla uutena tulee kolmioiden luokittelu suorakulmaisiin, 

teräväkulmaisiin ja tylppäkulmaisiin kolmioihin. Aiheeseen liittyviä tunnistamis- ja 

piirtämistehtäviä on yksi aukeama. 

Muotoja hahmotetaan alla olevan kuvan tehtävällä: ”Esineet ovat lasipöydällä. Mitkä 

esineet näyttävät tällaisilta, kun niitä katsotaan sivulta, ylhäältä, alhaalta?” 

28

Kuva 7.1 LASKUTAITO 4 kevätosa s. 73 

Termi pinta-ala otetaan käyttöön viidennen luokan kirjassa ja se liitetään vain 

geometrisiin tasokuvioihin suorakulmio, neliö, suunnikas ja kolmio. Mitaksi otetaan 

neliö, jonka sivu on 1 cm ja sitä kutsutaan neliösenttimetriksi, merk. 1 cm 2 . 

Pinta-alan mittaamista tai alojen vertailua ei harjoitella omilla, konkreettisilla mitoilla, 

vaan siirrytään suoraan suorakulmion alan algoritmin esittelyyn ja yksikköön 

neliösenttimetri, cm 2 . Termiä pinta-ala ei liitetä aiemmin esillä olleeseen tasoalueen 

kokoon, vaan aikaisemmin tehty perushahmotus jää irralliseksi. 

29

Laskuharjoituksia näillä uusilla käsitteillä on yhden aukeaman verran. 

Myöhemmin kirjassa määritellään muut pinta-alan yksiköt neliömillimetristä 

neliökilometriin. Yksikön muunnosharjoituksia on kirjassa kolme aukeamaa. 

Laskutaito 6:ssa harjoitellaan lisää pinta-alan laskemista suorakulmion, suunnikkaan ja 

kolmion tapauksissa ja myös sellaisen alueen alan laskemista, joka voidaan jakaa 

sopiviin osiin. 

Pinta-alan yksiköt kerrataan. Todetaan, että pinta-alan merkinnässä jokaista yksikköä 

vastaa kaksi numeroa. Tätä havainnollistetaan ruudukkomallilla. Kerrataan pinta-alan 

yksiköt m 2 , dm 2 , cm 2 ja mm 2 , mutta ei aaria, hehtaaria ja neliökilometriä. 

Osastossa valinnaisia teemoja tulla putkahtaa vuoden tauon jälkeen merkintä km 2 

(Hailuotoa käsittelevä kokonaisuus, Järviluonnon keskus, Sektoridiagrammeja 

valtioiden pinta-aloista). Aarista ja hehtaarista ei kuudennen luokan kirjassa ole yhtään 

mainintaa. 

7.2.2 Ahaa 

Ensimmäisen ja toisen luokan kevään kirjoissa on kummassakin kahden sivun verran 

tehtäviä, joissa hahmotetaan tasokuvioiden muotoja ja kokoja. ” Piirrä samanlaisiksi. 

Väritä samanmuotoiset.” Kuvioina ovat neliöt, ympyrät, kolmiot, eläinfiguurit. 

Kolmannella luokalla otetaan käyttöön nimet kolmio, nelikulmio, ympyrä ja neliö. 

Kuviot opetetaan nimeämään kärkipisteiden mukaan ja ympyrät keskipisteiden mukaan. 

Kuvioiden ominaisuuksista todetaan: ”Suorakulmion kaikki kulmat ovat suoria kulmia. 

”Neliön kaikki kulmat ovat suoria kulmia. Neliön sivut ovat yhtä pitkät. Suorakulmiossa 

ovat vastakkaiset sivut aina yhtä pitkät. Kaikki neliöt ovat myös suorakulmioita.” 

Tehtävissä opetellaan tunnistamaan em. tasokuvioita ja piirtämään niitä. Alueen kokoa 

ei hahmoteta muuten kuin laskemalla piirejä. 

Kirjassa Ahaa 4 ei varsinaisesti ole pinta-alaan liittyviä tehtäviä. Tasokuvioiden muotoa 

ja kokoa sivutaan murtolukujen laskutoimitusten yhteydessä käytettäessä 

havainnollistamiseen pinta-alamallia. Lisäksi kulmakäsitteen opettamisen yhteydessä 

askarrellaan erilaisten kolmioiden ja nelikulmioiden kanssa. 

30

Viidennen luokan kirjassa käydään perusteellisesti läpi mittayksikköjärjestelmä pintaalan 

yksiköillä ja opetetaan laskemaan suorakulmion pinta-ala. Tällöin mainitaan 

ensimmäisen kerran käsite pinta-ala. 

Pinta-alakäsite kiinnitetään yhdellä ”suklaapalatehtävällä” alueen kokoon. Tehtävässä 

pitää selvittää kenelle kuuluu suurin, ketkä saivat yhtä suuret palat Kuvassa on neljä eri 

kokoista ja muotoista suklaapalaa. Palat koostuvat neliösenttimetrin kokoisista 

ruudukoista. 

Tämän jälkeen määritellään kolmella aukeamalla pinta-alan yksiköt neliömillimetristä 

neliökilometriin. Määrittelyssä käytetään luonnollista kokoa olevia kuvia 

millimetripaperipohjalla sekä kuvia karttapohjalla. Määrittelyn yhteydessä kullekin 

yksikölle on varattu noin sivun verran yksinkertaisia mekaanisia laskutehtäviä ja 

muunnostehtäviä vierekkäisten yksiköiden välillä. 

Tämän jälkeen seuraa kolme aukeamaa tehtäviä, joissa harjoitellaan erikseen 

muunnoksia suuremmasta pinta-alan yksiköstä pienemmäksi ja pienemmästä pinta-alan 

yksiköstä suuremmaksi. Mallina on ”yksikkömittari” neliömillimetristä 

neliökilometriin. Vierekkäisten yksiköiden suhde on merkitty. esim. 1 ha= 100 a. 

Ohjeena on mm.: ”Jaa lukuarvo luvulla 100, kun muunnat lähinnä suuremmaksi 

yksiköksi.”, ”suhdeluku on 100”. 

Sanallisissa harjoitustehtävissä pinta-ala käsite kiinnittyy mm. vesistön suuruuteen, 

läänin kokoon, seinien pinta-alaan, kunnan pinta-alaan, viljapeltojen pinta-alaan, 

rakennuksen pinta-alaan. 

Jatkona edellä olevalle opetetaan suorakulmion ja neliön pinta-alan laskeminen. 

Johdattelu tapahtuu ruudutetulla suorakulmiolla. Päädytään välittömästi 

laskualgoritmiin: ”Suorakulmion ala = pituus * leveys”. Ensimmäisen aukeaman 

tehtävissä on kuvioissa apuna jakoviivat senttimetrien välein suorakulmioiden sivuilla. 

Tehtävien joukossa on myös alueita, jotka pitää ensin jakaa suorakulmioihin. Lisäksi 

tässä yhteydessä on aukeaman verran harjoitustehtäviä, joissa suorakulmion ala on 

laskettava kuvasta ilmenevien sivujen pituuksien avulla tai pituudet on annettu tekstissä. 

Käsite pinta-ala kaadetaan oppilaiden niskaan ilman ennakkovaroitusta. Sitä ei 

kiinnitetä mitenkään kappaleisiin. Ei kerrota mitä ominaisuutta (tasoalueen koko) sillä 

mitataan. Pinta-alan yksiköt ja niiden välisiä muunnoksia opetetaan ensin ja pinta-alan 

laskeminen suorakulmion tapauksessa vasta tämän jälkeen. Järjestys voisi olla 

perusteltu, jos yksiköiden esittelyn yhteydessä harjoiteltaisiin eri kokoisten ja eri 

31

muotoisten alueiden suuruuden määrittämistä esimerkiksi näiden yksiköiden 

pahvimalleilla. 

Kuudennen luokan kirja alkaa luonnollisten lukujen laskutoimitusten kertaustauksella. 

Siinä yhteydessä on tehtäviä, joissa luvuissa on mukana pinta-alan yksiköitä. 

Pinta-alan yksiköt kerrataan samanlaisen yksikkömittarin avulla, jota käytettiin 

viidennen luokan kirjassa. Muunnostehtävissä on apuna aiemmin käytetty ruudukko ja 

huomautus: ”Yksi yksikkö tarvitsee tilaa nyt kahden paikan verran.” Kertaukseen 

käytetään kaksi aukeamaa. 

Suorakulmion alan laskualgoritmi kerrataan yhdellä aukealla. Ruudutetun suorakulmion 

ja neliön avulla kerrataan pinta-alan lisäksi piirin laskeminen. 

Uutena asiana opetetaan tässä yhteydessä suunnikkaan ja kolmion pinta-alan 

laskeminen. Tasokuvioista suunnikas esiintyy kirjasarjassa nyt ensimmäisen kerran. 

Suunnikkaan alan laskeminen palautetaan suorakulmion alaan kuvasarjalla, jossa 

suunnikkaasta saadaan suorakulmio siirtämällä osa suunnikkaasta toiseen laitaan. 

Lisäksi todetaan: ”Alkuperäisen suunnikkaan ja suorakulmion alat ovat yhtä suuret.” 

