Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
Pour calculer le temps nécessaire à une trajectoire d’une variété pour atteindre une des surfaces
de Poincaré, ainsi que le point d’intersection de cette trajectoire avec la même surface de
Poincaré, une méthode de type Newton permet d’obtenir une précision très satisfaisante.
3.3.4 Calcul numérique de la trajectoire hétérocline
Bien que la surface de Poincaré U3 soit le lieu le plus approprié pour trouver une intersection
entre la variété stable de l’orbite de Lyapunov autour de L1 et la variété instable de l’orbite de
Lyapunov autour de L2, on ne l’obtient pas toujours à la première intersection des variétés avec
U3. On définit Γ u,E
Li,j (resp. Γs,E
Li,j ) la jième coupe de Poincaré de la variété instable (resp. stable)
de l’orbite de Lyapunov autour de Li (l’indice E (Earth) informant que la surface de Poincaré
considérée se trouve au niveau de la Terre : donc U2 ou U3). On cherche donc j et k tels que
Γ u,E
L2,j ∩ Γs,E
L1,k = ∅
On représente les variétés de la région terrestre propagées jusqu’à leur deuxième intersection
avec les surfaces de Poincaré U2 et U3 sur la Figure 3.5.
y (unités normalisées)
4
2
0
−2
−4
x 10−3
6
Variété
stable
U 3
U 2
Variété
instable
−6
0.985 0.99 0.995 1
x (unités normalisées)
1.005 1.01 1.015
Figure 3.5 – Variétées invariantes, dans l’espace des positions, propagées jusqu’à leur deuxième
intersection avec les surfaces de Poincaré de la Terre U2 et U3.
La Figure 3.6 montre, quant à elle, les coupes de Poincaré des variétés dans le plan (y, ˙y) et
permettent de déterminer les intersections entre les différentes variétés.
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