Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
Dans la deuxième section de ce chapitre, on imagine la simulation d’une trajectoire hétérocline
dans le système Soleil-Terre. Plus précisément, on calcule une trajectoire joignant
asymptotiquement une orbite de Lyapunov autour de L2(Soleil-Terre) (L2(ST)) à une orbite de
Lyapunov autour de L1(Soleil-Terre) (L1(ST)). Pour cela, on étudie l’agencement des variétés
invariantes de ces orbites périodiques. En trouvant leurs intersections dans l’espace des phases,
on met en oeuvre une mission de plusieurs millions de kilomètres pratiquement gratuite au
niveau énergétique.
Enfin, dans les deux dernières sections de ce chapitre, on s’intéresse au calcul de transferts
Terre-Lune, selon deux approches différentes.
Dans un premier temps, on étudie ce transfert dans le système à trois corps Terre - Lune -
engin spatial. L’idée naturelle est d’utiliser les tubes de transport que représentent les variétés
invariantes. Une trajectoire convenablement choisie à l’intérieur de la variété stable d’une orbite
de halo autour de L2(TL), par exemple, transite vers la région d’équilibre et est naturellement
capturée par la Lune. Néanmoins, dans le cadre d’un transfert entre la Terre et la Lune, le
problème est qu’aucune variété invariante de ce système ne passe dans un proche voisinage de
la Terre. Les variétés ne peuvent donc pas être utilisées pour quitter la Terre. Ceci nous amène
alors à résoudre le problème de Lambert dans le problème restreint des trois corps. Le problème
de Lambert consiste à trouver une trajectoire partant d’une position donnée et arrivant à une
position voulue. En le résolvant, on résout le problème d’un transfert Terre-Lune puisqu’on est
alors capable de viser un point situé à l’intérieur de la variété stable de l’orbite de halo à partir du
voisinage de la Terre. Pour résoudre numériquement le problème de Lambert dans un système à
trois corps, on met en oeuvre une méthode de continuation paramétrée par la masse de la Lune.
Le problème de Lambert et sa résolution sont précisément décrits dans cette section.
Dans la dernière section de ce chapitre consacré à des exemples de missions autour des points
de Lagrange, on s’intéresse à un transfert Terre-Lune étudié par Marsden, Koon, Lo et Ross.
Dans leur article [39], ils proposent de calculer une trajectoire Terre-Lune prenant en compte
l’influence du Soleil. Pour cela, ils considérent un problème à quatre corps Soleil - Terre - Lune
- engin spatial, vu comme deux problèmes à trois corps patchés (Soleil - Terre - engin spatial,
et Terre - Lune - engin spatial). Pour calculer un transfert Terre - Lune très peu énergétique, ils
se servent alors de la propriété de "twisting" des orbites de non-transit situées à l’extérieur des
variétés d’une part, et des possibilités de capture balistique lunaire offertes par les variétés d’autre
part. Afin de fournir à EADS les outils numériques permettant de réaliser ce type de transfert
potentiellement très intéressant, nous avons décidé de reprendre leurs travaux et de les mettre
en oeuvre. Nous avons donc de nouveau constaté la possibilité de capture balistique lunaire au
travers d’une variété stable du système Terre-Lune. Puis, nous avons étudié le phénomène de
"twisting" des orbites de non-transit autour d’une variété instable du système Soleil-Terre. Ceci
nous a permis de voir que la sensibilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales
permet de viser des points très éloignés en ne changeant que très peu la vitesse initiale. En effet,
par un léger changement de condition initiale, par exemple un changement de vitesse à un point
fixe, on peut totalement changer la destination finale de l’orbite résultante. Dans le système
Soleil-Terre, les variétés invariantes des orbites de halo des points L1 et L2 passant relativement
près de la surface terrestre, on peut utiliser cette sensibilité aux conditions initiales pour viser
une orbite de parking à 200 km de la Terre depuis une section de Poincaré intersectant la Terre.
Enfin, nous avons cherché à opérer une jonction entre les variétés invariantes des deux systèmes
à trois corps couplés, et avons obtenu des résultats qui diffèrent de ceux présentés par Marsden,
Koon, Lo et Ross. Ces différents points sont discutés dans cette section.
4