Vastaavasti kolmion alan lauseke johdetaan suunnikkaasta. ”Kolmion pinta-ala voidaan 

laskea suunnikkaan avulla, koska kahdesta samanlaisesta kolmiosta voidaan aina 

muodostaa suunnikas. Siis kolmion pinta-ala on puolet suunnikkaan pinta-alasta.” 

Teksteihin liittyy myös vastaavat kuvat. Pinta-aloja lasketaan valmiilla mitoilla tai 

kuvasta on ensin mitattava tarpeelliset sivut ja korkeusjanat. Asiaa käsitellään kolmella 

aukeamalla. 

Monikulmioihin tutustutaan lyhyesti erilaisten kulmien näkökulmasta. Monikulmion 

rajoittaman alueen kokoon ei kiinnitetä huomiota. 

7.3 Tilavuus 


Ensimmäisen luokan kevään kirjasta lähtien kirjasarjassa on tasaisin väliajoin erilaisia 

kappaleiden muodon ja koon hahmottamiseen liittyviä tehtäviä, joiden tavoitteena 

opettajan kirjan mukaan on kehittää visuaalista hahmotuskykyä ja tarkkuutta. Tästä 

esimerkkinä on yksi sivu ensimmäisen luokan kirjasta. 

32

Kuva 7.2 LASKUTAITO 1 kevätosa s. 70 

Kirjassa laskutaito 2 kevät johdatus tilavuuden mittaamiseen aloitetaan ilmoittamalla: 1 

litra = 10 desilitraa, 1 l = 10 dl, 12 dl = 1 l 2 dl. Edellisillä kahdella aukeamalla on 

esitelty yksiköt gramma ja kilogramma. 

Yksikön luonnetta selvitetään joukolla arviointitehtäviä, joissa pitää osata valita yksikkö 

litran ja desilitran välillä. 

Laskuharjoittelua litra- ja desilitramitoilla on lisäksi vajaa aukeama, ja kertaus- ja 

lisätehtävien yhteydessä niitä on vielä saman verran. Tässä yhteydessä tulee esille termi 

tilavuus yhden tehtävänannon yhteydessä. ”Merkitse tilavuus litroina ja desilitroina”. 

33

Litraa määrän mittana pidetään itsestään selvänä yksikkönä. Kirjassa ei perustella 

termiä tilavuus tai vetoisuus mitenkään. Mittaamisen periaatetta ei tuoda esiin 

tilavuuden hahmottamisen yhteydessä. 

Geometristen kappaleiden nimet otetaan käyttöön kuvasarjan avulla. Siinä on nimettynä 

ja piirrettynä pallo, suorakulmainen särmiö, kuutio, lieriö, kartio. Opettajankirjan 

mukaan ei ole tärkeää nimitysten muistaminen, vaan samanmuotoisten kappaleiden 

yhteisten ominaisuuksien löytäminen. Tätä harjoitellaan tehtävissä, joissa on runsaasti 

em. geometrisia kappaleita rakennelmien osina eri kokoisina ja erilaisissa asennoissa. 

Tehtäviä on kolmella aukeamalla tässä yhteydessä ja kirjan lisätehtävissä yhden 

aukeaman verran. 

Kolmannen luokan kirjoissa jatketaan muodon ja koon hahmottamista tehtävillä, joissa 

on monen muotoisia palikkarakennelmia. 

Uutena nimityksenä otetaan käyttöön kuution ja pyramidin yhteydessä kappaleiden osat 

kärki, särmä ja tahko. Osien nimeämistä harjoitellaan kuudesta kirjan sivulle kuvatusta 

kappaleesta. 

Neljännen luokan kirjoissa sivutaan vain kertolaskun harjoittelun yhteydessä tilavuuden 

hahmottamista. Kertolaskun liitännäisyyttä havainnollistetaan tehtäväsarjalla, missä 

pitää selvittää kuinka monesta palikasta (kuution muotoisesta) rakennelma on koottu. 

Itse asiassa tässä tullaan harjoitelleeksi suorakulmaisen särmiön laskualgoritmia. 

Vastaava tehtävä on myöhemmin lisätehtävissä. Nyt vaan pitää selvittää puuttuvien 

pikkukuutioiden määrä, jotta laatikko olisi täynnä. Yhdellä tehtäväsarjalla tunnistetaan 

kappaleita, kun tehtävässä on ilmoitettu minkälaisista pinnoista kappale koostuu. Esim. 

kappaleen pinta muodostuu kuudesta neliöstä. 

Viidennen luokan kirjassa harjoitellaan mm. litramittojen kertomista ja jakamista 

pienillä kokonaisluvuilla. Litramitoilla laskemista sovelletaan leivontaohjeissa. (1/4 dl 

kermaa, 3/4 dl vettä, jne.) yhden sivun verran. 

Mittaamisen käsite opetetaan eri ominaisuuksien mittaamisen yhteydessä, kuten 

aiemmin pituussuureen kohdalla on kerrottu. 

34

Tilavuuden osalta asiaa harjoitellaan kolmella tehtävällä. ”Mitä mittavälinettä käytät, 

kun mittaat juomalasiin mahtuvan vesimäärän. Mitä mittayksikköä käytät, kun ilmoitat 

saaviin mahtuvan vesimäärän. Päättele puuttuva mittayksikkö.” 

Mittayksiköiden etuliitteet kilo, hehto, deka, desi, sentti ja milli esitellään pituus-, 

massa- ja tilavuus (litra) -suureiden yhteydessä. Käyttöä harjoitellaan aukeaman verran 

sekaisin kaikkia yksiköitä ja myöhemmin litramitoilla kahden aukeaman verran. Silloin 

esiintyy kirjassa toisen kerran termi tilavuus. Sivun otsikkona on ”Tilavuuden yksiköt”, 

ohjeissa kerrotaan, että tilavuuden yksiköt noudattavat kymmenjärjestelmää. Tehtävissä 

pyydetään mm. valitsemaan oikea vaihtoehto saippuarasian tilavuudeksi. Tässä 

yhteydessä on myös laskuharjoittelua reseptimuunnoslaskuilla. 

Kirjasarjan viimeisessä osassa kuudennella luokalla opetetaan suorakulmaisen särmiön 

tilavuuden laskeminen ja kuutiomitat kuutiometristä kuutiomillimetriin. Tässä osiossa 

ilmoitetaan myös litramittojen ja kuutiomittojen vastaavuus. Opettajan kirjassa 

kehotetaan yhteys toteamaan kaatamalla litran astiasta vesi kuutiodesimetrin astiaan. 

Muut vastaavuudet voidaan johtaa. 

Tilavuuden laskualgoritmiin johdatetaan kysymyksellä: ”Montako kuutionmuotoista 

palikkaa särmiöön mahtuu?” Otetaan käyttöön kuutio, jonka tilavuus on 1 cm 3 . ”Tämän 

kuution tilavuus on 1 kuutiosenttimetri, merkitään 1 cm 3 .” Merkintää 1 cm 3 ei selitetä 

millään tavalla. 

Seuraavassa vaiheessa käydään läpi tilavuuden laskeminen, kun mitat on ilmoitettu 

senttimetreinä. Malliesimerkkinä on suorakulmainen särmiö ja kuutio. ”Tilavuus on 

5 cm * 3 cm * 2 cm = 30 cm 3 , Tilavuus on 4 cm *4 cm4 * cm = 64 cm 3 .” 

Suorakulmaisen särmiön tilavuuden laskemista ja yksiköiden välisiä muunnostehtäviä 

on kaiken kaikkiaan viisi aukeamaa. 

7.3.2 Ahaa 

Ahaa 2 kevään osassa otetaan otsikossa käyttöön käsite tilavuus. Tässä yhteydessä 

puhutaan mahtumisesta. Tätä aikaisemmin ei kirjasarjassa ole ollut yhtään kappaleiden 

kokoa hahmottavaa tehtävää. Litran ja desilitran suuruus määritellään mitta-astioiden 

kuvilla ja tekstillä: ”Tähän mahtuu 1 litra, tähän mahtuu 1 desilitra. Yhteen litraan 

35

mahtuu 10 desilitraa, 1 l = 10 dl.” Nyt harjoitellaan ilmoittamaan kuvien astioihin 

mahtuva litra- ja desilitramäärä. Koko asiaan on käytetty kirjassa yksi aukeama. 

Kolmannen luokan kirjoissa tilavuus on esillä ainoastaan tehtävissä, joissa litramittoja 

käytetään yhteen- ja vähennyslaskujen sekä kerto- ja jakolaskujen harjoittelussa. 

Ahaa 4 sisältää kaksi aukeamaa tehtäviä, joilla kerrataan litran ja desilitran yksiköihin 

liittyviä muunnoksia ja laskutoimituksia. Opetellaan ilmaisemaan tilavuus litroina ja 

desilitroina sekä desimaalilukuna pelkästään litrayksikköä käyttäen. Otsikkona 

aukeamalla oli ”Tilavuuden yksiköitä”. Termiä tilavuus ei muualla tekstissä tässä 

yhteydessä esiinny. 

Viidennen luokan kirjan alkuosassa on tehtäviä, joissa lasketaan yhteen, vähennetään, 

kerrotaan ja jaetaan kokonaisluvulla mm. litramääriä. 

