Etude de la dynamique autour des points de Lagrange

tel-00422422, version 1 - 6 Oct 2009
Si, comme dans le cas du système Soleil-Terre, on a c2 > 1, alors :
ω 2 p
ω 2 v
= 2 − c2
2c2
+ 1
9 −
2
8
c2
Or, ω 2 v = ω 2 p si et seulement si c2 = 1. Ainsi, dans le cas c2 > 1, on a ω2 p
< 2
ω 2 v
= 1 et donc ωp
En conclusion, dans le cas c2 > 1, il existe une famille à 2 paramètres d’orbites périodiques
autour des points colinéaires L1 et L2.
Dans le cas des points de Lagrange L4 et L5, le spectre est du type
±iω1, ±iω2, ±iω3 , où 0 < ω1 ≤ ω2 ≤o mega3
et sous réserve d’estimer ω1, ω2, ω3, il faut faire le raisonnement suivant :
– si ω2
< 1, il existe une famille à un paramètre d’orbites périodiques autour des points L4
ω3
et L5 ;
– si ω1
< 1, il existe une famille à un paramètre d’orbites périodiques autour des points L4
ω3
et L5 ;
– si ω3
∈ N (ou ω3
∈ N), il existe une famille à un paramètre d’orbites périodiques autour
ω2
ω1
des points L4 et L5 ;
Si toutes ces conditions sont réalisées, on obtient une famille à trois paramètres d’orbites périodiques
autour de ces points.
Que ce soit autour des points colinéaires ou équilatéraux, les orbites périodiques non planaires,
isomorphes à des ellipses, du problème restreint des trois corps sont appelées les orbites
de halo. Leur intérêt dans le cadre de design de mission a été souligné pour la première fois par
Farquhar (voir [17, 18]). D’autre familles d’orbites périodiques, appelées orbite de Lissajous, ont
été mises en évidence et calculées par Gómez et al. dans [20], de même que des orbites quasiperiodiques
(voir [21]). Les orbites de halo peuvent d’ailleurs être considérées comme les orbites
de Lissajous de premier ordre. On s’intéressera dans le chapitre 4 aux orbites de Lissajous de
deuxième ordre qui sont topologiquement équivalentes à des courbes en forme de huit.
2.3.2 Étude locale des orbites de halo
L’étude du comportement des trajectoires solutions du problème des trois corps au voisinage
des orbites de halo va nous permettre d’introduire le concept très important de matrice de
monodromie. Pour cela, on linéarise les équations du mouvement. Soit t ↦→ ¯x(t) une trajectoire
nominale correspondant à une orbite de halo. Les équations du mouvement linéarisées autour
de cette trajectoire nominale s’écrivent
δ ˙¯x(t) = Df(¯x)δ¯x
= A(t)δ¯x
où A(t) est la matrice Jacobienne périodique de f évaluée le long de l’orbite périodique ¯x(t).
Une étude qualitative du comportement des trajectoires du système non linéarisé au voisinage
de l’orbite de halo s’obtient grâce à la matrice de monodromie M, définie comme la matrice de
22
ωv
∈ Z.