Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
locale du flot autour des points d’équilibre, et prouve la stabilité des points L4 et L5 sous
certaines conditions.
2.2.4 Flot autour des points L1 et L2
L’étude qualitative du mouvement de notre système dynamique au voisinage des points de
libration colinéaires, L1 et L2, fournit les éléments essentiels à la compréhension des propriétés
du problème restreints des trois corps. Par l’étude du linéarisé autour des points d’équilibre, cette
étude permet d’introduire l’existence d’orbites périodiques et de trajectoires asymptotiques. Le
lecteur pourra se référer à la section 2.7 du livre de Koon et al. [30] qui décrit la géométrie des
solutions autour des équilibres.
Introduction d’un nouveau système de coordonnées.
Dans le cas planaire, les valeurs propres du système linéarisé autour des point L1 et L2 sont
de la forme ±λ et ±iν, où λ et ν sont des constantes positives. On peut même montrer (voir
[30] Chap. 2.7) que les vecteurs propres associés sont de la forme
u1 =
u2 =
w1 =
w2 =
1, −σ, λ, −λσ ,
1, σ, −λ, −λσ ,
1, −iτ, iν, ντ ,
1, iτ, −iν, ντ ,
où σ et τ sont des constantes vérifiant σ > 0 et τ < 0. Par un changement
linéaire de coordonnées
avec les vecteurs propres u1, u2, w1 et w2 comme nouveaux axes, et ξ, η, ζ) les coordonnées
correspondantes, on obtient une nouvelle équation différentielle linéarisée, de forme simplifiée :
˙ξ = λξ, (2.9a)
˙η = −λη, (2.9b)
˙
ζ1 = νζ2, (2.9c)
˙
ζ2 = −νζ1, (2.9d)
et l’énergie intégrale devient
El = λξη + ν
ζ
2
2 1 + ζ 2
2 · (2.10)
Les solutions de l’équation s’écrivent
ξ(t) = ξ 0 e λt
η(t) = η 0 e −λt
(2.11a)
(2.11b)
ζ(t) = ζ1(t) + iζ2(t) = ζ 0 e −iνt , (2.11c)
où les constantes ξ0 , η0 et ζ0 = ζ0 1 + iζ0 2 sont les conditions initiales. De plus, on constate facilement
que les équations linéarisées obtenues admettent deux nouvelles intégrales du mouvement,
en plus de l’énergie. Il s’agit des fonctions ηξ et ζ2 = ζ2 1 + ζ2 2 , qui sont donc toutes deux
constantes le long des solutions du système linéarisé.
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