Mittayksikköjärjestelmä etuliitteineen litramitoilla millilitrasta kilolitraan esitellään ja 

sitä harjoitellaan muunnostehtävillä, joita on aukeaman verran. Ohjeet on kirjattu 

muotoon: ”Kerro lukuarvo luvulla 10, kun muunnat lähinnä pienemmäksi yksiköksi.”, 

”Suhdeluku on 10”, ”Jaa lukuarvo luvulla 10, kun muunnat lähinnä suuremmaksi 

yksiköksi.” 

Arviointitehtävissä tilavuuden yksiköt liitetään aina erilaisten astioiden tilavuuksiin 

saavista lusikkaan. Sovellustehtävinä on sivun verran reseptinmuunnostehtäviä. 

Myöhemmin kirjassa litramitat ovat esillä murtolukujen ja desimaalilukujen 

laskutoimitusten yhteydessä. 

Litramittojen ensiesittelyssä ei ole korostettu, että kyseessä on aineen määrän mitta. 

Tehtävissäkin kysytään kuinka monta litraa mahtuu astiaan. Ainetta ei mainita 

ollenkaan, vaan ilmaistaan ikään kuin litra tai desilitra olisi jotain tavaraa. Aine tosin 

käy ilmi, kun astiat ovat kahvipannuja ja maitotölkkejä, mutta siitä huolimatta esityksen 

tulisi olla täsmällisempää. 

Kuudennen luokan kirjan alkupuolella desimaalilukujen laskutoimitusten yhteydessä on 

litramäärät esillä, kun lasketaan yksikköhintoja (litrahinta, kun määrä on esim. 3 l tai 

0,8 l). 

Tilavuuden opetus alkaa litramittojen kertauksella. Mallina on ”yksikkömittari” 

millilitrasta kilolitraan. Vierekkäisten yksiköiden suhde merkitty, esim. 1 dl = 10 cl. 

36

Ohjeet ovat samat kuin edellisessä kirjassa: ”Kerro lukuarvo luvulla 10, kun muunnat 

lähinnä pienemmäksi yksiköksi.” ”Jaa lukuarvo luvulla 10, kun muunnat lähinnä 

suuremmaksi yksiköksi.” ”Suhdeluku on 10.” 

Yksiköiden välisiä muunnostehtäviä ja sanallisia laskuja on kahden aukeaman verran. 

Sanallisissa tehtävissä litramitat liitetään mm. mehutiivisteen määrään, kauran määrään, 

linnun munan tilavuuteen. 

Kuutiomittojen aloitussivulla on luonnolliseen kokoon kavaljeeriperspektiivissä 

piirretty kuutiodesimetri, jonka pohja on piirretty täyteen kuutiosenttimetrejä. Lisäksi 

yhdessä nurkassa on kuutiosenttimetripylväs. Sivun mitaksi on merkitty 1 dm eli 10 cm 

Erikseen on piirretty kuutiosenttimetri ja kuutiomillimetri. 

Ohjetekstit sivulla ovat: ”Tilavuuden mittana käytetään kuutiodesimetriä. 

Kuutiodesimetrin lyhenne on dm 3 . Tilavuuden mittana käytetään kuutiosenttimetriä. 

Kuutiosenttimetrin lyhenne on cm 3 . Tilavuuden mittana käytetään kuutiomillimetriä. 

Kuutiomillimetrin lyhenne on mm 3 .” 

”Yhteen kuutiodesimetriin mahtuu täsmälleen 1000 kuutiosenttimetriä.” ”Yhteen 

kuutiosenttimetriin mahtuu täsmälleen 1000 kuutiomillimetriä”. 

Sivulla on piirrettynä yksikköpalkki, jossa ovat peräkkäin 1 dm 3 , 1 cm 3 ja 1 mm 3 . 

Yläpuolelle osien väliin on merkitty 1 dm 3 = 1000 cm 3 ja 1 cm 3 = 1000 mm 3 . 

Yhdellä sivulla on muunnostehtäviä kahden peräkkäisen yksikön välillä sekä 

arviointitehtäviä, missä pitää valita oikea vaihtoehto tutulle esineelle, esim. ”Ympyröi 

oikea vaihtoehto kahvipaketin tilavuudeksi 1 mm 3 1 cm 3 1 dm 3 .” 

Seuraavalla aukeamalla esitellään kuutiometri ja sen suhde kuutiodesimetriin sekä litran 

suhde kuutiodesimetriin ja kuutiometriin. Näiden yksiköiden välisiä muunnostehtäviä ja 

mekaanisia peruslaskutoimituksia yksiköllisillä luvuilla on tämän aukeaman verran. 

Tätä seuraa kolme aukeamaa yksiköiden muunnostehtäviä. Mallina on ”yksikkömittari” 

kuutiomillimetristä kuutiokilometriin. Vierekkäisten yksiköiden suhde merkitty, esim. 1 

m 3 = 1000 dm 3 . Ohjeeksi on kirjattu: ”Kerro lukuarvo luvulla 1000, kun muunnat 

lähinnä pienemmäksi yksiköksi.”, ”Jaa lukuarvo luvulla 1000, kun muunnat lähinnä 

suuremmaksi yksiköksi.” ”Suhdeluku on 1000” Lisäksi näillä sivuilla on myös 

yhdeksän sanallista tehtävää, joissa lasketaan litra- ja kuutiomitoilla. 

Ennen laskualgoritmin opettamista pyritään hahmottamaan yhdellä luokittelutehtävällä 

suorakulmaiset särmiöt ja kuutiot sekä kappaleet, jotka ovat muuta kuin suorakulmaisia 

särmiöitä. 

37

Edelleen kappaleiden hahmottamiseksi kuvaan on piirretty kavaljeeriperspektiivissä 

suorakulmainen särmiö ja kuutio ja viereen vaipat tasoon levitettynä. Molemmista 

pyydetään nimeämään kärkipisteiden, särmien ja tahkojen lukumäärä. Ohjeena on, että 

suorakulmaisessa särmiössä tahkot ovat suorakulmioita ja kuutiossa neliöitä. 

Lisäksi annetaan sarjakuvamaisesti kuution ja suorakulmaisen särmiön piirtämisohjeet 

sekä tehtäväksi piirtää mallina olevat kaksi kuutiota ja suorakulmaista särmiötä 

vihkoon. Tehtävänä on lisäksi piirtää ruutupaperille mallina olevat tasoon levitetyt 

kuutio ja suorakulmainen särmiö ja leikata ne irti sekä yhdistää kappaleet teipillä. 

Otsikon ”Suorakulmaisen särmiön ja kuution tilavuus” alla on 9 suorakulmaista 

särmiötä, jotka on viivoilla jaettu 1 cm 3 :n suuruisiin kuutioihin. Tehtävän ohjeena on: 

”Kappaleet koostuvat kuutioista, joiden tilavuus on 1 cm 3 . Kuinka monta 

kuutiosenttimetriä on kappaleen tilavuus?” 

Johdatus laskukaavaan on tehty seuraavasti: Kuvasarjaan on piirretty ensimmäiseksi 

suorakulmainen särmiö, jonka pituus on 5 m, leveys 4 m ja korkeus 3 m. Toisena on 

sama särmiö jaettuna kuutioihin. Alla on teksti : ”Suorakulmainen särmiö koostuu 

kuutioista, joiden tilavuus on 1 m 3 .” Kolmantena sarjassa on kuva, jossa särmiöstä on 

erotettu poikkisuunnassa 5 levyä kuutioita. Alla on teksti: ”Jokaisessa osassa on 4 * 3 

m 3 . Osia on 5 kpl. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on 5 * 4 * 3 m 3 = 60 m 3 .” 

”Suorakulmaisen särmiön tilavuus = pituus * leveys * korkeus. Myös kuutio on 

suorakulmainen särmiö.” 

Särmiöiden tilavuuksia harjoitellaan laskemaan viiden sivun verran. Kuvissa on mitat 

kokonaisia metrejä, desimetrejä tai senttimetrejä tai tehtävässä on vain ilmoitettu 

kappaleen pituus, leveys ja korkeus. Vaihtoehtoisesti on tehtäväsarja, jossa pituus, 

leveys tai korkeussarakkeesta puuttuu luku. Tilavuussarake sisältää aina luvun. Ohjeena 

on: ”Muunna ensin samaksi mittayksiköksi.” Muuta ohjetta ei olekaan, vaan oppilaan 

on ymmärrettävä laskea puuttuva mitta. 

Jakson lopuksi on 8 vihkotehtävää kuvasta, jossa on suorakulmaisen särmiön muotoinen 

uima-allas, jonka mitat ovat: pituus 10,0 m, leveys 7,5 m ja syvyys 2,0 m. Tähän 

liittyviä tehtäviä on esim. ”Kuinka monta litraa altaassa on vettä silloin, kun veden 

korkeus on 110 cm? Kuinka kauan kestää kuvan uima-altaan täyttäminen, kun tyhjään 

altaaseen lasketaan vettä 1 m 3 yhdessä minuutissa?” 

38

7.4 Kulma 


Kirjasarja käyttää runsaasti ja säännöllisin väliajoin visuaalista hahmottamiskykyä ja 

tarkkuutta kehittäviä tehtäviä. Tällaisissa tehtävissä oppilaat joutuvat tekemisiin 

kulmien kanssa askarrellessaan niin kolmiulotteisten kappaleiden kuin tasokuvioiden 

kanssa. 

Osassa Laskutaito 2 kevät otetaan ensimmäiset nimitykset käyttöön. Opetellaan 

nimeämään pallo, suorakulmainen särmiö, kuutio, lieriö ja kartio. 

Nimitys kulma otetaan käyttöön kertomalla, että kolmiossa on 3 kulmaa, 3 sivua ja 3 

kärkipistettä. Osia ei sen kummemmin ole määritelty. Asian oletetaan ymmärrettävän 

kolmesta erivärisestä ja -muotoisesta kolmiosta tekstin yhteydessä. 

Kolmion piirtämistä harjoitellaan, kun yksi sivu ja kolmannen kärkipisteen paikka on 

annettu. Lisäksi piirtämistä harjoitellaan tehtäväsarjalla, jossa pyydetään jakamaan 

kuvio suorilla viivoilla neljään samanlaiseen kolmioon. Tehtäviä on yhden aukeaman 

verran. 

Nelikulmio määritellään tekstillä ”Nelikulmiossa on 4 sivua, 4 kulmaa ja 4 

kärkipistettä”. Tekstin yhteydessä on neljä eriväristä ja -muotoista nelikulmiota 

Laskutaito 3 kevätosassa kuvien ja siinä olevien tekstien avulla määritellään 

yhdensuuntaisuus, kohtisuoruus ja suorakulma. ”Suorat k ja m ovat yhdensuuntaiset.” 

”Kun kaksi suoraa leikkaavat toisensa kohtisuorasti, syntyy suorakulma.”(Kuvassa on 

kuitenkin kaksi samasta pisteestä alkavaa puolisuoraa.) 

Laskutaito 4 kevätosassa suuntia hahmotetaan ilmansuuntien avulla yhden sivun verran. 

Määritellään oikokulma ”Oikokulman kyljet muodostavat suoran” ja suorakulma 

”suorakulman kyljet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan” 

”Terävä kulma on pienempi kuin suorakulma”, ”Tylppä kulma on suurempi kuin 

suorakulma, mutta pienempi kuin oikokulma”. 

Kirjassa ei kerrota, mitä tarkoittaa pienempi tai suurempi kulma. Käsite kylki otetaan 

käyttöön ilman minkäänlaisia määrittelyjä. Aikaisemmin käsite ei esiinny kirjasarjassa. 

Kulmien tunnistamista ja luokittelua harjoitellaan yhden aukeaman verran. 

39

Kulman mittayksikkö otetaan käyttöön viidennellä luokalla. Asteen määrittely tapahtuu 

keskuskulman avulla ympyrässä. Samalla määritellään kulma käsitteillä vasen kylki, 

oikea kylki ja kulman aukeama. Aiemmin kulmaa ei ole mitenkään määritelty, vaan 

käsite on otettu käyttöön intuition varassa. 

Uutena luokitteluna on täysi kulma. Terävän ja tylpän, suoran ja oikokulman 

määritelmät kerrataan. Opetellaan mittaamaan ja piirtämään kulmia piirtokolmiolla. 

Tähän kaikkeen käytetään kolme kirjan aukeamaa. 

Kolmion kulmien summa ja nelikulmion kulmien summa käsitellään kahdella 

aukeamalla. 

Kuudennen luokan kirja ei käsittele lainkaan kulmaan liittyviä ongelmia. Kulmasuure 

opetetaan loppuun viidennen luokan kevääseen mennessä. Opitulla suureella tulisi olla 

kuitenkin jatkuvaa käyttöä, muuten se unohtuu. Tämän olen todennut omassa 

koulussani olevan totta jo useamman vuoden ajan. Herää siis kysymys kannattaako 

kulmaa ylipäätään opettaa ala-asteella, jos sitä ei vuoteen käytetä mihinkään? Asianlaita 

on tietenkin toinen, jos käsite on esillä muiden oppiaineiden yhteydessä. 

7.4.2 Ahaa 

Ensimmäisen luokan kirjat eivät sisällä kulman hahmottamiseen liittyviä tehtäviä. 

Ahaa 2 kevään kirjan geometrian jaksossa on tarkoitus oppia mm. kolmio ja nelikulmio. 

Hahmotetaan samanmuotoisia ja saman kokoisia kolmioita ja nelikulmioita. 

Kolmannen luokan keväällä johdatus kulmakäsitteeseen tehdään kiinalaisilla viuhkoilla. 

Kuvassa on viuhkanäyttely ja puhekuplassa teksti: ”Viuhkaa voi avata vähän tai 

paljon.” Viidellä vertaustehtävällä hahmotetaan kulman suuruutta. ”Etsi viuhka, joka on 

avattu yhtä paljon.” Neljästä pitää valita aina samankokoinen kuin vertailuviuhka. 

Toisessa vertailutehtävässä viuhkat on korvattu kulmilla. Kuvatekstissä kerrotaan 

”Nämä ovat kulmia” ja kuvaan on piirrettynä perinteisellä tavalla neljä erikokoista 

kulmaa, jotka aukeavat eri suuntiin. 

40

Otsikon ”Kulman kyljet ja kärki” alla on kuvassa yksi kulma ja tekstit ” A on kulman 

kärkipiste”, ”Tässä on kulma A”. Tällä aukeamalla ei puhuta kyljistä mitään. Tässä 

yhteydessä harjoitellaan piirtämään annettua kulmaa pienempiä ja suurempia kulmia. 

Vertailutehtävänä on etsiä kuviosta yhtä suuri kulma. Vertailukulma on piirretty aina 

aukeamaan alaspäin ja yhtä suuri kulma on etsittävä piirretystä kolmiosta tai 

nelikulmiosta. (5 tehtävää) 

Suora kulma määritellään kuvatekstillä. Kuvaan on piirretty neljä eri asennossa olevaa 

suoraa kulmaa ja ne on merkitty totutulla tavalla. Kuvatekstinä on: ”Nämä ovat kaikki 

suoria kulmia. Suoran kulman kyljet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.” ”Näin 

merkitään suora kulma.” Tämän jälkeen seuraa aukeamallinen tehtäviä, joissa pitää etsiä 

kulmien joukosta sekä kolmioista ja nelikulmioista joko suora kulma tai suoraa kulmaa 

suurempi tai pienempi kulma. Suora kulma tulee esille lisäksi suorakulmion ja neliön 

määritelmissä. Määritelmän jälkeen seuraa sivun verran nelikulmioita, joiden joukosta 

pitää löytää suorakulmiot ja neliöt. 

Neljännen luokan keväällä kerrataan kulman ja suoran kulman määritelmät. Kuvat ja 

kuvatekstit ovat lähes samanlaiset kuin kolmannen luokan kevään kirjassa: Kuvassa on 

piirrettynä terävä kulma ja suoria kulmia. ”Tämä on kulma A. Piste A on kulman 

kärkipiste.” Kuvaan on merkitty myös kylki. ”Suoran kulman kärjet ovat kohtisuoraan 

toisiaan vastaan. Nämä ovat kaikki suoria kulmia.” 

Määrittelyä seuraa kolme tehtävää, joissa pyydetään piirtämään annettua kulmaa 

suurempi ja pienempi kulma. Sivulle on piirretty kaksi terävää kulmaa ja yksi suora 

kulma. Mitä tarkoittaa suurempi tai pienempi kulma ei ole selvitetty. Se on aikaisemmin 

esiintyneen viuhkatehtävän varassa. 

Suoran kulman tunnistamista kolmioista ja nelikulmioista harjoitellaan yhdellä 

tehtäväsarjalla. 

Määritellään terävä ja tylppä kulma sekä sen jälkeen terävä- ja tylppäkulmainen kolmio. 

”Terävä kulma on pienempi kuin suora kulma” Kuvassa on neljä terävää kulmaa. 

”Tylppä kulma on suurempi kuin suora kulma.” Kuvassa on neljä tylppää kulmaa. 

Määritelmää seuraa vajaa sivullinen tehtäviä, joissa pitää tunnistaa terävä, tylppä ja 

suora kulma. 

Viidennen luokan kirjan keskivaiheilla kerrataan kulman sekä suoran, terävän ja tylpän 

kulman määritelmät samassa muodossa kuin aiemmin. Kertaustehtäviä on yksi 

41

aukeama. Aste kulman mittayksikkönä otetaan käyttöön ilmoitusluontoisesti. ”Kulmaa 

mitattaessa mittayksikkönä on yksi aste eli 1°.” Asteen määritelmää ei kiinnitetä 

mihinkään. Ahaa julistaa vain, että yksikkö on yksi aste eli 1º ja samassa yhteydessä on 

kuva pienestä kulmasta, jonka suuruudeksi on merkitty 1º. 

Kulman mittaamista ja piirtämistä piirtokolmion avulla harjoitellaan neljän aukeaman 

verran. Ilmoitetaan, että suoran kulman asteluku on 90 ja kaksi suoraa kulmaa 

muodostaa yhdessä oikokulman, jonka asteluku on 180. 

Kolmion kulmien summa päätellään mittaamalla erimuotoisista ja -kokoisista kolmiosta 

kulmat piirtokolmiolla ja laskemalla kulmat yhteen. Aiheesta on yksi sivu 

laskuharjoituksia. 

Kirjassa Ahaa 6 kerrataan kulman mittaaminen ja piirtäminen piirtokolmiolla. 

Määritellään terävä ja tylppä kulma nyt kulmayksikön avulla eikä vertaamalla suoraan 

kulmaan. Terävä kulma on pienempi kuin 90°. Tylppä kulma on suurempi kuin 90°. 

Aihetta käsitellään yhden aukeaman verran. 

Määritellään keskuskulma. ” Keskuskulman kärkipiste on ympyrän keskipisteessä.” 

Käsitettä harjoitellaan mittaamalla neljässä tehtävässä ilmansuuntien välisiä kulmia. 

42

8 Loppupäätelmät ja suositukset 

Tutkimuksen kohteena oli kaksi kirjasarjaa, joista vanhempi Ahaa on jo pitkälti jäänyt 

pois käytöstä, mutta yläasteilla on vielä paljon oppilaita, jotka ovat luokilla 1-6 lukeneet 

tätä sarjaa. Saman kustantajan Laskutaito on edelleen laajasti käytössä. 

Tässä pohdintaosassa on tarkoitukseni antaa vastauksia tutkimusongelmina esille 

tuotuihin kysymyksiin ja kommentoida kirjojen esityksiä. Erityisesti miltä osin 

hahmottavan lähestymistavan periaatteet toteutuvat kirjojen mukaan edettäessä ja mitä 

puutteita kirjoissa mielestäni on. Edelleen pohdin mahdollisia eroja kirjojen välillä ja 

mitä Opettajan oppaat antavat opetukselle hahmottavan lähestymistavan näkökulmasta. 

Lisäksi esitän kommentteja siitä, miten kirjojen esitystä olisi syytä muuttaa ja pohdin 

materiaali- ja menetelmävinkkejä. 

8.1 Kommentit ja parannusehdotuksia 

8.1.1 Ilmiöiden taso 

Suureiden ominaisuuksia on tunnistettu ja luonnehdittu kirjasarjoissa noudattaen 

hahmottavan lähestymistavan periaatteita. Kappaleiden pituuksia, rajattujen alueiden 

kokoja, astioiden vetoisuuksia tai palikoista rakentuvien kappaleiden kokoja vertaillaan 

sekä luokitellaan termein samankokoinen, erikokoinen, suurin tai pienin. Kappaleita ja 

tasokuvioita luokitellaan niiden muotojen perusteella samanlaisiksi ja erilaisiksi. 

Tasoalueiden suuruuksia voisi vertailla ennen standardien mukaisten yksiköiden 

käyttöönottoa useammin kysymyksin: kuinka paljon suurempi tai kuinka paljon 

pienempi? Näihin kysymyksiin on lasten mahdollista vastata jo varhaisessa opiskelun 

vaiheessa monilla omatekoisilla mitoilla. Etäisyyksiä ja astioiden vetoisuuksia 

vertailtaessa edellisen kaltaiset kysymykset ovatkin luontevampaa esittää. Tällainen 

suureiden esikvantifiointi eli ominaisuuksien eriasteisuuden havaitseminen johdattaa 

sujuvasti mittaamisen idean ymmärtämiseen, kun sitä käytetään kaikkien suureiden 

kohdalla. 

Oppikirjoissa kulma määritellään aina oliona, jolla on oikea- ja vasen kylki, kärkipiste 

ja aukeama. Oliota luokitellaan, vertaillaan ja mitataan. Onko se tarpeellista luokilla 1 – 

6? Mihin hyödylliseen sitä käytetään? Oppikirjoissa käyttö rajoittuu lähinnä kolmioiden 

ja nelikulmioiden luokitteluun. 

43

Edellä oleva käytäntö johtaa mielestäni moniin vaikeuksiin kulman tai suunnan 

hahmottamisessa tilanteissa, joita esittelin kappaleen 5 loppuosassa. 

Vaikeuksien välttämiseksi kulma tulisi määritellä suureena, joka esittää kahden suunnan 

välistä suuntaeroa. Suunnat voivat olla esimerkiksi tasokuvioissa kahden sivun suunnat 

tai kappaleessa kahden särmän suunnat. Edelleen tätä määrittelyä käytettäessä on 

luontevaa puhua suunnan muutoksesta esimerkiksi liikkeessä, suuntaeroista merellä 

navigoidessa tai tähtiä havainnoitaessa sekä kiertymän suuruudesta pyörimisliikkeessä. 

Kulmasuureen yleistäminen edellä oleviin tapauksiin sujuu ongelmitta myöhemmin 

matematiikan ja fysiikan opinnoissa, kun se alun pitäen määritellään suuntaerona. 

Perushahmotus kulmakäsitettä opetettaessa on tietenkin aloitettava tutuista suunnista: 

vasen, oikea, eteen, taakse, sivulle, ylös, alas, pohjoinen, etelä. Edelleen 

perushahmotukseen kuluu käsitteet kierros, puoli kierrosta, vaakasuora, pystysuora, 

vinossa, kallellaan jne. 

Kulman määrittelyssä kahden suunnan ero on juuri se merkitys, jonka hahmottamisesta 

olisi lähdettävä. Vasta paljon myöhemmin herää tarve suuntaeroa esittävän suureen 

muodostamisesta. Kulmaoliosta lähteminen jättää esikvantifioinnin vaiheen kokonaan 

väliin. Kaiken kaikkiaan kulmakäsitteen kiinnittyminen reaalimaailman olioihin ja 

ilmiöihin on vähäistä. Kirjoissa operoidaan lähes yksinomaan pelkillä malleilla. 

8.1.2 Suureiden taso 

Suurenimiä (pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma) käyttöönotettaessa kirjasarjoissa 

näiden kiinnitys ja luonnehdinta on puutteellista. Sellaiselle keskustelulle ja pohdinnalle 

jossa selvitellään mihin olioihin ja ilmiöihin suure liittyy ja miten, sekä mitä niiden 

ominaisuuksia se esittää, pitäisi käyttää runsaammin aikaa. Usein suuretta tai sen 

yksikköä pidetään itsestäänselvyytenä kirjojen harjoitustehtävissä. Haittaa siitä on 

erityisesti pinta-ala ja tilavuussuureiden ymmärtämiselle. 

Suureiden käyttöönottoon on aina luotava selvä tarve. Tämän seikan opettajan oppaat 

tuovatkin esille. Suuretta ja/tai yksikköä ei pidä antaa oppilaille valmiina tuotteena. 

Mittaamista on harjoiteltava ensin omin mitoin, niin kauan, että kohteen luonne selviää, 

ja sen jälkeen pohditaan yleispätevän mitan valintaa. 

44

Suureiden perustelussa olisi käytävä keskustelua: Miksi tasoalueen suuruuden 

ilmaisemiseksi ei riitä pelkät pituusmitat, samoin kuin tilavuuden ilmaisemiseen pelkät 

pituusmitat tai tutut litramitat. 

Esimerkiksi litra määrän mittana otetaan kirjoissa käyttöön jo toisella luokalla. Kirjoissa 

ei kuitenkaan mitenkään selvitetä sitä minkälainen määrän mitta litra on ja miten se 

eroaa luonteeltaan esimerkiksi kilogrammasta, joka otetaan samassa yhteydessä 

käyttöön. 

Pelkästään oppikirjoihin tukeutuvassa opetuksessa mittaamisen periaate ei riittävän 

hyvin tule esille kumpaakaan kirjasarjaa käytettäessä. Kirjat aloittavat suureiden 

perushahmotuksen hyvin erilaisilla vertailu- ja luokittelutehtävillä, mutta itse 

mittaamiseen eivät oppikirjat ohjaa riittävästi. 

Matematiikan ja fysiikan opetuksessa on tärkeää, että oppitunneilla ratkotaan todellisia 

ongelmia eikä ns. leikkiongelmia ja että käytännöllistä työskentelyä on enemmän ja että 

opittuja taitoja käytetään jatkuvasti muiden oppiaineiden yhteydessä luontevasti. 

Luokan edessä kaikille oppilaille yhtä aikaa demonstraationa esitetty mittaus ei korvaa 

oppilaiden omia mittauksia ja niihin liittyviä kokemuksia. 

Mittaamiseen tutustutaan ensimmäiseksi pituuden mittaamisen yhteydessä, jolloin sitä 

tulisi riittävästi harjoitella. Olisi syytä mitata huomattavasti pitempään erilaisia kohteita 

käyttäen eri mittoja (kynä, tulitikku, vaaksa, jne.). Kaikille opiskelevan ryhmän 

oppilaille pitäisi tämän toiminnan tuloksena kirkastua se, että kun kohdetta mitataan 

erilaisilla mitoilla, saadaan eri tulokset, mutta samaa mittaa käytettäessä tulokset ovat 

kutakuinkin samanlaiset, vaikka mitattaisiin eri päivinä. Pituus on siis kohteelle pysyvä 

ominaisuus. Askartelun jälkeen on käytettävä runsaasti aikaa pohdintaan ja 

johtopäätösten tekoon, muuten konkreettinenkin toiminta on pelkkää puuhastelua. 

Omakohtaiseen mittausharjoitteluun luokan esineillä ja koulurakennuksen mitoilla sekä 

mittaustehtävillä koulun pihamaalla tai kotiympäristössä kirjat eivät ohjaa. 

Oppilaankirjojen mukaan edetessä mittauksia ei tehdä kattavasti erilaisissa tilanteissa. 

Ulkona mittanauhoilla ja mittapyörillä tehdyt mittaukset mahdollistaisivat pituuden 

laajennuksen käyriin reitteihin. 

Mittaamisen ideaa olisi syytä toistaa myöhemmin pinta-alan mittaamisen yhteydessä. 

Silloin se on erityisen tärkeää, koska koko pinta-alan käsite on huomattavasti vaikeampi 

45

ymmärtää kuin pituus. Tasoalueiden suuruuksia tulisi vertailla omatekoisilla mitoilla 

(kämmen, jalkaterä, tulitikkurasia, vihkon sivu jne.). Samanlaista alueen koon 

määritystapaa on hyvä käyttää myös standardin mukaisilla pahvimalleilla olipa alue 

säännöllisen geometrisen tasokuvion muotoinen tai hyvin epäsäännöllinen tai peräti 

kaareva pinnaltaan. Tämän työskentelyn yhteydessä oppilaille selviää, miksi mm. 

standardimitta neliösenttimetri on kätevä, kun he voivat latoa niitä aivan vieri viereen 

päinvastoin kuin esim. jalkaterällä mitattaessa. Edelleen huomataan, että 

epäsäännöllisten alueiden suuruus voidaan määrittää aika tarkasti, kun käytetään 

standardimittaa, joka on hyvin paljon pienempi kuin mitattava tasoalue. 

Myös tilavuuden mittaamisen harjoittelussa olisi syytä käyttää runsaasti aikaa ensin 

veden tilavuuden mittaamiseen erilaisilla astioilla (montako kupillista, lusikallista, 

kauhallista, lasillista, sangollista, jne.) ja myöhemmin hahmotetaan tilavuuksia 

erilaisten palikoiden avulla. 

Siirryttäessä kuutiomittoihin, on syytä tuoda esille, että laatikon tilavuus voidaan yhtä 

hyvin ilmaista litroina, vaikka se ei vettä pitäisikään. Suuren laatikon tilavuutta voidaan 

määrittää esim. litran maitopurkeilla. Tämän jälkeen syntyy itsestään tarve ottaa 

käyttöön kuutiomitat kätevämpinä mittoina ja siinä yhteydessä on myös helppo 

perustella litramittojen ja kuutiomittojen välinen riippuvuus. Litran ja kuutiodesimetrin 

yhteys voidaan varmistaa tämän jälkeen myös sitä varten valmistetuilla malleilla. 

Näin toimien mittaamisen osaaminen vahvistuu ja pysyy myös mielessä, kun sitä 

toistetaan eri kouluvuosien aikana. Samalla hahmottuu suureiden pituus, pinta-ala ja 

tilavuus luonne, eikä niitä sekoiteta keskenään. Yksikköjärjestelmien oppiminen 

edellyttää ensin suureiden luonteen ja mittaamisen periaatteen ymmärtämistä. 

8.1.3 Lakien taso 

Pinta-alan ja tilavuuden määrittelylait suorakulmion ja suorakulmaisen särmiön 

tapauksessa on oppilaiden itse annettava keksiä. Opettajan tehtävä on ohjata oppilaat 

löytämään tämä kaava. Tämän prosessin kautta määrittelylakien merkitys kirkastuu ja 

lakien soveltaminen erilaisissa tilanteissa sujuu paremmin, kuin opettelemalla kaavat 

ulkoa. ”Kaavan oppiminen ei koskaan tarkoita sen käytön oppimista, vaan sen 

löytämistä opettajan ohjaamana.” (Malaty 1993, 23) Suorakulmion alan ja 

46

suorakulmaisen särmiön tilavuuden laskukaavaa ei missään nimessä tule antaa oppilaille 

valmiina, vaan edeltävää hahmotusta on työstettävä niin kauan, että laskualgoritmi tulee 

oppilailta ”lähes yhdestä suusta” ahaa elämyksenä. 

Runsas mekaaninen laskuharjoittelu ei yleensä auta ymmärtämään käsitteiden 

merkityksiä. Tällainen toiminta luo osaamisen harhakuvan, joka tulee ilmi heti hieman 

erilaisessa tilanteessa. Mittaaminen, mittayksiköt ja yksiköiden väliset muunnokset ovat 

asioita, joita ei opita ymmärtämään, jos työskennellään pelkästään oppikirjan tehtäviä 

ratkoen. Niissä tilanteet ovat usein hyvin pelkistettyjä ja kuvat yksinkertaisia malleja 

todellisista kappaleista ja olioista. Erityisesti tämä tulee ilmi tuloksen ilmoittamisessa. 

Oikeat konkreetit kappaleet eivät noudata täydellisiä geometrisia muotoja, joten 

tuloksen pyöristämisen tarve on selkeästi tuotava esiin ja sen vaatiminen tinkimättä on 

tärkeää. 

Tutkimuksen kohteena olleissa kirjasarjoissa mielestäni mekaaniseen laskuharjoitteluun 

siirrytään liian nopeasti. Tästä voisi johtua, että jo nimet suorakulmio ja suorakulmainen 

särmiö ovat useimmille oppilaille jääneet oppimatta. 

8.1.4 Yksikkömuunnokset 

Yksikkömuunnosten oppimiselle on edellytyksenä desimaalilukujen hallinta, mutta 

juuri siinä on paljon vaikeuksia. 

Tutkituissa kirjasarjoissa desimaaliluvut käsitellään irrallaan mittaamisesta, 

tarkkuuskäsitteestä ja yksikkömuunnoksista. Työkalu opetetaan ensin, ja sen 

soveltamista mittaamisen yhteydessä harjoitellaan paljon myöhemmin. 

Desimaalilukukäsitteen opettamisen yhteydessä vasta viimeisenä osiona kirjoissa on 

yksikkömuunnostehtäviä. Parempaan tulokseen kuvittelen päästävän opettamalla 

desimaaliluvut siinä yhteydessä, jossa tarve konkreettisesti tulee eteen eli mittaamisen 

yhteydessä. Tällaista opettamisen järjestystä on pohtinut Tapio Keranto erityisesti 

verrannollisuuskäsitteen yhteydessä. (Keranto 1992 s.19) 

Lukualueen laajennus kokonaisluvuista murto- ja desimaalilukuihin tapahtuu 

luontevasti, kun siirrytään kotitekoisista mittavälineistä asteikoilla varustettuihin 

mittoihin ja SI-järjestelmän mukaisiin yksiköihin ja samalla mittauksen tarkkuudelle 

tulee suuremmat vaatimukset. 

47

”Oppilaalle on järjestettävä monipuolisia oppimisympäristöjä, joissa hänellä on 

realistiset mahdollisuudet konstruoida desimaaliluvun käsite kuvallisten, verbaalisten ja 

symbolisten esitysmuotojen sekä käytännön ongelmatilanteiden varassa. Pääpaino 

käsitteeseen orientoitaessa on pantava oppilaan kyvylle käyttää naiivejakin 

mentaalimallejaan erilaisissa häntä kiinnostavissa mittaustilanteissa, joihin liittyy tarve 

erilaisiin mittaustarkkuuksiin. Tässä edetään hitaasti kohti desimaalilukujen ja 

yksikkömuunnosten systemaattista hallintaa tarjoamalla oppilaalle mahdollisuuksia 

korjailla ja täydentää eri esitysmuodoissa ilmaisemiaan tulkintoja.” (Haapasalo 2000 s. 

217) 

8.1.5 Hahmotusketjun jatkuvuus 

Hahmotusketjussa ei saisi olla epäjatkuvuuskohtia, niin kuin seuraavat esimerkit 

mielestäni osoittavat olevan. 

Pinta-alan perushahmotuksen yhteydessä kirjasarjoissa käytetään termiä alue. Alueen 

kokoa hahmotetaan kysymyksillä ”kuinka monta laattaa/ruutua tarvitaan peittämään 

alue?” Myöhemmin termi pinta-ala otetaan kuitenkin käyttöön liittämättä sitä mitenkään 

aluekäsitteeseen. Pinta-alasta puhutaan vain geometristen tasokuvioiden yhteydessä. 

Pitäisi korostaa, että tasoalueen kokoa ilmaistaan pinta-alalla ja yksikkönä käytämme 

esim. neliösenttimetriä 1 cm 2 . 

Sama ongelma on tilavuus-suureen käyttöönotossa. Ensin mittaillaan litramitoilla 

erilaisiin astioihin mahtuvaa nestettä ja hahmotetaan tällä tavalla astioiden suuruuksia. 

Molemmissa kirjasarjoissa tilavuus termi otetaan käyttöön selittämättä sitä mitenkään. 

Ahaa kirjassa se tulee otsikossa ja Laskutaito kirjassa yhden harjoitustehtävän 

yhteydessä. Tämän jälkeen harjoitustehtävissä pääsääntöisesti lasketaan vain 

suorakulmaisten särmiöiden tilavuuksia. Tehtävien kysymys on aina muotoa: Mikä on 

kappaleen tilavuus eikä esimerkiksi kuinka suuri on tämä kappale tai minkä kokoinen 

tämä kappale on? Vaarana on, että tilavuus ei kiinnity oppilaiden mielissä kappaleiden 

kokoja kuvaavaksi suureeksi. 

48

8.2 Kirjasarjojen vertailua 

Kulman opettaminen tapahtuu hyvin samalla tavalla Ahaassa kuin Laskutaito sarjassa. 

Kuitenkin yksikön määrittelyssä oppikirjoissa on eroa. Laskutaito määrittelee asteen 

ympyrän avulla jakamalla se 360:een yhtä suureen keskuskulmaan. Ahaa julistaa vain, 

että yksikkö on yksi aste eli 1º ja samassa yhteydessä on kuva pienestä kulmasta, jonka 

suuruudeksi on merkitty 1º. 

Jos käsitteelle ei ole tarvetta eikä sitä voida liittää lasten kokemusmaailmaan eikä sitä 

voida vahvistaa ja harjoitella riittävästi, niin on parasta jättää käsite esittelemättä. 

Tällaisena esimerkkinä räikeimmillään on Ahaassa keskuskulma. 

Kirjasarjoja vertaillessa huomio kiinnittyy siihen, että Ahaa kirjasarjaa leimaa runsas 

mekaanisten laskuharjoitusten määrä mm. yksiköiden harjoittelun yhteydessä. 

Laskutaito sarjassa pistää silmään erityisesti erilaiset kappaleiden muodon ja koon 

hahmottamiseen liittyvät tehtävät, joita on kirjasarjassa tasaisin välein. Nämä tehtävät 

ovat selvästi uutta suomalaisissa matematiikan kirjoissa. Mielestäni kirjasarjan tekijät 

ovat onnistuneet hyvin tämäntyyppisten, hahmottamiskykyä kehittävien tehtävien 

laatimisessa. 

Esimerkkinä tästä kuvasarja viidennen luokan kirjasta. 

49

Kuva 8.1 Laskutaito 5 s.75 

Molempien kirjasarjojen Opettajan oppaissa on perusteellinen ohjeistus suureiden ja 

mittayksiköiden opettamiseen. Näissä ohjeissa tuodaan esille kaikki suureiden 

ymmärtämisen kannalta keskeiset asiat: mittaamisen periaate, mittaaminen 

50

omatekoisilla mitoilla (myös pinta-alan ja tilavuuden mittauksessa), suureen 

käyttöönoton perusteleminen, mittaamiseen liittyvä arviointi sekä perustelut eri 

mittayksiköiden käytölle (esim. pituuden yhteydessä millimetristä kilometriin). Jos 

koulussa on mahdollista ja innostusta toteuttaa opetus oppaiden antamien 

menetelmävinkkien mukaan, niin silloin mielestäni opetus noudattaa esimerkillisen 

hyvin hahmottavan lähestymistavan periaatteita. 

51

9 Pohdintaa 

Lähtökohtana tämän tutkimusaiheen valintaan oli ensisijaisesti se, että omien 

havaintojen mukaan pinta-ala- ja tilavuuskäsitteet sekä näiden suureiden 

yksikkömuunnokset opitaan koulussa melko huonosti. 

Työn kuluessa olen päätynyt siihen, että opetuksessa on aivan liian paljon 

itsestäänselvyyksiä, suureiden ominaisuuksia ja kiinnityksiä ei pohdita ja perustella eikä 

niitä tutkita yhdessä oppilaiden kanssa tarpeeksi perusteellisesti. Konkreettista toimintaa 

oikeilla kappaleilla ja välineillä ei ole riittävästi. Liian aikaisin siirrytään käyttämään SIjärjestelmän 

mukaisia yksiköitä ja mittaamisen periaate ei ehdi selvitä oppilaille. 

Vanhemmissa kirjasarjoissa kuten Ahaassa yksikköjärjestelmä kokonaisuudessaan 

kaadetaan oppilaiden niskaan aivan liian suurena kerta-annoksena. 

Vaikka olen tutkimuksessani käynyt läpi kahden kirjasarjan esitystä ja miettinyt 

oppimista niiden lähtökohdista, niin tuskinpa puutteita oppimisessa kirjojen syyksi voi 

kovinkaan suurelta osin panna. Opettaminen ja oppiminen on monimutkainen prosessi. 

Oma vaikutuksensa on opetusjärjestelyillä, opettajien koulutuksessa ja silläkin kuinka 

opettaja tekee työnsä. Kuntien taloudelliset resurssit ja kulttuurit ovat hyvin erilaiset. 

Tämä vaikuttaa koulun resursseihin, ryhmäkokoihin, välineisiin ja 

työskentelyolosuhteisiin kokonaisuudessaan. 

Olen tietoinen, että ehdottamani opetustavat vaativat opettajilta melkoista matematiikan 

tuntien ennakkovalmistelua. Luokanopettajalla sanotaan kuitenkin olevan niin paljon 

erilaista opetettavaa, että yhteen oppiaineeseen ei ehdi riittävästi panostaa. Ehdotankin 

ensimmäiseksi, että eikö olisi syytä siirtää matematiikan opetus siihen erikoistuneiden 

opettajien tehtäväksi jo riittävän varhaisessa vaiheessa, esimerkiksi viidennestä tai jopa 

kolmannesta luokasta lähtien. Tiedän, että nykyisessä tilanteessa se on mahdotonta, 

koska matematiikkaan erikoistuneita luokanopettajia on vähän ja päteviä aineenopettajia 

ei kohta riitä edes luokille 7-9 (Martio 1998). Tätä opetuksen järjestämisen kysymystä 

on pohtinut mm. Helsingin Yliopiston professori Olli Martio. (Martio, Dimensio 62) 

Parannusta tilanteeseen ajan kanssa omalta osaltaan tuonee opetusalan 

virkaehtosopimuksen kaksoiskelpoisuuspykälä (Opetusalan virkaehtosopimus 2001 

s.52), joka varmaan houkuttelee yhä enemmän luokanopettajia suorittamaan 

matematiikassa aineenopettajakelpoisuuden. 

52

Toisena kehittämiskohteena esittäisin jonkinlaisen demonstraatioapulaisjärjestelmän 

kehittämisen. Tälläkin hetkellä kouluihin palkataan runsaasti kouluavustajia, mutta 

heidän toimenkuvansa on lähinnä olla auttamassa oppilaita, joilla on erityisiä 

oppimisvaikeuksia. Toimenkuvaa voisi aivan hyvin muuttaa tai laajentaa kaikkia 

ryhmän oppilaita palvelevaksi henkilöksi, joka huolehtii mm. matematiikan opetuksessa 

tarvittavasta välineistöstä. Tätä työtä helpottaisi huomattavasti myös matematiikan 

opetukselle varatut luokat, joissa olisi paljon välineistöä aina paikalla käyttövalmiina. 

Kouluissahan tilanne on tällä hetkellä aivan päinvastainen. Matematiikka on ainut 

oppiaine, jolla ei ole erityisluokkia juurikaan käytössään, kun kuvitellaan, että siinä 

”leuka ja liitu” riittävät ja opetusta voidaan antaa missä tahansa vapaana olevassa 

nurkkauksessa. Matematiikan tunnin ohjeeksihan riittää muka kehotus ”Kirjat esiin ja 

laskekaa”. (Vaahtokari ym. 1998) 

Oppimisen ongelmia ei kuitenkaan ratkaista oppikirjalla. Oppiminen voi olla hyvää 

kirjasta huolimatta tai kirjan ansiosta. Keskeistä mielestäni on kuitenkin se, miten 

opettaja johdattelee oppilaansa näkemään ymmärtämisen kannalta keskeiset asiat. Tämä 

merkitsee vähemmän puuduttavaa, itsenäistä laskuharjoittelua ja tehtävien tarkistamista 

luokan perällä olevasta tarkistusvihkosta ja enemmän keskustelua ja yhteistä 

pohdiskelua olioiden ja ilmiöiden ominaisuuksista sekä näiden olioiden luokittelua ja 

vertailua. Omakohtaisia mittauksia, mittaustulosten käsittelyä ja niistä johtopäätösten 

tekoa ei koskaan voi korostaa liikaa. 

Prosessin aikana minua on kehotettu menemään luokkiin tutkimaan opetustapahtumaa 

ja haastattelemaan niin opettajia kuin oppilaita. Tämä toisi tietenkin lisävalaistusta 

tutkimusongelmaan, mutta se on mieluummin toisen gradun tai jatkotutkimuksen aihe. 

53

LÄHTEET 

Arons, A., B. Teaching Introductory Physics, John Wiley & sons, inc. 1997 New York 

Haapasalo, L. Oppiminen, tieto & ongelmanratkaisu, Medusa-Software Joensuu 2000 

Heinonen, M, Kupiainen, A ja Sainio, E Yläasteen Plussa 2 Matematiikka, Otava 

Helsinki 1995 

Enqvist, K Näkymätön todellisuus, WSOY Helsinki 1996 

Kallonen- Rönkkö, M. Matematiikan oppiminen ala-asteen uusiutuvissa 

oppimisympäristöissä Artikkeli kirjassa Matematiikka 251-268, Niilo Mäki Instituutti, 

Jyväskylä 1998 

Keranto, T. (1992) Näkemykset matematiikan oppimisesta ja opetuksesta muuttuvat; 

muuttuuko kouluopetus? Dimensio 56, 9, 16-22 

Korkeakoski, E, Hannén, K, Lamminranta, T, Niemi, E, Pernu, M ja Uurto, J (2001) 

Opetuksen laatu perusopetuksen 1.-6. Vuosiluokkien kouluissa vuonna 2000 

Kunnallinen opetusalan virka- ja työehtosopimus 2001-2002, Kunnallinen 

työmarkkinalaitos, Helsinki 

Kupari, P. Mitä matematiikasta opitaan koulussa? Artikkeli kirjassa Matematiikka 216- 

235, Niilo Mäki Instituutti, Jyväskylä 1998 

Kurki-Suonio, K. & R. (1994) Fysiikan merkitykset ja rakenteet, 2. painos, Limes ry 

Helsinki 

Kurki-Suonio, K. & R. (1998) Ajatuksia didaktisesta fysiikasta 

http://didactical.physics.helsinki.fi/tutkimus.htm 10.5.2002 

Linnanmäki, K Artikkeli Minäkäsitys ja matematiikan oppiminen kirjassa Matematiikka 

283 – 300, Niilo Mäki Instituutti, Jyväskylä 1998 

Malaty, G (1993) Geometrinen ajattelu I Didaktiikka, Weilin + Göös Espoo 

Martio, O. Mitä vikaa on matematiikan opetuksessa, Dimensio 2/1998 8-11 

Martio, O. (1998) Matematiikan opetuksen muutospaineet Artikkeli kirjassa Tuulta 

purjeisiin (Jari Lavonen ja Matti Erätuuli toim.) Atena Kustannus, Jyväskylä 

Opetushallitus (1994) Peruskoulun opetussuunnitelman perusteet, Helsinki 

Painatuskeskus 

54

Vaahtokari, A. & Vähäpassi, A. (1998) Kirjat esiin ja laskekaa! Artikkeli kirjassa 

Tuulta purjeisiin (Jari Lavonen ja Matti Erätuuli toim.) Atena Kustannus, Jyväskylä 

LASKUTAITO 1-6 Tekijäryhmä: Seppo Rikala, Helena Sieppi, Tuula Uus-Leponiemi, 

Risto Ilmavirta, Marjatta Koivisto ja Merja Salonen Weilin+Göös, WSOY 1998-1999 

LASKUTAITO 1-6 Opettajan kirja Tekijäryhmä: Seppo Rikala, Helena Sieppi, Tuula 

Uus-Leponiemi, Risto Ilmavirta, Marjatta Koivisto ja Merja Salonen Weilin+Göös, 

WSOY 1998-1999 

AHAA matematiikka 1-6 Tekijäryhmä: Hellevi Kalla, Mervi Miettinen, Johannes 

Paasonen, Jussi Sinnemäki WSOY 1995-1996 1. painos 1985 

AHAA Matematiikka 1-6 opettajan opas Tekijäryhmä: Hellevi Kalla, Mervi Miettinen, 

Johannes Paasonen, Jussi Sinnemäki WSOY 

55

LIITE 1 

Didaktinen fysiikka tieteenalana 

Didaktinen fysiikka tarkoittaa fysiikan opetuksen problematiikkaan suuntautunutta 

fysiikan osa-aluetta, erotukseksi "fysiikan didaktiikasta", joka on fysiikan opetukseen 

sovellettua kasvatustiedettä. Helsingin yliopistossa nimikettä on käytetty luonnehtimaan 

fysikaalisten tieteiden laitoksessa harjoitettua opetuksen tutkimus- ja kehitystoimintaa, 

erityisesti opettajankoulutuksen syventävien opintojen, niihin perustuvien jatkoopintojen 

ja opinnäytetutkimusten luonnetta. Syyskuussa 1995 toimintansa aloittanut 

Opettajien matematiikan, fysiikan ja kemian valtakunnallinen tutkijakoulu on ottanut 

nimikkeen käyttöön, ja ensimmäinen tutkijakoulun puitteissa valmistunut väitöskirja on 

kirjattu tutkijakoulussa didaktisen fysiikan alaan kuuluvaksi. 

Katso myös artikkelia Ajatuksia didaktisesta fysiikasta. 

Didaktisen fysiikan tunnusominaisuudet ja tieteellisyys: 

1. Tutkimuksen kohteena tai lähtökohtana on fysiikan tiedollis-käsitteellinen ja metodis-prosessuaalinen 

rakenne ja sen merkitys fysiikan opettamiselle. Tämä voi merkitä 

fysiikan tarkastelemista opiskeltavana tieteenalana tai fysiikalle ominaisten tieteen etenemisen 

rakenteiden käyttämistä opiskelun prosessuaalisena mallina ja tavoitteena. Didaktinen 

fysiikka ei etsi "varsinaisen" fysiikan tavoin uutta tietoa luonnon rakenteista ja 

peruslaeista eikä tällaisen tiedon uusia teknologisia sovelluksia, vaan se tutkii tällaisen 

tiedon rakenteita ja luonnetta sekä sen luomista ja kehittymistä. Tätä voidaan pitää didaktisen 

fysiikan teoreettisena tutkimuksena, jonka tieteellisyys on perustellun 

rakenteellisen käsitteenmuodostuksen tieteellisyyttä. 

2. Tutkimuksen tavoitteena on fysiikan opetuksen kehittäminen. Fysiikan käsitteellisten 

ja prosessuaalisten rakenteiden perusteella arvioidaan fysiikan opetusta, opetussuunnitelmia, 

oppikirjoja ja muuta oppimateriaalia, kurssisuunnitelmia, projekteja, 

opetus- ja opiskelumenetelmiä, työskentelytapoja jne. ja etsitään niihin nojautuen uusia 

tutkimuksellisesti perusteltuja ratkaisuja fysiikan opiskelun ongelmiin. Tämä on didaktisen 

fysiikan soveltavaa tutkimusta ja sen yhteydessä syntyvät teoreettiseen viitekehykseen 

perustuvat opetukselliset tuotteet, opetussuunnitelmat, oppikirjat ja muu oppimate- 

56

iaali, kurssisuunnitelmat, projektit, opetusmenetelmät, työskentelytavat jne. ovat didaktisen 

fysiikan sovelluksia. Niiden tieteellisyys on soveltavan tutkimuksen tieteellisyyttä. 

Se perustuu ensi sijassa teoreettisen viitekehyksen tietoiseen hyväksikäyttöön, 

jonka tulee ilmetä sovellusten rakenteessa. 

3. Didaktinen fysiikka on monitieteinen ala. Siten eri tieteenalojen käsitteellinen ja 

metodinen tuntemus ja kyky monitieteiseen yhteistoimintaan ovat tärkeitä elementtejä 

didaktisen fysiikan tieteellisyydessä. Teoreettinen tutkimus (1), osittain myös soveltava 

(2), tarvitsee tai voi käyttää tuekseen ainakin filosofiaa, tieteen historiaa, kielentutkimusta, 

kognitiotiedettä, aistin- ja aivofysiologiaa, psykologiaa, kasvatustiedettä ja sosiologiaa, 

sillä kaikilla niillä on oma olennainen näkökulmansa käsitteenmuodostuksen 

ja käsitteiden merkitysten rakentumiseen ja niiden asemaan oppimisen prosesseissa. 

Erityisesti kokeellisessa tutkimuksessa, jota didaktisen fysiikan sovellusten käytön, 

toimivuuden, oppimistulosten ja vaikutusten testaaminen edellyttää, tarvitaan 

väistämättä kasvatustieteen, psykologian ja sosiologian tutkimusmenetelmiä. Sen 

tieteellisyyttä on arvioitava näiden tieteenalojen metodisten kriteerien mukaisesti. 

Tällaisen tutkimuksen kautta avautuu didaktisen fysiikan tutkimuksen tulosten 

arviointiin uusia perusteita, mutta yleensä vasta pitkän ajan kuluttua 

primaaritutkimuksesta ja siihen liittyvien sovellusten kehittämisestä. 

4. Didaktisella fysiikalla on korostunut kansallinen merkitys, joka seuraa sen tavoitteesta. 

Fysiikan opetuksen kehittämisessä ensisijaisena kohdealueena Suomessa on 

Suomen koululaitos. Tälle näkökulmalle antaa juuri nyt erityisen painon hallituksen 

käynnistämä valtakunnallinen talkoo-ohjelma suomalaisten matemaattis-luonnontieteellisen 

osaamisen nostamiseksi kansainväliselle tasolle. Didaktisen fysiikan 

tutkimuksia arvioitaessa myös suomenkielisellä tuotannolla on sen tähden huomattava 

painoarvo toisin kuin yleensä varsinaisessa fysiikassa. 

5. Didaktinen fysiikka on kansainvälinen tieteenala. Tutkimuksen kansallisiakin tuloksia 

on arvioitava tieteenalan kansainvälisen kehityksen näkökulmasta, ja ne on saatettava 

alan kansainvälisen tiedeyhteisön arvioitaviksi. Sen tähden didaktisen fysiikantieteellisyyteen 

kuuluu välttämättä tutkimusten julkaiseminen myös alan kansainvälisissä 

tieteellisissä sarjoissa ja tulosten esittäminen kansainvälisissä tieteellisissä kokouksissa. 

57

Työ (ht_gradu.pdf, 999 kB) - Helsinki.fi

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?